第03讲 正方形的性质与判定（知识点+12题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

第03讲 正方形的性质与判定（知识点+12题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正方形性质理解 题型2 根据正方形的性质求角度 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型4 根据正方形的性质求面积 题型5 正方形折叠问题 题型6 根据正方形的性质证明 题型7 正方形的判定定理理解 题型8 证明四边形是正方形 题型9 根据正方形的性质与判定求角度 题型10根据正方形的性质与判定求线段长 题型11根据正方形的性质与判定求面积 题型12根据正方形的性质与判定证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正方形的定义，正方形的边、角、对角线，正方形的对称性，正方形的性质，正方形的判定正方形与平行四边形/矩形/菱形的关系，正方形的面积计算 1. 理解正方形的定义，认识正方形的边、内角、对角线，能用符号语言表示正方形，明确正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 2. 掌握正方形的性质定理（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分且平分一组对角），了解正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，能运用正方形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握正方形的判定定理（定义法、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形），能运用判定定理证明一个四边形是正方形，并能准确区分正方形的性质与判定。 4. 掌握正方形的面积计算公式（边长×边长、对角线乘积的一半），能综合运用正方形及特殊平行四边形的性质与判定解决实际问题和几何综合题，体会转化与分类讨论的数学思想。 学习重点：正方形的概念与表示方法、正方形的性质定理、正方形的判定定理、正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别。 学习难点：正方形性质与判定的综合应用，特殊平行四边形之间的相互转化，分类讨论思想在正方形边长、对角线及折叠问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 即时即练下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据正方形，矩形，菱形的性质，逐一判断即可解答． 【详解】∵正方形属于平行四边形，也是特殊的矩形，特殊的菱形， ∴正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，故①②③正确， ∵正方形的对称轴分别为两组对边的中垂线（2条）和两条对角线所在直线（2条），共4条对称轴，∴④错误，⑤正确， 综上，正确的结论共有4个． 【易错提醒】 定义必须同时满足三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角。缺少任何一个都不能判定为正方形。 知识点02 正方形的性质 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，同时还有以下综合性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 边的性质 正方形的四条边都相等，对边平行 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 继承了菱形"四条边都相等"和平行四边形"对边平行"的性质。 角的性质 正方形的四个角都是直角 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 继承了矩形"四个角都是直角"的性质。 对角线性质1 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD 同时具备矩形"对角线相等"和菱形"对角线互相垂直"的性质，是唯一对角线既相等又垂直的平行四边形。 对角线性质2 正方形的每一条对角线平分一组对角 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC 继承了菱形"对角线平分一组对角"的性质。 对称性 正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过对边中点的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴数量是矩形和菱形的总和（2+2=4），不要误以为只有2条对称轴。 即时即练下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．有一个角是直角 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，比较正方形和矩形的性质，找出正方形具备而矩形不一定具备的特征即可． 【详解】解：正方形同时具有矩形和菱形的所有性质，矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直；而正方形的对角线不仅相等、互相平分，还互相垂直，因此“对角线互相垂直”是正方形具备而矩形不一定具备的性质． 故选D． 知识点03 正方形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是正方形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 最完整的判定方法，包含了正方形的所有本质特征。 矩形+菱形判定1 有一组邻边相等的矩形是正方形 ∵ 四边形ABCD是矩形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是正方形 先证明是矩形，再证明有一组邻边相等（即菱形的特征）。 矩形+菱形判定2 有一个角是直角的菱形是正方形 ∵ 四边形ABCD是菱形，且∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 先证明是菱形，再证明有一个角是直角（即矩形的特征）。 对角线判定1 对角线互相垂直的矩形是正方形 ∵ 四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形 矩形的对角线本来就相等，再加上互相垂直，就具备了菱形的特征。 对角线判定2 对角线相等的菱形是正方形 ∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=BD ∴ 四边形ABCD是正方形 菱形的对角线本来就互相垂直，再加上相等，就具备了矩形的特征。 即时即练如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题考查菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键．根据菱形的性质，得到，线段的和差得到，进而得到四边形为菱形，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】证明：∵菱形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形为平行四边形形， 又， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为正方形． 【易错提醒】 "相等且互相垂直平分"已经包含了矩形和菱形的所有对角线特征，所以可以直接判定为正方形。 知识点04 正方形的面积计算 1.通用方法：S=边长×边长（即S=a²） 2.特殊方法：S=×两条对角线的乘积 几何语言： ∵ 四边形ABCD是正方形，对角线AC和BD相交于点O ∴ S正方形ABCD=AB²=×AC×BD 即时即练如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是点 ，旋转了 ； (2)如果正方形的边长为，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了正方形旋转．