3.4.1 相似三角形的性质(1)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

4 相似 第1课时 相似三角形的性质(1) 基 础 导 学 1.相似三角形的 相等， 成比例。 2.相似三角形 的比、对应角平 分线的比、对应中线的比都等于相似比. 课后演 练 【基础过关】 1.若△ABC∽△DEF,相似比为3：2，则对应高 的比为 A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.4:9 2.两个相似三角形对应高之比为1：2，那么它 们对应中线之比为 ( A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:8 3.已知△ABC△AB'C,相似比为是，AD与 A'D分别是△ABC与△A'B'C的角平分线， 则AD:A'D'等于 ( A.3:4 B.4:3 C.9:16 D.16:9 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为 AB的中点，BM⊥CE,则Rt△BEM与Rt △BCM斜边上的高的比为 () A.1:3 B.2:3 C.1:2 D.3:5 第三章图形的相极 三角形的性质 5.如图，AD=3,BD=1,DE∥BC,DF∥AC,EG ∥AB. (1)△ADE与△EGC的相似比是 对应高的比是 (2)△ABC与△DBF的相似比是 对应角平分线的比是 ,对应中线的 比是 6.如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边 BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成 正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余 两个顶点分别在AB,AC上，这个正方形零件 的边长是 mm. 7.已知一个三角形最短边上的高为8cm,若和 它相似的另一个三角形的各边之比为3：4： 5,则它的最长边上的高为 cm 8.已知△ABC△A1BC1,且最短中线的比为 3:4,AB:BC:CA=2:3:4,△A1BC1的 周长是72cm,求△ABC的各边的长. 1· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 9.如图，在四边形ABCD中，已知∠ACB=10.如图，已知正方形ABCD中，BE平分 ∠ADC=90°，AB=18,AC=12,AD=8,CE ∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C ⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. 顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交 (1)求证：△ABC∽△ACD: DF于点G. 2)术票的值 (1)求证：DG2=EG·BG; (2)若EG·BG=4,求BE的长. ·82· 【能力提升】 11.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,点 E,F在AD边上，BF和CE交于点G,若EF =号AD,则图中阴影部分的面积为 第11题图 第12题图 12.如图，△ABC中，AC=6,AB=4,点D与点 A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC, CD=2,点E是线段BC延长线上的动点，当 △DCE和△ABC相似时，线段CE的长为 13.如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在 边AC,AB上，AG⊥BC于点G,AF⊥DE于 点F,∠EAF=∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC; (2若AD=3,AB=5,求号的值 ·83 第三章图形的相似 【创新拓展】 14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm,BC =15cm.现有动点P从点A出发，沿AC向 点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段 CB也向点B方向运动.如果点P的速度是 4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时 出发，当有一点到达所在线段的端点时，就 停止运动，设运动的时 间为t秒. 求：(1)用含t的代数式 表示Rt△CPQ的面积S; (2)当t=3时，P,Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少时，以点C,P,Q为顶点的三 角形与△ABC相似？指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40