2.2.1 用直接开平方法、配方法求解一元二次方程-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

2 一元 第1课时用直接开平方法、配方法 求解一元二次方程 基础导 学 1.直接开平方法：如果x2=a(a≥0)，那么 x=士√a,这种方法叫作直接开平方法，其原理 为 2.配方法解一元二次方程的基本思路是将 方程转化为(x十a)2=b的形式，两边同时开平 方，即可求出解， 3.用配方法解一元二次方程的基本步骤： (1)“化”：将原方程化为一般形式，并将二 次项系数化为1； (2)“移”：将常数项移到方程右边； (3)“配”： (4)“解”：直接开平方求解。 课 后 演 练 【基础过关】 知识点①用直接开平方法解一元二次方程 1.下列方程中，不能用直接开平方法解的是 ( A.2x2-9=0 B.x2=2x C.(2x-1)2-4=0D.(x+3)2=9(2x-1)2 2.已知x=-2是关于x的方程ax2-12=0的 解，则a的值为 A.3 B.-3 C.6 D.-6 3.给出一种运算：对于函数y=x”,规定y nx1.例如：若函数y=x,则有y=4x3.已知 函数y=x,那么方程y=18的解是() A.01=√6，x2=-√6B.x1=6,x2=-6 第二章一元二次方程 次方程的解法 C.x1=3,x2=-3 D.0=32,2=-32 4.解方程：(2x+3)2=(3x+2)2. 知识点2用配方法解二次项系数为1的一元 二次方程 5.填空： (1)x2-5x+ =(x十 )2 (2)x2+ 32+ =(x十 )2; (3)2- 5 22大 =(x+ )2 6.解下列方程： (1)x2-6x=11; (2)x2-9x+19=0; (8P-号影-8-0：④r+2x+2=8x+4 7.有n个方程：x2+2x-8=0;x2+2X2x-8× 22=0;…;x2+2nx-8n2=0. 小静同学解第1个方程x2十2x一8=0的步骤 为： “①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+ 29 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 1)2=9;④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4, x2=-2.” (1)小静的解法是从第几步开始出现错误的？ 请写出正确解法. (2)用配方法解第n个方程x2+2n.x-8n2= 0.（用含有n的式子表示方程的根) 知识点3)用配方法解二次项系数不为1的一 元二次方程 8.用配方法解方程2x2一4x一7=0，下列变形结 果正确的是 Ax-I2-号 B.(x-1)2=9 2 C.(x-1)2=3 D.(x- 22=1 9.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个 完全平方式，则m等于 ( A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6 10.用配方法解方程3x2-12x+2=0,将方程变 为(x一m)2=n的形式，则n的值为 11.设m,n为实数，且W=2m2+2mn+n2-m 一2m+2有最小值，则W的最小值为 3 12.用配方法解下列方程： (1)3x2-2x-8=0; (2)2x2-4x-3=0. 13.乐乐用配方法解方程2x2-一bx十a=0,得x 多=士空，你能求出a,6的值吗 0· 第二章一元二次方程 14.用配方法证明：6x2一24x+25的值大于0. 【创新拓展】 19.阅读材料：若m2一2mm+2n2一8n+16=0,求 m,n的值. .m2-2mn+2n2-8n+16=0, ∴.(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0, .(m-n)2+(n-4)2=0, ∴.(m-n)2=0,(n-4)2=0, .n=4,m=4. 根据你的观察，探究下面的题目： 【能力提升】 (1)已知x2+2xy+2y2+2y+1=0,求2x+ y的值； 15.若(x2+y2+1)2=81,则x2+y2的值是 (2)已知△ABC的三边长a,b,c都是正整 数，且满足a2+b-6a-8b+25=0,求 16.(1)已知方程x2+4x+n=0可以配方成(x △ABC的最大边c的值； 十m)2=3,则(m-n)301= (3)已知a-b=4,ab+c2-6c+13=0,求a (2)将4个数a,b,c,d排成2行2列，两边各加 +b+c的值. a b b 一条竖线记成。定义了 =ad-bc,上 x-1x-1 述记号叫做2阶行列式.若 =4, 1-xx+1 则x= 17.(1)当x= 时，代数式3-(x+2)2有 最大值，这个最大值是 (2)当x= 时，代数式x2+2x-4有 最小值，这个最小值是 18.证明关于x的方程(m2-8m+17)x2+2x +1=0,不论m取何值，该方程都是一元二 次方程. ·31·指南针·课堂优化·才 为9. (4)=3+√11，x2=3-√11. 9.1210.-311.2x2+4x+6=0 7.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正确 12.