3.2.1 相似三角形的判定(1)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

第三章图形的相似 2 探索三角形相似的条件 第1课时 相似三角形的判定(1) 课 后演练 基 础导学 【基础过关】 1.三角分别相等、三边成比例的两个三角 知识点①利用“两角对应相等”判定三角形 形叫作相似三角形 相似 2.两角分别 的两个三角形相似， 1.在△ABC和△A'B'C'中，∠B=∠B=90°， 3.射影定理：此三角形也常常被称为“子母 ∠A=30°，以下条件，不能证明△ABC和 三角形”. △A'B'C'相似的是 () A.∠A'=30° B.∠C=60° C.∠C=60° D.∠A-2∠ 条件：在Rt△ABC中，CD⊥AB, 2.如图，点P是□AB 结论：(1)AC2=AD·AB; CD边AB上的一 (2)BC2=BD·AB; 点，射线CP交DA (3)CD=AD·BD. 的延长线于点E,则图中相似的三角形有 引申结论C品。 () A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 面积结论：AB·CD=AC·BC 3.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB 4.其他常见的相似图形 =AC,E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED “A型”图 =45°，求证：△ABE∽△ECD. “X型”图 “K型”图（一线三等角） 人A4 ·63· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 知识点2利用相似三角形进行计算 知识点3)直角三角形中常见的相似问题 4.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的 7.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥ 中点，连接BE,交AC于点F,则AF:CF= BC.在图中的三角形中，相似的三角形对数 ( 为 () A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.2:5 E A.2 B.3 C.4 D.5 8.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于点D, 若AC=6,AD=4,则斜边AB的长为 第4题图 第5题图 9.如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角 5.如图，AC⊥AB,BE⊥AB,AB=10,AC=2.用 形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边 一个三角尺进行如下操作：将直角顶点P在 BC的中点上.设DE与AB交于点M,EF与 线段AB上滑动，一直角边始终经过点C,另 AC交于点N,求证：△BEM∽△CNE. 一直角边与BE相交于点D,若BD=8,则AP 的长为 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点P,D分别在 边BC,AC上，∠BAP=∠CPD. (1)求证：△APD∽△ACP; (2)若AB=6,AD=2,求AP的长 E A D ·64· 第三章图形的相似 【能力提升】 【创新拓展】 10.如图，已知在△ABC中，AB=14,BC=12, 13.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC与 AC=10,D是AC上一点，过点D画一条直 BD交于点E,∠ADB=∠ACB. 线l,把△ABC分成两部分，使其中的一个三 角形与△ABC相似，这样的直线有 条 ①求证能S: (2)若AB⊥AC,BD⊥CD,AE:EC=1：2, F是BC的中点，求证：四边形ABFD是 菱形 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中 点，E为AD上任意一点，过点C作CF∥AB 交BE的延长线于点F,交AC于点G,连接 CE.有下列结论：①AD平分∠BAC;②BE =CF;③BE=CE;④若BE=5,GE=4,则 GF-是其中正确的是 12.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm, 点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点 C以4cm/s的速度移动，如果P,Q分别从 A,B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC 相似？ ·65·4.①当a6时，合十方=古=1， ab ②当a=6时，是+号-5+1成1-v5. 5.D6.B7.D8.-2 9.(1)x2=4,m=土√6.(2)证明略 10.B11.112.1 13.(1)p,1(2)1+1 =p (3)p=3. 14.1015.16.2317.(1)a<号 (2)a=2 18.(1)k≥一1且k≠1且k≠2(2)x1=0,x2=3 4一元二次方程的应用 第1课时图形问题 基础导学 1.审题等量关系数学问题 课后演练 1.A2.D3.D 4.