2.2.4 用适当的方法解一元二次方程-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·才 为9. (4)=3+√11，x2=3-√11. 9.1210.-311.2x2+4x+6=0 7.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正确 12.及的取值范围是≤号且k≠一号 解法如下： x2+2x-8=0,∴.x2+2x=8, 13.a+b=-3 2 x2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, 第2课时 一元二次方程的解 则x十1=士3， 基础导学 .x=-1土3，∴.x1=2,x2=-4 1.左右两边未知数 (2)(x+n)2=9n2,.x1=2n,x2=-4n 课后演练 8B9B10.号1.是 1.B2.C3.D4.65.-1 6.(1)2m-1=1(2)原式=2 2.1x=2=-素 7.D8.3<x<49.210.6 11.m2-2=m, (2)x=1+10 2 x2=1-v10 2 原式=(m2-m)(m_2+1）=4. 13.a=-3,b=6. m 14.证明略15.816.(1)1(2)2或-1 12解：原式-20一3 17.(1)一23(2)一1-518.证明略 ,m为x2-2x一4=0的解， 19.(1)2x+y=1; ∴.m2-2m-4=0,∴.m2-4=2m, (2)△ABC的最大边c的值为5或6； 原式-孤3=1-3=-2 (3)a+b+c=3. 第2课时用公式法求解一元二次方程 13.(1)是 基础导学 (2)①b=c-1; ②c=4时，代数式b一6c有最小值，最小值为 1.x=-b±4ac(B-4ac≥0） 2a 公式法 -15. 2.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (3)计算b一4ac的值 2一元二次方程的解法 (4)当b一4ac≥0时用公式求出原方程的根 第1课时用直接开平方法、配方法求解一元二次方程 3.62-4ac ax2+bx+c b2-4ac 基础导学 4.(1)实数根两个不相等的实数根两个相等的 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 实数根(2)没有实数根 3.(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再课后演练 将方程左边化为完全平方的形式 1.C2.4+2√2 课后演练 1.B2.A3.A 3a-1+9-1-9。 4.x1=1,x2=-1. (2)x1=2+√5，x2=2-√5. 4 6.(1)x1=3+2W5,x2=3-2√5. =-g (4)x1=√2十√6，x2=√2-√6. 80-95%-25 2 4.(1)一原方程没有化成一般形式 (2)解：a=1,b=-5,c=-1, ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. 35 年级上册·数学(BS) x=5±西.-5+四，=5=四 2 2 2 5.D6.B7.C8.-1 9.(1)根据题意，得△=（一2)2-4(4-m)>0, 解得m>3; (2).m>3,.m-3>0, 写”2号燃青 m+1 =1-m)(1+m.2.m-3 m-3 m-1m+1 =-2 10.直线不过点A(一2,4).理由略 1.1+5或-1,512.22<c<2513.2 2 2 14.当m=1时，四边形ABCD是菱形. 菱形ABCD的边长是号， 2m十2_m+1x _2m-2 15.(1)m=2m-m-号x=2m-=1. (2)m=2或3. 第3课时用因式分解法求解一元二次方程 基础导学 1.分解成两个一次因式的乘积 2.降次A=0B=0 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 课后演练 1.B2.x1=-2,x2=3 3(Q①0西=；2=22x=3,号7 。1 (3)M=2%=-1(4)1=一2，%=1 2 4.D5.x-1-2=0x1=-1,x2=3 6.(1)x1=-2,x2=3.(2)P=-2或p=3. (3)x1=-1,x2=-2. 7.(x-2)(x十8)8.一1或49.5 10.等腰三角形或直角三角形2√5或6 山.1x=1函=9.(2a=号函= (3)x1=-4,x2=3.（4)x1=x2=3. 12.5或-113.10或-114.3 15.(1)①x1=√2或x2=1； ②不等式组的解集是一1<x<2; (2)(-1D÷二4红+4=1 x+2 x2-4 x-2, 由题意可知x=1…心原式=1一2=一1. 16.(1)当x十2≥0时，解得：=0，x2=一2. .x≥一2，∴.x1=0,x2=一2是原方程的解. (2)当x十2<0时，解得=4，x2=一2. x<一2，x1=4,x2=一2均舍去. 综上所述，原方程的解为x=0,x2=一2. 第4课时用适当的方法解一元二次方程 基础导学 1.直接开平方法配方法公式法 因式分解法 课后演练 1.D2.B3.②①③ 4.(1)x1=-2,x2=6; (2)x=-1+ 5 ,=16； 5 (3)x1=1,x2=2; (4)x=1十√5，x2=1-√5 5.A6.y2-3y-1=0 7.(1)m=-1;(2)x=-9. (3)x1=2,x2=-1. 8.(1)x1=-2,x2=3;(2)Wa十√6=3. 9.x3=0,x4=-310.96 11.(1)x1=5,x2=1; (2)(x-y)(x2+xy+y2); (3)x1=1,x2=2. 12.(1)-32(2)x1=-7,x2=3; (3)3<p≤7. 3一元二次方程的根与系数的关系 基础导学 1.-6c aa 2.有两个不相等的a≠0且△>0a≠0且△≥0 3.(1)(十2)2-22(2)+ X1X2 (3)x1x2+(x1+x2)a十a2 (4)√/(x1十x2)2-4x1x2 课后演练 1.D2.D3.