2.1.2 一元二次方程的解-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·才 为9. (4)=3+√11，x2=3-√11. 9.1210.-311.2x2+4x+6=0 7.(1)小静的解法是从第⑤步开始出现错误的，正确 12.及的取值范围是≤号且k≠一号 解法如下： x2+2x-8=0,∴.x2+2x=8, 13.a+b=-3 2 x2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9, 第2课时 一元二次方程的解 则x十1=士3， 基础导学 .x=-1土3，∴.x1=2,x2=-4 1.左右两边未知数 (2)(x+n)2=9n2,.x1=2n,x2=-4n 课后演练 8B9B10.号1.是 1.B2.C3.D4.65.-1 6.(1)2m-1=1(2)原式=2 2.1x=2=-素 7.D8.3<x<49.210.6 11.m2-2=m, (2)x=1+10 2 x2=1-v10 2 原式=(m2-m)(m_2+1）=4. 13.a=-3,b=6. m 14.证明略15.816.(1)1(2)2或-1 12解：原式-20一3 17.(1)一23(2)一1-518.证明略 ,m为x2-2x一4=0的解， 19.(1)2x+y=1; ∴.m2-2m-4=0,∴.m2-4=2m, (2)△ABC的最大边c的值为5或6； 原式-孤3=1-3=-2 (3)a+b+c=3. 第2课时用公式法求解一元二次方程 13.(1)是 基础导学 (2)①b=c-1; ②c=4时，代数式b一6c有最小值，最小值为 1.x=-b±4ac(B-4ac≥0） 2a 公式法 -15. 2.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (3)计算b一4ac的值 2一元二次方程的解法 (4)当b一4ac≥0时用公式求出原方程的根 第1课时用直接开平方法、配方法求解一元二次方程 3.62-4ac ax2+bx+c b2-4ac 基础导学 4.(1)实数根两个不相等的实数根两个相等的 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 实数根(2)没有实数根 3.(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再课后演练 将方程左边化为完全平方的形式 1.C2.4+2√2 课后演练 1.B2.A3.A 3a-1+9-1-9。 4.x1=1,x2=-1. (2)x1=2+√5，x2=2-√5. 4 6.(1)x1=3+2W5,x2=3-2√5. =-g (4)x1=√2十√6，x2=√2-√6. 80-95%-25 2 4.(1)一原方程没有化成一般形式 (2)解：a=1,b=-5,c=-1, ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29. 35 年级上册·数学(BS) x=5±西.-5+四，=5=四 2 2 2 5.D6.B7.C8.-1 9.(1)根据题意，得△=（一2)2-4(4-m)>0, 解得m>3; (2).m>3,.m-3>0, 写”2号燃青 m+1 =1-m)(1+m.2.m-3 m-3 m-1m+1 =-2 10.直线不过点A(一2,4).理由略 1.1+5或-1,512.22<c<2513.2 2 2 14.当m=1时，四边形ABCD是菱形. 菱形ABCD的边长是号， 2m十2_m+1x _2m-2 15.(1)m=2m-m-号x=2m-=1. (2)m=2或3. 第3课时用因式分解法求解一元二次方程 基础导学 1.分解成两个一次因式的乘积 2.降次A=0B=0 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 课后演练 1.B2.x1=-2,x2=3 3(Q①0西=；2=22x=3,号7 。1 (3)M=2%=-1(4)1=一2，%=1 2 4.D5.x-1-2=0x1=-1,x2=3 6.(1)x1=-2,x2=3.(2)P=-2或p=3. (3)x1=-1,x2=-2. 7.(x-2)(x十8)8.一1或49.5 10.等腰三角形或直角三角形2√5或6 山.1x=1函=9.(2a=号函= (3)x1=-4,x2=3.（4)x1=x2=3. 12.5或-113.10或-114.3 15.(1)①x1=√2或x2=1； ②不等式组的解集是一1<x<2; (2)(-1D÷二4红+4=1 x+2 x2-4 x-2, 由题意可知x=1…心原式=1一2=一1. 16.(1)当x十2≥0时，解得：=0，x2=一2. .x≥一2，∴.x1=0,x2=一2是原方程的解. (2)当x十2<0时，解得=4，x2=一2. x<一2，x1=4,x2=一2均舍去. 