2.4.1 图形问题-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 4 一元二 第1课时 图形问题 基础导学 1.列一元二次方程解应用题的意义：在运用一 元二次方程解实际问题时，要注意 ,抓住 主要的 ,列出方程，把实际问题转化 为 来解决 2.图形问题： 此类问题属于几何图形的应用问题，解决 问题的关键是将不规则图形分割成或组合成规 则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据 面积、体积公式找等量关系列出方程. 课后演练 【基础过关】 知识点①求解静态图形问题 1.如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上 修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地， 若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽 应为 -30米 A.1米 B.1.5米C.2米 D.2.5米 2.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知 盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为 () A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.16 cm 3.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的 号召，某市某单位准备将院内一块长30m,宽 20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求 ·44 次方程的应用 在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的 小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使 种植花草的面积为532m,那么小道进出口 的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的 宽度相等，且每段小道均为平行四边形) ( A.1.2米B.15米C.2米 D.1米 4.为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将 一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化 广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其 中一条路与广场的长平行，另两条路与广场 的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的 面积为广场总面积的80%： (1)求该广场绿化区域的面积； (2)求广场中间小路的宽 5.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的 最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆 花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的 两个小门 (1)设花圃的宽AB为x米，用含x的代数式 表示BC的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为45m,求此时 花圃的宽 墙14m 1m 4 第二章一元二次方程 知识点2求解动态图形问题 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC =7cm.点P从点B开始沿边BA向点A以 2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿 边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中 一点到达终点时，另一点随即停止.当四边形 APQC的面积为11cm时，点P的运动时间 为 A.1s B.1s或2.5s C.2s D.2s或5s 7.如图，在矩形ABCD中，AB=21cm,BC=8 cm,动点E从点A出发，以3cm/s的速度沿 AB向点B运动，动点F从点C出发，以 2cm/s的速度沿着CD向点D运动，当点E 到达点B时，两个点同时停止.则EF的长为 l0cm时点E的运动时间是 A.3s B.27 s C3s或 D.2.5s 8.如图，在△ABC中，AB-3cm,BC=6cm,AC =5cm,蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的 速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向 行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以 2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A 的方向行走，那么甲出发s后，甲、乙第一次 相距2.5cm. 9.如图，在直角坐标系中，四边形OACB为矩 形，点C的坐标为(3,6)，若点P从点O沿 OA向点A以1cm/s的速度运动，点Q从点 A沿AC以2cm/s的速度向点C运动，如果 5 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) P,Q分别从O,A同时出发，问： (1)从开始经过多少时间P,Q的距离为6cm? (2)经过多少时间△PAQ的面积为2cm? △PAQ的面积能否达到3cm?试说明 理由。 OP A 【能力提升】 10.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮， 将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 24cm的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方 形的边长为 cm. 