熟练掌握正方形性质，旋转中心定义，旋转角定义，旋转性质，是解决问题的关键． （1）由旋转知，旋转中心是点A，旋转角是， （2）根据，得到． 【详解】（1）解：∵正方形中，，经顺时针旋转后与重合， ∴旋转中心是点，旋转角是， 故答案为：， （2）解：∵经顺时针旋转后与重合， ∴． ∴， ∴． 【易错提醒】 正方形同时适用矩形和菱形的面积公式，这是它独有的特点 不要忘记对角线面积公式中的½，和菱形面积公式完全相同 已知正方形的对角线长度，可以直接用½×对角线²求出面积 题型1 正方形性质理解 【例1】判断下列命题是否正确： (1)正方形有四条对称轴； (2)正方形的两条对角线将其分成4个全等的等腰直角三角形； (3)对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形． 【答案】(1)正确 (2)正确 (3)正确 (4)正确 【分析】根据正方形对称轴的定义，正方形对角线的性质，正方形的判定定理，逐一判断每个命题的正误． 【详解】（1）解：正方形的对称轴包括两条对边中点所在直线，两条对角线所在直线，一共4条，因此该命题正确； （2）解：正方形的对角线相等且互相垂直平分，所得到的4个三角形都为等腰直角三角形，且四个三角形全等，因此该命题正确； （3）解：矩形的性质为四个角都是直角，对角线相等，在此基础上若对角线互相垂直，则满足正方形的判定要求，因此对角线互相垂直的矩形是正方形，该命题正确； （4）解：菱形的性质为四条边相等，对角线互相垂直，在此基础上若对角线相等，则满足正方形的判定要求，因此对角线相等的菱形是正方形，该命题正确． 【技巧归纳】  角：四个角都是直角  边：四条边都相等，对边平行  对角线：相等且互相垂直平分，平分一组对角（与边夹角为45°）  对称性：轴对称（4 条对称轴）+ 中心对称  对角线将正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 【变式1-1】正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】C 【详解】解：平行四边形的性质为：对边相等，对角相等，对角线互相平分，正方形也是平行四边形，这些性质正方形都具备， 选项A，B，D都是正方形和平行四边形都具有的性质，不符合题意； 正方形的对角线互相垂直相等且平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直， 选项C，是正方形具有，而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】求解直线过点，分情况求解：当直线过点时， 当直线过点时，再进一步结合图形求解即可. 【详解】解：∵正方形的边长为3，顶点C的坐标为， ∴，，， ∵， ∴直线过点， 如图， 当直线过点时，则， 解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则， 解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是． 题型2 根据正方形的性质求角度 【例2】如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先由及求出的度数，再利用正方形性质得到及，进而求出，最后在等腰中利用内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴ 【技巧归纳】  见对角线直接得 45° 角，所有被对角线平分的角都是 45°  利用直角互余、对顶角相等、全等三角形对应角相等推导  折叠 / 旋转问题中，对应角相等，角度大小不变  出现等边三角形时，结合 60° 角计算特殊角度 【变式2-1】如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【答案】22.5 【分析】由正方形的性质得，，，再根据等边对等角得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ． ∵， ． ． 【变式2-2】如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，，利用证明，得到，结合角的和差关系计算即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型3 根据正方形的性质求线段长 【例3】如图，在正方形中，连接，点在边上，连接，，过点作于点，若，则的长为（     ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到、，进而得到是的平分线，利用角平分线的性质定理求出，据此求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 、， ， ， ， 是的平分线， ， ． 【技巧归纳】 边长与对角线关系：对角线 = 边长 × 对角线被交点分成的四条线段相等，长度为对角线的一半 所有直角三角形优先用勾股定理，等腰直角三角形边长比为 1:1: 折叠问题：设未知数→找直角三角形→列勾股方程求解 【变式3-1】如图，正方形和正方形并排放在一起，A，B，E在同一条直线上，，分别是两个正方形的中心．已知，，则的长为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接和，证明，分别求得，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接和， ∵正方形和正方形，，分别是两个正方形的中心， ∴，分别在和上，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3-2】．如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，由正方形的性质得再证明，根据证明，得，，从而可求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 题型4 根据正方形的性质求面积 【例4】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】证明重叠部分的面积恒等于正方形面积的，通过证明，将重叠部分（四边形）的面积转化为的面积求解. 【详解】解：设交于点，交于点， 四边形是正方形，边长， ，，，， 四边形是正方形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 图中重叠部分的面积是1 . 【技巧归纳】  公式 1：S=边长 ²（最常用）  公式 2：S=（d为对角线，菱形面积公式通用）  对角线分成的 4 个等腰直角三角形，每个面积为  阴影面积常用割补法、等积变换法、总面积减空白法 【变式4-1】如图，由五个部分组成：两个面积都是的等腰直角三角形，两个面积都是的直角三角形，一个面积为的正方形，则四边形的面积一定可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意设，，表示出，根据，以及，进而求解． 【详解】解：如图所示： 依题意得：和是等腰直角三角形，且面积为，四边形是正方形， ∴设，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积一定可以表示为． 【变式4-2】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 题型5 正方形折叠问题 【例5】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查翻折变换——折叠问题，正方形的性质，勾股定理．由折叠的性质以及正方形的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：C． 