综上所述，原方程的解为x=0,x2=一2. 第4课时用适当的方法解一元二次方程 基础导学 1.直接开平方法配方法公式法 因式分解法 课后演练 1.D2.B3.②①③ 4.(1)x1=-2,x2=6; (2)x=-1+ 5 ,=16； 5 (3)x1=1,x2=2; (4)x=1十√5，x2=1-√5 5.A6.y2-3y-1=0 7.(1)m=-1;(2)x=-9. (3)x1=2,x2=-1. 8.(1)x1=-2,x2=3;(2)Wa十√6=3. 9.x3=0,x4=-310.96 11.(1)x1=5,x2=1; (2)(x-y)(x2+xy+y2); (3)x1=1,x2=2. 12.(1)-32(2)x1=-7,x2=3; (3)3<p≤7. 3一元二次方程的根与系数的关系 基础导学 1.-6c aa 2.有两个不相等的a≠0且△>0a≠0且△≥0 3.(1)(十2)2-22(2)+ X1X2 (3)x1x2+(x1+x2)a十a2 (4)√/(x1十x2)2-4x1x2 课后演练 1.D2.D3.-18 36第2课时一元二次方程的解 基 础导 学 1.一元二次方程的解：使一元二次方程 的值相等的 的值，称 为一元二次方程的解或根.反之，一元二次方程 的解或根一定能使方程左右两边相等， 2.估算一元二次方程的解的一般步骤： (1)列表：利用未知数的取值分别计算方程 中ax2+bx+c的值； (2)在表中找到使a.x2+bx+c的值可能等 于0的未知数的范围； (3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、缩 小估计范围，直到符合题中精确度要求为止. 课 后 演练 【基础过关】 知识点1一元二次方程的解 1.若一元二次方程ax2十bx十c=0有一个根为 -1,则 ( A.a+b+c=1 B.a-b+c=0 C.a+b+c=0 D.a-b+c=-1 1 2.若关于x的方程x2+(m+1)x+2=0的一 个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是 ( A B司 c昌或 D.1 3.我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1, x2=-3,现给出另一个方程(2x十3)2十2(2x 十3)-3=0，它的解是 () A.x1=1,x2=3 B.C1=1,x2=-3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-1,x2=-3 2 第二章一元二次方程 4.已知a是关于x的方程x2-2x-3=0的一 个根，则2a2-4a= 5.已知方程ax2十bx十c=0,满足a-b十c=0, 则方程必然有一个根是 6.(1)一元二次方程(m+1)x2+x+m2-1=0 有一个解为0，试求2m-1的值. (2)已知n是方程x2+x-1=0的一个根，求 代数式(n+1)2+(n+1)(n-1)的值. 知识点2估算一元二次方程的解 7.下表是y=a.x2+bx十c的x与y的几组对 应值. x 6.17 6.18 6.19 6.20 ax2+bx+c -0.03 -0.01 -0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx十c=0(a≠ 0,a,b,c为常数)的一个解x的范围是() A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18 C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 8.现有一张长方形纸片，长19cm,宽15cm,需 剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成 底面积为81cm的无盖长方体纸盒？请根据 题意列方程，并估算出小正方形边长的范围， (误差不超过1cm) 【能力提升】 9.已知m是方程x2-2026x+1=0的一个根，则代 数式m2一2027m+m2+3的值是 2026 10.已知2+2x-1-0,则2+2 11.已知m是方程x2-x-2=0的一个实数根， 求代数式(m:-m)(m一品+1)的值， 12.先化简，再求值：(m3m+1-m+3÷ m-1 m2m士4+m十2-3，其中m为方程 m-1 'm+2 x2-2x-4=0的解. 【创新拓展】 13.定义：如果关于x的一元二次方程ax2十bx 十c=0(ac≠0)有一个根是a,那么我们称这 个方程为“A方程” (1)判断：一元二次方程x2-4x+3=0 (填“是”或“否”)为“A方程”； (2)已知关于x的一元二次方程-x2+bx十c =0(c≠0). ①当b、c满足什么关系时，该方程是“A方 程”； ②若方程是“A方程”，求代数式b一6c的最 小值. 28·