-18 36福南针·课堂优化·九年纸上册·数学(BS) 第4课时 用适当的方法解一元二次方程 基础 导学 1.解一元二次方程的四种方法： 2.公式法是解一元二次方程的通用方法， 适用于任意一个一元二次方程；配方法是公式 法的基础（求根公式是通过配方法解一元二次 方程得来的)；因式分解法可解某些特殊的一元 二次方程.因此，在没有规定方法的前提下，首 先考虑用直接开平方法和因式分解法，其次考 虑公式法，在没有特别说明的时候，一般不用配 方法 3.简单高次方程或较复杂方程可通过换元 法化为低次方程或简单方程。 课 后 演练 【基础过关】 知识点①选择适当的方法解一元二次方程 1.解下列方程：①(2x-1)2-(x十9)2=0；②x 3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x -1)2=3x-1.较简便的方法是 () A.依次为直接开平方法，配方法，公式法，因 式分解法 B.依次为因式分解法，公式法，配方法，直接 开平方法 C.①用直接开平方法，②③用公式法，④用因 式分解法 D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用因 式分解法 2.对于方程x2-2x-111111=0,最简便的解法 是 ) A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3 3.给出下列方程：①x2十6x一2=0；②3x2一4= 0;③2y2-3y一1=0.你认为选用哪种方法解 方程较简便（填序号）？ 开平方法： ,配方法：，公式法： 4.用适当的方法解下列方程： (1)(x-2)2-16=0; (2)5x2+2x-1=0; (3)x2-3x+2=0; (4)x2-2x=4. 知识点2运用换元法解一元二次方程 5.用换元法解方程12，之 x2-12=3时，设 2-1卫=y,则原方程可化为 () 1-3=0 A.y-y B.y-4-3=0 y C.y-1+3=0 D.y-4+3=0 y y 8 6用换元法解方程22十2x-=父 设y=x2一2x,则原方程可化为关 二次方程的一般形式是 7.用换元法解下列方程 041+218 (2)z千72+5(z)-6-0, (3)x2-x+1=x2-x 6 南 第二章一元二次方程 3时，如果 8.为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们可 以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y, 于y的一元 那么原方程可化为y2-5y+4=0①，解得y1 =1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,∴.x2=2,∴.x=±√2； 当y=4时，x2-1=4,∴.x2=5,∴.x=±√5. 故原方程的解为x1=√2，x2=-√2，x3=√5， x4=-√5. 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达 到了降次的目的，体现了转化的数学方法： 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：(x2-x)2-4(x2-x) -12=0; (2)若实数a、b满足（√a+√b)(√a+√b-2)= 3,求a+√6的值. ·39 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 【能力提升】 9.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、m 为常数，a≠0)的解是x1=2,x2=一1，那么方 程a(x十m+2)2+b=0的解是 10.已知a+b+2c-2va可-4vb-2- 3√c-3=-5,则(a+b)·c= 11.阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2次，最高次项的系数 不为零，这样的整式方程叫作一元二次方 程，它有一种解法是利用因式分解来解 的，如解方程：x2-3x十2=0，左边分解因 式得(x-1)(x-2)=0,所以x-1=0或 x一2=0，所以原方程的解是x=1或x=2. 材料2：立方和公式用字母表示为：x3+y3 (x+y)(x2-xy+y2), (1)请利用材料1的方法解方程：x2-6x+5=0; (2)请根据材料2类比写出立方差公式：x3 y3= ；（提示：可以 用换元方法)》 (3)结合材料1和2，请你写出方程x6-9x 十8=0的两个解， ·40 【创新拓展】 12.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有 趣的现象：对于关于x的多项式x2一2x十3， 由于x2-2x+3=(x一1)2+2，所以当x-1 取任意一对互为相反数的数时，多项式x2 2x+3的值是相等的，例如，当x一1=士1， 即x=2或0时，x2-2x+3的值均为3；当 x一1=士2，即x=3或-1时，x2-2x+3的 值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项 式，若当x一t取任意一对互为相反数的数 时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 x=t对称.例如x2一2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下 列问题： (1)多项式x2+6x+11关于x= 对 称；若关于x的多项式x2-2bx十5关于 x=2对称，则b=； (2)关于x的多项式x2十ax十c关于x=-2 对称，且当x=a时，多项式的值为10，求关 于x的方程：x2十ax十c+1=0的根； (3)关于x的多项式x2+mx+n关于x=3 对称，且此多项式可取得最小值4，且关于x 的方程：x2+(4+m)x+n+p2-17=0只 有一根大于5，求p的取值范围.