【技巧归纳】 折叠本质：对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 正方形折叠后极易出现等腰直角三角形，直接用 45° 角性质 通用步骤：标相等线段→设未知数→将已知未知边集中到一个直角三角形→勾股求解 常见结论：折叠后重叠部分必为等腰三角形 【变式5-1】如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【答案】B 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴，， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 【变式5-2】如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、圆外一点到圆上的最短距离；由翻折的性质可知：点在上运动的过程中，点的轨迹是一段圆弧，由此可以求出的最小值； 【详解】解：如图，连接，以为圆心，的长为半径画弧； 在正方形中，， ∴， 在中，， 由翻折的性质可知： 点在上运动的过程中，， ∴点的轨迹是以为圆心，半径为的一段弧； ∴当 三点共线时，有最小值， 此时， 故答案为：． 题型6 根据正方形的性质证明 【例6】如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（     ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【分析】由正方形和翻折的性质可知， ，，可解得，而，解得，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由翻折的性质得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【技巧归纳】 证线段 / 角相等：优先找全等三角形（正方形四边相等、四角直角是天然全等条件） 证垂直：用直角性质或全等三角形对应角相等推导 证线段和差：常用截长补短法 常用辅助线：连接对角线、过顶点作垂线 【变式6-1】如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， ， ． (2)8 【分析】（1）先根据正方形性质得到边和角的相等关系，找到和的对应相等的边与角，再用全等三角形判定定理证明全等。 （2）先由正方形性质得到，设的长为未知数，用表示出的长度，再结合的长度，用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）四边形是正方形， ，， ，， 设，则， 在中，， ， ，（舍去） ． 【变式6-2】如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 题型7 正方形的判定定理理解 【例7】在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【答案】A 【分析】矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形． 【详解】解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意； D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意． 【技巧归纳】 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 矩形 + 一组邻边相等 或 对角线互相垂直 菱形 + 一个角是直角 或 对角线相等 易错点：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先证是平行四边形 【变式7-1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接和．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)是什么三角形时，四边形是正方形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，见解析 (3)当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形，见解析 【分析】（1）证明和全等，得到，再结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形完成证明； （2）由（1）得，可得，四边形是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，即可求解； （3）由（2）得，当时，四边形是菱形，由等腰三角形的性质，结合正方形的判定定理，即可求解． 【详解】（1）证明： ，  ，  E是的中点，  ， 在和中，  ， ， ， 又，  四边形是平行四边形． （2）解：四边形是菱形， 证明：在中，是边上的中线， ， 又 ， 四边形是平行四边形，  是边上的中线，， ， 四边形是菱形． （3）解：当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形， 理由： 当是以为斜边的等腰直角三角形时，，， 由（2）得，四边形是菱形，  ，， ， 四边形是正方形，  当是以为斜边的等腰直角三角形时，四边形是正方形． 【变式7-2】如图，正方形中，点在对角线上． (1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，求证：． 【答案】(1)如图，正方形即为所求； (2) 证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形，和相交于点 ∴，， ∴，即 ∴ ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得 又∵在中，由勾股定理得 ∴． 【分析】（1）作，交延长线于点G，然后尺规作出的垂直平分线，然后截取即可； （2）根据题意证明出，得到，，然后利用勾股定理求解即可． 题型8 证明四边形是正方形 【例8】如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】先根据题意证明四边形是矩形，再利用角平分线得到，证明和，从而得到矩形的邻边相等，证出答案． 【详解】证明：如图所示，过点作，垂足为点， ， ∴， ∵，，， ∴ ∴四边形是矩形，， ∵两条外角平分线交于点， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，, ∴， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【技巧归纳】 已知有直角：先证矩形→再证一组邻边相等 / 对角线垂直 已知边相等：先证菱形→再证一个角是直角 / 对角线相等 已知对角线：先证对角线互相平分→再证相等且垂直 最简路径：根据已知条件选最少步骤的判定方法 【变式8-1】如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ，，． ， ，即． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形． 又∵， ∴四边形是正方形； (2)． 【分析】（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证； （2）根据正方形的性质得到，，，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∵， ∴． 【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是矩形，过点作，根据角平分线的性质定理得到，即可得证； （2）根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的定义求出，将绕点旋转，得到，证明，得到，可知，设，正方形的边长为，则，点坐标为，根据勾股定理求出的值即可． 【详解】（1）证明：∵过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D， ∴， ∴四边形为矩形， 过点作， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P，， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵的两条外角平分线、交于第一象限的点P， ∴， ∴， ∴， 将绕点旋转，得到， ∴，， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，正方形的边长为， 则，点坐标为， ∵， ∴， 即， 在中，， 由勾股定理：， 且， ∴， 解得， ∴． 