及的取值范围是≤号且k≠一号 解法如下： x2+2x-8=0,∴.x2+2x=8, 13.a+b=-3 2 x2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, 第2课时 一元二次方程的解 则x十1=士3， 基础导学 .x=-1土3，∴.x1=2,x2=-4 1.左右两边未知数 (2)(x+n)2=9n2,.x1=2n,x2=-4n 课后演练 8B9B10.号1.是 1.B2.C3.D4.65.-1 6.(1)2m-1=1(2)原式=2 2.1x=2=-素 7.D8.3<x<49.210.6 11.m2-2=m, (2)x=1+10 2 x2=1-v10 2 原式=(m2-m)(m_2+1）=4. 13.a=-3,b=6. m 14.证明略15.816.(1)1(2)2或-1 12解：原式-20一3 17.(1)一23(2)一1-518.证明略 ,m为x2-2x一4=0的解， 19.(1)2x+y=1; ∴.m2-2m-4=0,∴.m2-4=2m, (2)△ABC的最大边c的值为5或6； 原式-孤3=1-3=-2 (3)a+b+c=3. 第2课时用公式法求解一元二次方程 13.(1)是 基础导学 (2)①b=c-1; ②c=4时，代数式b一6c有最小值，最小值为 1.x=-b±4ac(B-4ac≥0） 2a 公式法 -15. 2.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (3)计算b一4ac的值 2一元二次方程的解法 (4)当b一4ac≥0时用公式求出原方程的根 第1课时用直接开平方法、配方法求解一元二次方程 3.62-4ac ax2+bx+c b2-4ac 基础导学 4.(1)实数根两个不相等的实数根两个相等的 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 实数根(2)没有实数根 3.(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再课后演练 将方程左边化为完全平方的形式 1.C2.4+2√2 课后演练 1.B2.A3.A 3a-1+9-1-9。 4.x1=1,x2=-1. (2)x1=2+√5，x2=2-√5. 4 6.(1)x1=3+2W5,x2=3-2√5. =-g (4)x1=√2十√6，x2=√2-√6. 80-95%-25 2 4.(1)一原方程没有化成一般形式 (2)解：a=1,b=-5,c=-1, ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. 35 年级上册·数学(BS) x=5±西.-5+四，=5=四 2 2 2 5.D6.B7.C8.-1 9.(1)根据题意，得△=（一2)2-4(4-m)>0, 解得m>3; (2).m>3,.m-3>0, 写”2号燃青 m+1 =1-m)(1+m.2.m-3 m-3 m-1m+1 =-2 10.直线不过点A(一2,4).理由略 1.1+5或-1,512.22<c<2513.2 2 2 14.当m=1时，四边形ABCD是菱形. 菱形ABCD的边长是号， 2m十2_m+1x _2m-2 15.(1)m=2m-m-号x=2m-=1. (2)m=2或3. 第3课时用因式分解法求解一元二次方程 基础导学 1.分解成两个一次因式的乘积 2.降次A=0B=0 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 课后演练 1.B2.x1=-2,x2=3 3(Q①0西=；2=22x=3,号7 。1 (3)M=2%=-1(4)1=一2，%=1 2 4.D5.x-1-2=0x1=-1,x2=3 6.(1)x1=-2,x2=3.(2)P=-2或p=3. (3)x1=-1,x2=-2. 7.(x-2)(x十8)8.一1或49.5 10.等腰三角形或直角三角形2√5或6 山.1x=1函=9.(2a=号函= (3)x1=-4,x2=3.（4)x1=x2=3. 12.5或-113.10或-114.3 15.(1)①x1=√2或x2=1； ②不等式组的解集是一1<x<2; (2)(-1D÷二4红+4=1 x+2 x2-4 x-2, 由题意可知x=1…心原式=1一2=一1. 16.(1)当x十2≥0时，解得：=0，x2=一2. .x≥一2，∴.x1=0,x2=一2是原方程的解. (2)当x十2<0时，解得=4，x2=一2. x<一2，x1=4,x2=一2均舍去. 综上所述，原方程的解为x=0,x2=一2. 第4课时用适当的方法解一元二次方程 基础导学 1.直接开平方法配方法公式法 因式分解法 课后演练 1.D2.B3.②①③ 4.(1)x1=-2,x2=6; (2)x=-1+ 5 ,=16； 5 (3)x1=1,x2=2; (4)x=1十√5，x2=1-√5 5.A6.y2-3y-1=0 7.(1)m=-1;(2)x=-9. (3)x1=2,x2=-1. 8.(1)x1=-2,x2=3;(2)Wa十√6=3. 9.x3=0,x4=-310.96 11.(1)x1=5,x2=1; (2)(x-y)(x2+xy+y2); (3)x1=1,x2=2. 12.(1)-32(2)x1=-7,x2=3; (3)3<p≤7. 3一元二次方程的根与系数的关系 基础导学 1.-6c aa 2.有两个不相等的a≠0且△>0a≠0且△≥0 3.(1)(十2)2-22(2)+ X1X2 (3)x1x2+(x1+x2)a十a2 (4)√/(x1十x2)2-4x1x2 课后演练 1.D2.D3.-18 36