2.2.3 用因式分解法求解一元二次方程-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·才 为9. (4)=3+√11，x2=3-√11. 9.1210.-311.2x2+4x+6=0 7.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正确 12.及的取值范围是≤号且k≠一号 解法如下： x2+2x-8=0,∴.x2+2x=8, 13.a+b=-3 2 x2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, 第2课时 一元二次方程的解 则x十1=士3， 基础导学 .x=-1土3，∴.x1=2,x2=-4 1.左右两边未知数 (2)(x+n)2=9n2,.x1=2n,x2=-4n 课后演练 8B9B10.号1.是 1.B2.C3.D4.65.-1 6.(1)2m-1=1(2)原式=2 2.1x=2=-素 7.D8.3<x<49.210.6 11.m2-2=m, (2)x=1+10 2 x2=1-v10 2 原式=(m2-m)(m_2+1）=4. 13.a=-3,b=6. m 14.证明略15.816.(1)1(2)2或-1 12解：原式-20一3 17.(1)一23(2)一1-518.证明略 ,m为x2-2x一4=0的解， 19.(1)2x+y=1; ∴.m2-2m-4=0,∴.m2-4=2m, (2)△ABC的最大边c的值为5或6； 原式-孤3=1-3=-2 (3)a+b+c=3. 第2课时用公式法求解一元二次方程 13.(1)是 基础导学 (2)①b=c-1; ②c=4时，代数式b一6c有最小值，最小值为 1.x=-b±4ac(B-4ac≥0） 2a 公式法 -15. 2.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (3)计算b一4ac的值 2一元二次方程的解法 (4)当b一4ac≥0时用公式求出原方程的根 第1课时用直接开平方法、配方法求解一元二次方程 3.62-4ac ax2+bx+c b2-4ac 基础导学 4.(1)实数根两个不相等的实数根两个相等的 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 实数根(2)没有实数根 3.(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再课后演练 将方程左边化为完全平方的形式 1.C2.4+2√2 课后演练 1.B2.A3.A 3a-1+9-1-9。 4.x1=1,x2=-1. (2)x1=2+√5，x2=2-√5. 4 6.(1)x1=3+2W5,x2=3-2√5. =-g (4)x1=√2十√6，x2=√2-√6. 80-95%-25 2 4.(1)一原方程没有化成一般形式 (2)解：a=1,b=-5,c=-1, ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. 35 年级上册·数学(BS) x=5±西.-5+四，=5=四 2 2 2 5.D6.B7.C8.-1 9.(1)根据题意，得△=（一2)2-4(4-m)>0, 解得m>3; (2).m>3,.m-3>0, 写”2号燃青 m+1 =1-m)(1+m.2.m-3 m-3 m-1m+1 =-2 10.直线不过点A(一2,4).理由略 1.1+5或-1,512.22<c<2513.2 2 2 14.当m=1时，四边形ABCD是菱形. 菱形ABCD的边长是号， 2m十2_m+1x _2m-2 15.(1)m=2m-m-号x=2m-=1. (2)m=2或3. 第3课时用因式分解法求解一元二次方程 基础导学 1.分解成两个一次因式的乘积 2.降次A=0B=0 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 课后演练 1.B2.x1=-2,x2=3 3(Q①0西=；2=22x=3,号7 。1 (3)M=2%=-1(4)1=一2，%=1 2 4.D5.x-1-2=0x1=-1,x2=3 6.(1)x1=-2,x2=3.(2)P=-2或p=3. (3)x1=-1,x2=-2. 7.(x-2)(x十8)8.一1或49.5 10.等腰三角形或直角三角形2√5或6 山.1x=1函=9.(2a=号函= (3)x1=-4,x2=3.（4)x1=x2=3. 12.5或-113.10或-114.3 15.(1)①x1=√2或x2=1； ②不等式组的解集是一1<x<2; (2)(-1D÷二4红+4=1 x+2 x2-4 x-2, 由题意可知x=1…心原式=1一2=一1. 16.(1)当x十2≥0时，解得：=0，x2=一2. .x≥一2，∴.x1=0,x2=一2是原方程的解. (2)当x十2<0时，解得=4，x2=一2. x<一2，x1=4,x2=一2均舍去. 综上所述，原方程的解为x=0,x2=一2. 第4课时用适当的方法解一元二次方程 基础导学 1.直接开平方法配方法公式法 因式分解法 课后演练 1.D2.B3.②①③ 4.(1)x1=-2,x2=6; (2)x=-1+ 5 ,=16； 5 (3)x1=1,x2=2; (4)x=1十√5，x2=1-√5 5.A6.y2-3y-1=0 7.(1)m=-1;(2)x=-9. (3)x1=2,x2=-1. 8.(1)x1=-2,x2=3;(2)Wa十√6=3. 