题型9 根据正方形的性质与判定求角度 【例9】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【答案】(1)见解析 (2)135° 【分析】（1）先由两组对边平行证明四边形OCED是平行四边形，再由OD=OC证明四边形OCED是菱形； （2）先证矩形ABCD是正方形，再由正方形的性质得∠BDC=∠ACD=，再由平行线的性质得∠EDC=∠ACD=45°，由此可解． 【详解】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O， ∴OD=OC． ∴四边形OCED是菱形． （2）解：∵矩形ABCD中，AB=AD， ∴矩形ABCD是正方形， ∴∠ADC=∠BCD=90°， ∴∠BDC=∠ACD=． ∵DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD=45°， ∴∠ADE=90°+45°=135°． 【点睛】本题考查菱形的判定、正方形的判定与性质以及平行线的性质，由正方形的性质得出∠BDC=∠ACD=是解题的关键． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型 8 的方法证明四边形是正方形 第二步：利用对角线平分对角得 45°、直角互余等性质计算 结合全等三角形、折叠 / 旋转的角度不变性推导 特殊角（30°、60°）结合 45° 角直接得出结果 【变式9-1】如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【答案】65° 【分析】先证明求得，再根据三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， 在和中， ， ∴； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和及外角和的性质，三角形全等的判定，熟悉三角形的外角性质是解题的关键． 【变式9-2】如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 题型10 根据正方形的性质与判定求线段长 【例10】如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得，然后根据图形旋转的性质证明四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 绕点C按顺时针方向旋转，得到， ，，， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形，得到四边相等和对角线垂直相等 第二步：在等腰直角三角形中用 1:1:的边长比快速计算 利用正方形的轴对称性找相等线段，简化计算 折叠问题仍遵循 "设未知数 + 勾股定理" 的通用解法 【变式10-1】如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【答案】50 【分析】过点A作交于点G，根据角平分线的性质可知，．再证明，得到，，，则四边形是正方形，，设，，则，，，在中，根据勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：过点A作交于点G，如图所示． 根据角平分线的性质可知，，，． ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形，， 设，，则，，， 在中，根据勾股定理，得， 即， 整理，得， ∵， ∴． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为，证明得出四边形是正方形，进而根据，，得出,即可求解． 【详解】解：如图，过点，分别作轴的垂线段，垂足分别为， ∴，则四边形是矩形 ∵四边形是正方形，对角线，交于点． ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴四边形是正方形 ∴ 设 ∴， 解得： ∴ ∴ 题型11 根据正方形的性质与判定求面积 【例11】如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【答案】8 【分析】作于点，作于点，证得，利用勾股定理求得正方形的边长，即可求得面积． 【详解】解：如图，作于点，作于点， ， ． ， ． ∵平分， ． ， ， ． ， ∴四边形是矩形， ∴四边形是正方形． ， ， ∴四边形的面积等于正方形． 设正方形的边长为，， 由勾股定理可知：， ， ∴正方形的面积等于8， ∴四边形的面积等于8． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形 第二步：已知边长用边长2，已知对角线用 利用面积相等可求正方形内的高或线段长度 不规则阴影面积优先用割补法转化为规则图形计算 【变式11-1】如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据角平分线及平行线的性质证明即可； （2）连接，先证明四边形是正方形，再根据得到，最后求面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2）解：连接，如图， ∵， ∴菱形形是正方形， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 【变式11-2】如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)A，或； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及旋转中心的确定，旋转角的确定，以及旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小的性质． （1）根据图形确定旋转中心即可，对应边的夹角即为旋转角，再根据正方形的每一个角都是直角解答； （2）根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得的面积等于的面积，从而得到四边形的面积等于正方形的面积，然后求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，点A为旋转中心，在四边形中，， ∴， ∴，， 所以，逆时针旋转了或顺时针； 故答案为：A，或； （2）解：由旋转性质知，， ∴四边形是正方形， ∵旋转后能与重合， ∴， ∴， ∴四边形的面积=正方形的面积， ∵， ∴四边形的面积． 题型12 根据正方形的性质与判定证明 【例12】如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）因为等腰直角三角形中，是斜边上的中线，所以先利用等腰直角三角形三线合一的性质，得出与的位置关系和数量关系。因为四边形是平行四边形，且已得出，所以根据正方形的判定定理，一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，可完成证明． （2）先根据的长度和等腰直角三角形的性质，求出的长度，进而得到正方形的边长。然后通过分析图形中线段的位置和数量关系，利用勾股定理来计算的长度． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，是边上的中线， ∴， ∴为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． （2）解：∵为等腰直角三角形，，， ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形，获得边、角、对角线的全部性质 第二步：利用正方形的边相等、角相等构造全等三角形 常用结论：正方形中互相垂直的两条线段长度相等 辅助线：连接对角线构造等腰直角三角形或全等三角形 【变式12-1】如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形； （2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ， ∵，， ． ∵， ∴四边形是矩形． ． ∵ ． ． ． ． ∴矩形是正方形； （2）解：． 