底面 12cm -10cm ·46 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC =60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的 方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t< 6),连接DE,当△BDE是直角三角形时，t 的值为 【创新拓展】 2.如图所示，AO=OB=50cm,OC是一条射 线，OC⊥AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s的 速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样 的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的 面积为450cm?4.①当a6时，合十方=古=1， ab ②当a=6时，是+号-5+1成1-v5. 5.D6.B7.D8.-2 9.(1)x2=4,m=土√6.(2)证明略 10.B11.112.1 13.(1)p,1(2)1+1 =p (3)p=3. 14.1015.16.2317.(1)a<号 (2)a=2 18.(1)k≥一1且k≠1且k≠2(2)x1=0,x2=3 4一元二次方程的应用 第1课时图形问题 基础导学 1.审题等量关系数学问题 课后演练 1.A2.D3.D 4.(1)该广场绿化区域的面积为144平方米. (2)广场中间小路的宽为1米. 5.(1)(24一3x)(2)花圃的宽为5米， 6.C7.C8.3 9.(1)从开始经过3秒P,Q的距离为6厘米. (2)经过1秒或2秒△PAQ面积为2平方厘米. △PAQ的面积不能达到3cm,理由略 10.211.2或3.5 12.分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与0点组成 的三角形的面积是450cm. 第2课时营销、增长（降低）率问题 基础导学 1.基数变动后的数增长（或降低）的百分率 2.(1)进价 (2)利润 成本 (3)销售数量 课后演练 1.C2.C3.C4.10% 5.(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 为25%； (2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1 万人 6.A7.D8.C9.56 10.(1)900(2)(45-x)(20+4x)(3)x=30 37 指南针·课堂优化·才 11.60元或80元12.190 13.(1)a的值是50； (2)该店主销售第二批水果时最低可打5折. 14.(1)田丰每次价格下调的百分率是20%. (2)小李选择方案一购买更优惠， 理由如下：方案一所需费用为：9.6×0.9×3000 =25920(元)， 方案二所需费用为：9.63000-400×3= 27600(元) .25920<27600, ∴.小李选择方案一购买更优惠。 第3课时一般应用问题 课后演练 1.C2.A3.C 4.(1)每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑； (2)4轮感染后机房内所有电脑都被感染. 5.D6.D7.B8.C9.3 10.这两个连续奇数为11,13或-13，一11. 11.原来的两位数为31.12.6,8,10或一2,0,2 13.(1)m的值为10； (2)①小颖的成功率为40%，小红的成功率为 70%,小丽的成功率为60%； ②n的值为4. 14.(1)第三年的基础工资为：1×(1十x)×(1十x) =(1十x)2; (2)基础工资每年的增长率为20%. 回顾与思考 1.(1)含有一个未知数(2)未知数的最高次数是2 (3)整式方程ax2十bx十c=0(a≠0) 3.降次4.(1)两个不相等的(2)两个相等的 (3)没有(4)△≥05.≥-bc a a 课后演练 1.A2.C3.D4.A5.C6.-4.3 7.a≥-18.19.1m 10.(1)=3+√11，x2=3-√11. (2)a=8w=2.(3)x==-是 8 11.m=一√2时，原方程为一元二次方程 12.(1)m的最小整数值为一2；(2)m的值为2. 13.5或-1214.215.8 年级上册·数学(BS) 16.(1)当销售单价为350元或380元时，该型台灯 第3课时相似多边形 的销售利润平均每月能达到40000元； 基础导学 (2)m的值为15. 2.成比例相等对应边3.号 17.(1)v=2t-4(3<t≤7). 课后演练 (2)该物体从P点运动到Q点总路程的时所1.B2.C3.C4.A5.C 用的时间是6秒. 6.解：设四周的相同宽度为x米 2012 第三章【 图形的相似 当两个矩形相似时，20十2z-12+2' 解得x=0(不符合题意，舍弃)， 1相似多边形 ∴.满足条件的x的值不存在， 第1课时成比例线段 外面的矩形与原来的矩形不相似， 基础导学 7.B8.C9.21cm 1.同一单位长度长度比2.成比例线段 10.号611595°95°1.27cm 课后演练 12.(1)AE:EB=3:2W5=√3：2. 1.D2.A3.5:84.25D6.B (2)①AD=42;②√2：2. 7.是成比例线段，理由略.8.A 9.在新图中应该画2.32厘米10.①②③④ 181.814515,能=分 11.(1)AB=√32+2=√13，BC=√5+1=√26， 16.(1)证明略(2)GD=√13 AC=√32+42=5； 2探索三角形相似的条件 (2)A'B'=√42+62=2√13， 第1课时相似三角形的判定(1) BC=√10+2=2√26，A'C=√62+8=10； 基础导学 常器-瓷号 7=2, 2.相等 课后演练 这六条线段成比例 1.C2.D3.证明略4.A5.2或8 第2课时比例的性质 基础导学 6.(1)证明略(2)AP的长是2√3 7.B8.99.证明略10.411.①③④ 1.c÷-片2.849596 d 12.经2s或号s△PBQ与△ABC相似. 课后演练 13.(1)证明略(2)证明略 1.B2.D3.44.610125.A6.A 第2课时相似三角形的判定(2) 7专号 基础导学 8.的值为2或一1. 成比例相等 9.a=12,b=15,c=21. 课后演练 10.这两个杯中应分别放入14mL、35mL蜂蜜. 1.C2.A3.证明略4.证明略5.C6.C 11.△ABC是直角三角形， 7.∠A=∠D8.∠APE=90°或BP=2PC 2.1或-213.号14号 2543n510①8011.9或2 5 15.△ABC为直角三角形. 12.(1)DE=2√3(2)证明略 16.x的值为8或一1. 13.（1)证明略(2)证明略 38