第2章 回顾与思考-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

回顾 知识回顾 1.一元二次方程的特点：(1) ;(2) (3) 它的一般形式是 2.一元二次方程的解法：(1)直接开平方 法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法， 3.解一元二次方程的基本思想： 4.一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)根的 判别式（△）：(1)△>0，方程有 实数根；(2)△=0，方程有 实数 根；(3)△<0，方程 实数根；(4) 方程有实数根。 5.一元二次方程的根与系数的关系：关于x 的一元二次方程a.x2+bx十c=0(a≠0)有两个实数 根，x2,则子-4ac 0,G+x2= 20·x2= 6.解一元二次方程的实际问题的步骤：审， 设，列，解，验，答 课 后 演练 【基础过关】 1.用配方法解方程x2一4x十2=0，下列配方正确的 是 ) A.（x-2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x-2)2=-2 D.(x-2)2=6 2.已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,下 列说法正确的是 () A.当=0时，方程无解 B.当k=1时，方程有一个实数解 C.当=一1时，方程有两个相等的实数解 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 第二章一元二次方程 与思考 3.某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元 增加到80万元.设这两年的销售额的年平均 增长率为x,根据题意可列方程为 () A.20(1+2x)=80 B.2×20(1+x)=80 C.20(1+x2)=80 D.20(1+x)2=80 4.已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0 的两实数根，且x1+x2=一2，x1x2=1,则b 的值是 () A B. C.4 D.-1 5.关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x +1=0有两个不相等的实数根，则的取值 范围是 () Ak>号且6≠2 B.k≥且k≠2 C.k是且2 D.≥号且62 6.根据下表得知，方程x2+2x-10=0的一个 近似解为x≈ (精确到0.1) x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4-4.5-4.6… y=x2+2x-10…-1.9-0.76-0.110.56 1.251.96… 7.若关于x的方程ax2+(a+2)x+a=0有实 数根，那么实数a的取值范围是 8.方程x2+2kx十2-2k十1=0的两个实数根 x1,x2满足x号+x=4,则k的值为 9.如图，在宽为20m,长为25m的矩形地面上 修建三条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 若耕地面积需要437m,则修建的路宽应为 25m 53· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 10.解方程： 12.已知关于x的一元二次方程x2+(2m十1)x (1)x2-6x-2=0; +m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整 数值； (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1一 x2)2十m2=21,求m的值. (2)x2-6x+9=(5-2x)2; (3)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0. 11m为何值时，关于x的方程(m-√2)xm (m+3)x=4m是一元二次方程？ 【能力提升】 13.已知x2+7xy-60y2=0(xy≠0)，则乙= 14.当k= x一y-k=0, 时，方程组 x2-8y=0 只有 组实数解。 15.已知关于x的方程x2+2kx+++3=0 的两根分别是x1,x2,则(x1一1)2+(x2-1)2 的最小值是 ·54· 16.某商场经营一种新型台灯，进价为每盏300 元.市场调研表明：当销售单价定为400元 时，平均每月能销售300盏；而当销售单价每 下降1元时，平均每月的销售量就增加 10盏. (1)当销售单价为多少时，该型台灯的销售 利润平均每月能达到40000元？ (2)临近春节，为了回馈广大顾客，商场部门 经理决定在一月份开展降价促销活动，估计 分析：若每盏台灯的销售单价在(1)的最高 销售单价基础上降价m%,则可多售出 2m%.要想使一月份的销售额达到209950 元，并且保证不亏损，求m的值. ·55 第二章一元二次方程 【创新拓展】 17.某物体从P点运动到Q点所用时间为7秒， 其运动速度v(米/秒)关于时间t(秒)的函数 关系如图所示.某学习小组经过探究发现： 该物体前3秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB的面积.由物理学知识还可知：该物 体前n(3<n≤7)秒运动的路程在数值上等 于矩形AODB的面积与梯形BDNM的面 积之和 根据以上信息，完成下列问题： (1)当3<t≤7时，用含t的代数式表示v; (2)分别求该物体在0≤t≤3和3<t≤7时， 运动的路程s(米)关于时间t(秒)的函数关 系式；并求该物体从P点运动到Q点总路程 的0时所用的时间. 10个r(米1秒 3 n7t(秒4.