证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形， ，，． ． ， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【变式12-2】如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】(1)见解析 (2)不会发生变化，面积为4 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【详解】（1）证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． 一、单选题 1．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 【答案】B 【详解】解：∵菱形本身具有的性质为：对角线平分一组对角，对角线互相垂直平分，四条边相等， ∴A，C，D都是菱形本身就有的性质，不能使菱形变为正方形， 又∵对角线相等的菱形是正方形， ∴添加条件对角线相等能使菱形成为正方形． 2．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 【答案】B 【详解】解：原矩形对角线长为，顺次连接各边中点得到新四边形，新四边形的每条边都是对应三角形中以矩形对角线为第三边的中位线， ∵三角形中位线的长度等于矩形对角线长度的，矩形对角线长度相等， ∴新四边形每条边的长度， ∴新四边形的边长为． 3．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、菱形、正方形、矩形的判定定理，逐项判断命题的真假即可得出答案． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定定理，是真命题，不符合题意； B．四边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意； C．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线相等的条件，因此原命题是假命题，符合题意； D．三个角是直角的四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意； 4．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得四边形是矩形，结合正方形的判定即可求解． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是矩形， 若添加条件，则四边形是正方形， 若添加条件或或，无法推出四边形是正方形， ∴只有B选项符合题意． 5．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 【答案】B 【分析】设，两个正方形的面积分别为，根据勾股定理可得，代入数据即可求解． 【详解】解：设，则以，为边的两个正方形的面积分别为， ， 在中，由勾股定理得， 即两个正方形的面积和为， ， 面积和． 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得点A和点C关于x轴对称，然后根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴点A和点C关于对称，即点A和点C关于x轴对称， ∵点C的坐标为， ∴点A的坐标为． 8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取点，，容易证明，则，由勾股定理可得，从而得到． 【详解】解：如图，取点，， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴． 9．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，邻边相等的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形判断即可． 【详解】解：四边形中，，不能判定四边形是平行四边形，故①错误； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，故②正确； 平行四边形中， ∵， 四边形是矩形，不是菱形，故③错误； 矩形中， ∵， 四边形是正方形，故④正确； 菱形中， ∵， 四边形是正方形，故⑤正确； 综上，正确的有②④⑤共3个． 10．如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，当点P在上运动时， 不存在；再分别求出点P在上运动（不包含点D）、点P在上运动（不包含点C）、点P在上运动（不包含点B）时y与x的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：当点P在上运动，即时，此时不存在； 当点P在上运动（不包含点D）时，即时，， 则； 当点P在上运动（不包含点C），即时， 则， 当点P在上运动（不包含点B），即时，， 则， ∴四个函数图象中，只有B选项中的函数图象符合题意． 二、填空题 11．已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据已知条件判定四边形为矩形，再根据正方形的判定定理，添加使矩形成为正方形的条件即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形． 当添加条件时，一组邻边相等的矩形是正方形，即四边形为正方形． 12．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为______． 【答案】 【详解】解：如解图，过点P作于点F， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴点P到直线的距离为3． 13．如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】先得到四边形是矩形，再从矩形的角度添加条件证明其为正方形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 若添加条件， 四边形是矩形，， 四边形是正方形． 14．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为_______． 【答案】 【详解】解：四边形为正方形， ， ， ， ， ， 点E所表示的数为． 15．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为_____． 【答案】 【分析】连接，交于点，由正方形的性质求得，即可得到点A的坐标为． 【详解】解：连接，交于点， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 16．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 17．如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 【答案】/15度 【分析】连接，由正方形性质得，，由得，得，结合 、证，得，故为等边三角形，，从而． 【详解】如图，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 18．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点，证明，求出，，可得等腰直角，为的中位线，求出的长，进而求出的长即可解题． 【详解】解：（1）在正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴； （2）在上取一点，使，连接，延长交延长线于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即点为的中点，且点为的中点， ∴为的中位线， ∴． 19．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长至点使，连接，，可证得，于是有；又与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线，可知，，由勾股定理即可求解的最小值． 