(1)该广场绿化区域的面积为144平方米. (2)广场中间小路的宽为1米. 5.(1)(24一3x)(2)花圃的宽为5米， 6.C7.C8.3 9.(1)从开始经过3秒P,Q的距离为6厘米. (2)经过1秒或2秒△PAQ面积为2平方厘米. △PAQ的面积不能达到3cm,理由略 10.211.2或3.5 12.分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与0点组成 的三角形的面积是450cm. 第2课时营销、增长（降低）率问题 基础导学 1.基数变动后的数增长（或降低）的百分率 2.(1)进价 (2)利润 成本 (3)销售数量 课后演练 1.C2.C3.C4.10% 5.(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 为25%； (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1 万人 6.A7.D8.C9.56 10.(1)900(2)(45-x)(20+4x)(3)x=30 37 指南针·课堂优化·才 11.60元或80元12.190 13.(1)a的值是50； (2)该店主销售第二批水果时最低可打5折. 14.(1)田丰每次价格下调的百分率是20%. (2)小李选择方案一购买更优惠， 理由如下：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000 =25920(元)， 方案二所需费用为：9.63000-400×3= 27600(元) .25920<27600, ∴.小李选择方案一购买更优惠。 第3课时一般应用问题 课后演练 1.C2.A3.C 4.(1)每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑； (2)4轮感染后机房内所有电脑都被感染. 5.D6.D7.B8.C9.3 10.这两个连续奇数为11,13或-13，一11. 11.原来的两位数为31.12.6,8,10或一2,0,2 13.(1)m的值为10； (2)①小颖的成功率为40%，小红的成功率为 70%,小丽的成功率为60%； ②n的值为4. 14.(1)第三年的基础工资为：1×(1十x)×(1十x) =(1十x)2; (2)基础工资每年的增长率为20%. 回顾与思考 1.(1)含有一个未知数(2)未知数的最高次数是2 (3)整式方程ax2十bx十c=0(a≠0) 3.降次4.(1)两个不相等的(2)两个相等的 (3)没有(4)△≥05.≥-bc a a 课后演练 1.A2.C3.D4.A5.C6.-4.3 7.a≥-18.19.1m 10.(1)=3+√11，x2=3-√11. (2)a=8w=2.(3)x==-是 8 11.m=一√2时，原方程为一元二次方程 12.(1)m的最小整数值为一2；(2)m的值为2. 13.5或-1214.215.8 年级上册·数学(BS) 16.(1)当销售单价为350元或380元时，该型台灯 第3课时相似多边形 的销售利润平均每月能达到40000元； 基础导学 (2)m的值为15. 2.成比例相等对应边3.号 17.(1)v=2t-4(3<t≤7). 课后演练 (2)该物体从P点运动到Q点总路程的时所1.B2.C3.C4.A5.C 用的时间是6秒. 6.解：设四周的相同宽度为x米 2012 第三章【 图形的相似 当两个矩形相似时，20十2z-12+2' 解得x=0(不符合题意，舍弃)， 1相似多边形 ∴.满足条件的x的值不存在， 第1课时成比例线段 外面的矩形与原来的矩形不相似， 基础导学 7.B8.C9.21cm 1.同一单位长度长度比2.成比例线段 10.号611595°95°1.27cm 课后演练 12.(1)AE:EB=3:2W5=√3：2. 1.D2.A3.5:84.25D6.B (2)①AD=42;②√2：2. 7.是成比例线段，理由略.8.A 9.在新图中应该画2.32厘米10.①②③④ 181.814515,能=分 11.(1)AB=√32+2=√13，BC=√5+1=√26， 16.(1)证明略(2)GD=√13 AC=√32+42=5； 2探索三角形相似的条件 (2)A'B'=√42+62=2√13， 第1课时相似三角形的判定(1) BC=√10+2=2√26，A'C=√62+8=10； 基础导学 常器-瓷号 7=2, 2.相等 课后演练 这六条线段成比例 1.C2.D3.证明略4.A5.2或8 第2课时比例的性质 基础导学 6.(1)证明略(2)AP的长是2√3 7.B8.99.证明略10.411.①③④ 1.c÷-片2.849596 d 12.经2s或号s△PBQ与△ABC相似. 课后演练 13.(1)证明略(2)证明略 1.B2.D3.44.610125.A6.A 第2课时相似三角形的判定(2) 7专号 基础导学 8.的值为2或一1. 成比例相等 9.a=12,b=15,c=21. 课后演练 10.这两个杯中应分别放入14mL、35mL蜂蜜. 1.C2.A3.证明略4.证明略5.C6.C 11.△ABC是直角三角形， 7.∠A=∠D8.∠APE=90°或BP=2PC 2.1或-213.号14号 2543n510①8011.9或2 5 15.△ABC为直角三角形. 12.(1)DE=2√3(2)证明略 16.x的值为8或一1. 13.（1)证明略(2)证明略 38