①当a6时，合十方=古=1， ab ②当a=6时，是+号-5+1成1-v5. 5.D6.B7.D8.-2 9.(1)x2=4,m=土√6.(2)证明略 10.B11.112.1 13.(1)p,1(2)1+1 =p (3)p=3. 14.1015.16.2317.(1)a<号 (2)a=2 18.(1)k≥一1且k≠1且k≠2(2)x1=0,x2=3 4一元二次方程的应用 第1课时图形问题 基础导学 1.审题等量关系数学问题 课后演练 1.A2.D3.D 4.(1)该广场绿化区域的面积为144平方米. (2)广场中间小路的宽为1米. 5.(1)(24一3x)(2)花圃的宽为5米， 6.C7.C8.3 9.(1)从开始经过3秒P,Q的距离为6厘米. (2)经过1秒或2秒△PAQ面积为2平方厘米. △PAQ的面积不能达到3cm,理由略 10.211.2或3.5 12.分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与0点组成 的三角形的面积是450cm. 第2课时营销、增长（降低）率问题 基础导学 1.基数变动后的数增长（或降低）的百分率 2.(1)进价 (2)利润 成本 (3)销售数量 课后演练 1.C2.C3.C4.10% 5.(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 为25%； (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1 万人 6.A7.D8.C9.56 10.(1)900(2)(45-x)(20+4x)(3)x=30 37 指南针·课堂优化·才 11.60元或80元12.190 13.(1)a的值是50； (2)该店主销售第二批水果时最低可打5折. 14.(1)田丰每次价格下调的百分率是20%. (2)小李选择方案一购买更优惠， 理由如下：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000 =25920(元)， 方案二所需费用为：9.63000-400×3= 27600(元) .25920<27600, ∴.小李选择方案一购买更优惠。 第3课时一般应用问题 课后演练 1.C2.A3.C 4.(1)每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑； (2)4轮感染后机房内所有电脑都被感染. 5.D6.D7.B8.C9.3 10.这两个连续奇数为11,13或-13，一11. 11.原来的两位数为31.12.6,8,10或一2,0,2 13.(1)m的值为10； (2)①小颖的成功率为40%，小红的成功率为 70%,小丽的成功率为60%； ②n的值为4. 14.(1)第三年的基础工资为：1×(1十x)×(1十x) =(1十x)2; (2)基础工资每年的增长率为20%. 回顾与思考 1.(1)含有一个未知数(2)未知数的最高次数是2 (3)整式方程ax2十bx十c=0(a≠0) 3.降次4.(1)两个不相等的(2)两个相等的 (3)没有(4)△≥05.≥-bc a a 课后演练 1.A2.C3.D4.A5.C6.-4.3 7.a≥-18.19.1m 10.(1)=3+√11，x2=3-√11. (2)a=8w=2.(3)x==-是 8 11.m=一√2时，原方程为一元二次方程 12.(1)m的最小整数值为一2；(2)m的值为2. 13.5或-1214.215.8 年级上册·数学(BS) 16.(1)当销售单价为350元或380元时，该型台灯 第3课时相似多边形 的销售利润平均每月能达到40000元； 基础导学 (2)m的值为15. 2.成比例相等对应边3.号 17.(1)v=2t-4(3<t≤7). 课后演练 (2)该物体从P点运动到Q点总路程的时所1.B2.C3.C4.A5.C 用的时间是6秒. 6.解：设四周的相同宽度为x米 2012 第三章【 图形的相似 当两个矩形相似时，20十2z-12+2' 解得x=0(不符合题意，舍弃)， 1相似多边形 ∴.满足条件的x的值不存在， 第1课时成比例线段 外面的矩形与原来的矩形不相似， 基础导学 7.B8.C9.21cm 1.同一单位长度长度比2.成比例线段 10.号611595°95°1.27cm 课后演练 12.(1)AE:EB=3:2W5=√3：2. 1.D2.A3.5:84.25D6.B (2)①AD=42;②√2：2. 7.是成比例线段，理由略.8.A 9.在新图中应该画2.32厘米10.①②③④ 181.814515,能=分 11.(1)AB=√32+2=√13，BC=√5+1=√26， 16.(1)证明略(2)GD=√13 AC=√32+42=5； 2探索三角形相似的条件 (2)A'B'=√42+62=2√13， 第1课时相似三角形的判定(1) BC=√10+2=2√26，A'C=√62+8=10； 基础导学 常器-瓷号 7=2, 2.相等 课后演练 这六条线段成比例 1.C2.D3.证明略4.A5.2或8 第2课时比例的性质 基础导学 6.(1)证明略(2)AP的长是2√3 7.B8.99.证明略10.411.①③④ 1.c÷-片2.849596 d 12.经2s或号s△PBQ与△ABC相似. 课后演练 13.(1)证明略(2)证明略 1.B2.D3.44.610125.A6.A 第2课时相似三角形的判定(2) 7专号 基础导学 8.的值为2或一1. 成比例相等 9.a=12,b=15,c=21. 课后演练 10.这两个杯中应分别放入14mL、35mL蜂蜜. 1.C2.A3.证明略4.证明略5.C6.C 11.△ABC是直角三角形， 7.∠A=∠D8.∠APE=90°或BP=2PC 2.1或-213.号14号 2543n510①8011.9或2 5 15.△ABC为直角三角形. 12.(1)DE=2√3(2)证明略 16.x的值为8或一1. 13.（1)证明略(2)证明略 38