【详解】解：延长至点使，连接，，则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵ ∴， ∴， ∵，， ∴与关于轴对称，所在的直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时，有最小值，最小值为． 20．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点P，连接，根据正方形的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，连接， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点，分别是边，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴. 三、解答题 21．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据正方形和菱形的性质：一条对角线平分一组对角，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形，分别是菱形与正方形，且为对角线， ∴， ， ， ∵四边形是菱形， ， ． 22．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 【答案】证明：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【详解】略 23．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 【答案】8 【分析】根据平行四边形的性质即可求得对角线长，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中， ∴，， ∴正方形的面积为：． 24．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 25．如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据四边形是正方形，得，，又因为，故，得，即可作答． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴． 26．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 27．如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵四边形为等腰梯形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在和中， ∴， ∴， ∵、、分别是、、的中点， ∴、分别为的中位线， ∴，，且，， ∴， ∴四边形是菱形； (2)结论：等腰梯形的高是底边的一半． 理由：连接， ∵，， ∴， ∴是梯形的高， 又∵四边形是正方形， ∴， ∴为直角三角形， 又∵是的中点， ∴， 即等腰梯形的高是底边的一半． 【分析】（1）利用等腰梯形的性质证明，得到，再利用中位线的性质证明，即可证明四边形是菱形； （2）连接，利用等腰三角形三线合一的性质证明，利用正方形的性质得到，证明出为直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 28．请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． (1)求证：四边形是矩形； (2)与的夹角为_______度时，四边形是正方形． 理由： 【答案】(1)证明：∵正方形中，， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是矩形． (2)解：； 理由：延长交于点H， ∵正方形和平行四边形中，， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，即， ∴， ∴平行四边形是菱形， 由（1）知四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据正方形的性质得出，再由矩形的判定即可证明； （2）延长交于点H，根据全等三角形的判定得出，，再由其性质确定，，结合正方形的判定即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 29．如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，， 根据折叠的性质可知，，， ， 在和中， ． (2) 【分析】（1）利用折叠与正方形性质得到直角和一组直角边相等，结合公共斜边，用证明两个直角三角形全等； （2）借助全等三角形和折叠的性质推出相等线段，设，然后表示出各边长，再用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）略 （2）解： ，点是的中点， ， 由折叠的性质可知，， 据（1）知， ， 设，则，，， ， 在中，，即， 解得， ． 30．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． (1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； (2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） (3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 【答案】(1)相等，相等且互相垂直 (2)一组邻边相等的矩形（答案不唯一） (3)证明：连接交于点，如图 四边形是正方形， ，，． ， ， 即． 又， 四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）根据矩形，正方形的判定进行求解即可； （2）根据正方形的判定进行求解即可； （3）连接交于点，根据正方形的性质，得到，，，继而推导出，得到四边形是平行四边形，再根据，可得到四边形是菱形，即可解答． 【详解】（1）解：∵对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形， 即在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为相等，相等且互相垂直； （2）解：由一组邻边相等的矩形是正方形，可知 横线上的答案为一组邻边相等的矩形（答案不唯一）； （3）略 31．如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， ∵， ， ． (2)证明：∵点O为AB的中点 ， 在和中， ， ， ，即． ∴四边形是平行四边形； ∵，是的角平分线， ， ∴， ∴是矩形． (3)当满足时，四边形是正方形． 理由如下： ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）根据“等边对等角”得到，即可推出，根据平行线的判定即可证明； （2）先证明得到，结合得到，再根据“三线合一”得到，即可证明是矩形； （3）当时，，得到，即可得到四边形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 32．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 【答案】(1)证明：如图，连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)①菱；②矩 (3)菱 【分析】（1）连接，利用三角形的中位线定理推导出，，然后利用平行四边形的判定可得结论； （2）①连接，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； （3）分别延长、相交于点M，连接、，证明，得到，根据（2）①证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：①连接， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ②∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，， ∵， ∴，即， 由（1）知四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； （3）解：四边形的中点四边形是菱形．