9.x3=0,x4=-310.96 11.(1)x1=5,x2=1; (2)(x-y)(x2+xy+y2); (3)x1=1,x2=2. 12.(1)-32(2)x1=-7,x2=3; (3)3<p≤7. 3一元二次方程的根与系数的关系 基础导学 1.-6c aa 2.有两个不相等的a≠0且△>0a≠0且△≥0 3.(1)(十2)2-22(2)+ X1X2 (3)x1x2+(x1+x2)a十a2 (4)√/(x1十x2)2-4x1x2 课后演练 1.D2.D3.-18 36第3课时 用因式分解法求解一元二次方程 基础 导学 1.当一元二次方程的一边为0，而另一边能 够 时，这种解 一元二次方程的方法称为因式分解法 2.因式分解法的基本思想是通过因式分解 达到 的目的；其数学原理是：若A·B =0,则 或 ,反之也成立 3.适合用因式分解法求解的一元二次方程 的形式： (1).x2十bz=0提取公因武三z(红十b)=0: (2)x-2=0平方卷公式(x十)(x-k) =0; (3)a2x2士2abz十完全平方公式（ax十b)2 =0 4.因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)整理方程使其右边化为0； (2)将方程左边 (3)由(2)中的每个因式分别等于0，得 (4)解(3)中两方程得 课 后 演练 【基础过关】 知识点①用因式分解法求解一元二次方程 1.方程ax(x-b)十(b-x)=0的根是() A.x1=b,x2=a B1=b,2=1 a 1 C.x1=a,2= D.x1=a2,x2=b2 2.方程(x-1)(x+2)=2(x十2)的根是 3 第二章一元二次方程 3.解方程 (1)x(2x-5)=4x-10; (2)2(x-3)=3x(x-3); (3)(2y-1)2=3(1-2y); (4)2y2+4y=y+2. 知识点2运用平方差公式 4.方程(1-x)(1+x)(1+x2)+15=0的实数根 是 () A.1 B.±1 C.2 D.±2 5.用因式分解法解一元二次方程(x-1)2-4=0 时，要转化成两个一元一次方程求解，其中的 一个方程是x一1+2=0，则另一个方程是 ,一元二次方程(x一1)2-4=0 的解是 5 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 6.解下列方程： 8.现定义运算“★”，对于任意实数a,b,都有a★ (1)x+2=x2-4; b=a-3a+b,如：3★5=32-3×3+5，若x★ 2=6,则实数x的值是 9.若(m2十n2)(m2+n2-4)=5,则m2十n2= 10.一个三角形的两边长为3和4，若第三边长是方 程x2-8x+15=0的一根，则这个三角形的 形状为 ,面积 为 (2)(p-4)(p+1)+3p=+2; 11.用因式分解法解下列方程： (1)x2-10x+9=0; (3)x2-1+3(x+1)=0. (2)6x2-3x-1=2x-2; 知识点3)用十字相乘法进行因式分解 (3)(x+2)(x-1)=10; 7.对于二次三项式x2十mx十n,如果能将常数 项n分解成两个因数a,b,使a,b的和恰好等 于一次项系数m,即ab=n,a十b=m,就能将 x2+x+n分解因式.这种分解因式的方法 取名为“十字相乘法”.为使分解过程直观，常 常采用图示的方法，将二次项系数与常数项 的因数分成两列（如图），再交叉相乘并求和， 检验是否等于一次项系数，进而进行因式分 (④0gr-2z+3-0, 解.则代数式x2+6x-16因式分解的结果为 x2-5x+6 2 1-3 1×(-3)+1×(-2)=-5 .x2-5x+6=(x-2)-3) ·36· 【能力提升】 12.对于有理数a,b,c,d规定一种运算 a b 10 ad-bc,如 =1×3-0×2=3.当 3 x 2x =5时，x的值为 2 x 13.小林设计了一个魔术盒，当任意实数对(a, b)放入其中时，会得到一个新的实数a2一3b -5,例如把(1，一2)放入其中，就会得到12 -3×(-2)-5=2.现将实数对(m,3m)放 入其中，得到实数5，则m 14.已知关于x的二次方程a.x2+bx+c=0没有实 数根，甲由于看错了二次项系数，误求得两根为 1和4；乙由于看错了某一项系数的符号，误求 得两根为-2和6，则士2的值为 3a 15.(广元中考)(1)请从①、②两个小题中任选 一个作答. ①解方程：x2-(W2+1)x+√2=0； x+1>0, ②解不等式组： 2x+1<5; (2)先化简，再求值：(2+3 x+2 1)÷2-4红+4 x2-4 其中x的值是(1)中的正整数解. ·37 第二章一元二次方程 【创新拓展】 16.阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方 法，并借鉴该例题的解法解方程， 例：解方程x2-x-1-1=0. 解：(1)当x-1>0即x≥1时，x-1|=x-1. 原方程化为x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0. 解得c1=0,x2=1, .x≥1，∴.x=0(舍去)，.x=1是原方程 的解。 (2)当x-1<0即x<1时，x-1=-(x-1), 原方程化为x2+(x-1)-1=0,即x2+x 2=0, 解得x1=1,x2=-2. .x<1,x=1(舍去)，.x=-2是原方程 的解. 综上所述，原方程的解为x1=1,x2=一2. 解方程：x2+2x+2一4=0.