理由如下： 分别延长、相交于点M，连接、， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 由（2）①知，四边形的中点四边形是菱形． 33．综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)作图见解析，分割线长为 【分析】（1）根据证明即可； （2）先证明四边形是正方形，则，而，再进行等量代换求解即可； （3）将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可，连接，过点作交的延长线于点，证明，得到是等腰直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，分割线即为所求； 将四边形沿着剪开，再将拼接到的位置即可， 连接，过点作交的延长线于点， ∴ ∴ ∵在四边形中， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 34．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 35．如图，将边长为4个单位长度的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，其他边在x轴的上方，点A的坐标是，点E的坐标是． (1)若直线l经过点C和点E，求直线l的函数解析式； (2)若直线经过点，且与直线平行，将（1）中直线l沿着y轴向上平移2个单位长度后交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图形推出点C的坐标，设直线l的函数解析式为．利用待定系数法求解，即可解题； （2）设直线的函数解析式为，利用待定系数法求出直线的函数解析式，根据函数的平移规律推出直线l平移后的函数解析式，进而求出点M的坐标，联立l与求出点N的坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，点C的坐标是． 设直线l的函数解析式为． ∵直线l经过点和点， ， 解得， ∴直线l的函数解析式为． （2）解：设直线的函数解析式为， 将代入，得． 解得． ∴直线的函数解析式为． 由题意知，（1）中直线l沿着y轴向上平移2个单位长度后的函数解析式为． 当时，． 解得． ∴点M的坐标是． ． 联立， 解得， ∴点N的坐标是． ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 正方形的性质与判定（知识点+12题型） 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正方形性质理解 题型2 根据正方形的性质求角度 题型3 根据正方形的性质求线段长 题型4 根据正方形的性质求面积 题型5 正方形折叠问题 题型6 根据正方形的性质证明 题型7 正方形的判定定理理解 题型8 证明四边形是正方形 题型9 根据正方形的性质与判定求角度 题型10根据正方形的性质与判定求线段长 题型11根据正方形的性质与判定求面积 题型12根据正方形的性质与判定证明 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正方形的定义，正方形的边、角、对角线，正方形的对称性，正方形的性质，正方形的判定正方形与平行四边形/矩形/菱形的关系，正方形的面积计算 1. 理解正方形的定义，认识正方形的边、内角、对角线，能用符号语言表示正方形，明确正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，理清它与平行四边形、矩形、菱形的从属关系。 2. 掌握正方形的性质定理（四条边相等、四个角都是直角、对角线相等且互相垂直平分且平分一组对角），了解正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，能运用正方形的性质进行线段长度、角度大小的计算和相关几何证明。 3. 掌握正方形的判定定理（定义法、有一组邻边相等的矩形是正方形、有一个角是直角的菱形是正方形），能运用判定定理证明一个四边形是正方形，并能准确区分正方形的性质与判定。 4. 掌握正方形的面积计算公式（边长×边长、对角线乘积的一半），能综合运用正方形及特殊平行四边形的性质与判定解决实际问题和几何综合题，体会转化与分类讨论的数学思想。 学习重点：正方形的概念与表示方法、正方形的性质定理、正方形的判定定理、正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别。 学习难点：正方形性质与判定的综合应用，特殊平行四边形之间的相互转化，分类讨论思想在正方形边长、对角线及折叠问题中的应用。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正方形的定义 定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 几何语言： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∠ABC=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 即时即练下列结论中，正确的有（   ） ①正方形具有平行四边形的一切性质；②正方形具有矩形的一切性质；③正方形具有菱形的一切性质；④正方形有两条对称轴；⑤正方形有4条对称轴 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【易错提醒】 定义必须同时满足三个条件：①是平行四边形；②有一组邻边相等；③有一个角是直角。缺少任何一个都不能判定为正方形。 知识点02 正方形的性质 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，同时还有以下综合性质： 性质类别 具体内容 几何语言 对应易错提醒 边的性质 正方形的四条边都相等，对边平行 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 继承了菱形"四条边都相等"和平行四边形"对边平行"的性质。 角的性质 正方形的四个角都是直角 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 继承了矩形"四个角都是直角"的性质。 对角线性质1 正方形的两条对角线相等且互相垂直平分 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD 同时具备矩形"对角线相等"和菱形"对角线互相垂直"的性质，是唯一对角线既相等又垂直的平行四边形。 对角线性质2 正方形的每一条对角线平分一组对角 ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ AC平分∠BAD和∠BCDBD平分∠ABC和∠ADC 继承了菱形"对角线平分一组对角"的性质。 对称性 正方形是轴对称图形，有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和过对边中点的直线；同时也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 - 对称轴数量是矩形和菱形的总和（2+2=4），不要误以为只有2条对称轴。 即时即练下列性质中，正方形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．有一个角是直角 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 知识点03 正方形的判定定理 满足以下任意一个条件，即可判定一个四边形是正方形： 判定方法 具体内容 几何语言 对应易错提醒 定义判定 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 最完整的判定方法，包含了正方形的所有本质特征。 矩形+菱形判定1 有一组邻边相等的矩形是正方形 ∵ 四边形ABCD是矩形，且AB=BC ∴ 四边形ABCD是正方形 先证明是矩形，再证明有一组邻边相等（即菱形的特征）。 矩形+菱形判定2 有一个角是直角的菱形是正方形 ∵ 四边形ABCD是菱形，且∠A=90° ∴ 四边形ABCD是正方形 先证明是菱形，再证明有一个角是直角（即矩形的特征）。 对角线判定1 对角线互相垂直的矩形是正方形 ∵ 四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD ∴ 四边形ABCD是正方形 矩形的对角线本来就相等，再加上互相垂直，就具备了菱形的特征。 对角线判定2 对角线相等的菱形是正方形 ∵ 四边形ABCD是菱形，且AC=BD ∴ 四边形ABCD是正方形 菱形的对角线本来就互相垂直，再加上相等，就具备了矩形的特征。 即时即练如图，已知菱形的对角线交于点O，E，F是对角线所在直线上的两点，且，，连接，得四边形．求证：四边形是正方形． 【易错提醒】 "相等且互相垂直平分"已经包含了矩形和菱形的所有对角线特征，所以可以直接判定为正方形。 知识点04 正方形的面积计算 1.通用方法：S=边长×边长（即S=a²） 2.特殊方法：S=×两条对角线的乘积 几何语言： ∵ 四边形ABCD是正方形，对角线AC和BD相交于点O ∴ S正方形ABCD=AB²=×AC×BD 即时即练如图，正方形中，经顺时针旋转后与重合． (1)旋转中心是点 ，旋转了 ； (2)如果正方形的边长为，求四边形的面积． 【易错提醒】 正方形同时适用矩形和菱形的面积公式，这是它独有的特点 不要忘记对角线面积公式中的½，和菱形面积公式完全相同 已知正方形的对角线长度，可以直接用½×对角线²求出面积 题型1 正方形性质理解 【例1】判断下列命题是否正确： (1)正方形有四条对称轴； (2)正方形的两条对角线将其分成4个全等的等腰直角三角形； (3)对角线互相垂直的矩形是正方形； (4)对角线相等的菱形是正方形． 【技巧归纳】  角：四个角都是直角  边：四条边都相等，对边平行  对角线：相等且互相垂直平分，平分一组对角（与边夹角为45°）  对称性：轴对称（4 条对称轴）+ 中心对称  对角线将正方形分成4 个全等的等腰直角三角形 【变式1-1】正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（     ） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【变式1-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，顶点C的坐标为．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（     ） A． B．或 C． D． 题型2 根据正方形的性质求角度 【例2】如图，点为正方形内一点，，，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【技巧归纳】  见对角线直接得 45° 角，所有被对角线平分的角都是 45°  利用直角互余、对顶角相等、全等三角形对应角相等推导  折叠 / 旋转问题中，对应角相等，角度大小不变  出现等边三角形时，结合 60° 角计算特殊角度 【变式2-1】如图，在正方形中，与交于点O，点E为上一点，且，连接，则的度数为__________°． 【变式2-2】如图，在正方形中，点，．分别在边，上，连接，，，且是等边三角形，则的度数为______． 题型3 根据正方形的性质求线段长 【例3】如图，在正方形中，连接，点在边上，连接，，过点作于点，若，则的长为（     ） A． B．2 C． D．1 【技巧归纳】 边长与对角线关系：对角线 = 边长 × 对角线被交点分成的四条线段相等，长度为对角线的一半 所有直角三角形优先用勾股定理，等腰直角三角形边长比为 1:1: 折叠问题：设未知数→找直角三角形→列勾股方程求解 【变式3-1】如图，正方形和正方形并排放在一起，A，B，E在同一条直线上，，分别是两个正方形的中心．已知，，则的长为（   ） A．7 B． C． D． 【变式3-2】．如图，在正方形中，点在边上，连接，过点作于点，过点作于点，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．7 D．11 题型4 根据正方形的性质求面积 【例4】如图，正方形的顶点与正方形的对角线交点重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是（     ） A．1 B．2 C． D． 【技巧归纳】  公式 1：S=边长 ²（最常用）  公式 2：S=（d为对角线，菱形面积公式通用）  对角线分成的 4 个等腰直角三角形，每个面积为  阴影面积常用割补法、等积变换法、总面积减空白法 【变式4-1】如图，由五个部分组成：两个面积都是的等腰直角三角形，两个面积都是的直角三角形，一个面积为的正方形，则四边形的面积一定可以表示为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 题型5 正方形折叠问题 【例5】如图，正方形的边长为，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为．若，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 折叠本质：对应边相等、对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线 正方形折叠后极易出现等腰直角三角形，直接用 45° 角性质 通用步骤：标相等线段→设未知数→将已知未知边集中到一个直角三角形→勾股求解 常见结论：折叠后重叠部分必为等腰三角形 【变式5-1】如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．①②④ B．①②③ C．④③② D．①③④ 【变式5-2】如图，在正方形中，，是上一点，且，是上一动点，连接，若将沿翻折后，点落在点处，则到点的最短距离为________ 题型6 根据正方形的性质证明 【例6】如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，若，则的度数为（     ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【技巧归纳】 证线段 / 角相等：优先找全等三角形（正方形四边相等、四角直角是天然全等条件） 证垂直：用直角性质或全等三角形对应角相等推导 证线段和差：常用截长补短法 常用辅助线：连接对角线、过顶点作垂线 【变式6-1】如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接． (1)求证： (2)若，，求的长． 【变式6-2】如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 题型7 正方形的判定定理理解 【例7】在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（     ） A．①处应添加对角相等 B．②处应添加对角线互相垂直 C．③处应添加有一组邻边相等 D．④处应添加有一个角是直角 【技巧归纳】 平行四边形 + 一组邻边相等 + 一个角是直角 矩形 + 一组邻边相等 或 对角线互相垂直 菱形 + 一个角是直角 或 对角线相等 易错点：对角线相等且垂直的四边形≠正方形，必须先证是平行四边形 【变式7-1】如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接和．   (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论； (3)是什么三角形时，四边形是正方形，请说明理由． 【变式7-2】如图，正方形中，点在对角线上． (1)求作正方形，使得为正方形的中心；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的作图条件下，求证：． 题型8 证明四边形是正方形 【例8】如图，两条外角平分线交于点，，过点作于点于点．求证：四边形是正方形． 【技巧归纳】 已知有直角：先证矩形→再证一组邻边相等 / 对角线垂直 已知边相等：先证菱形→再证一个角是直角 / 对角线相等 已知对角线：先证对角线互相平分→再证相等且垂直 最简路径：根据已知条件选最少步骤的判定方法 【变式8-1】如图，在菱形中，对角线相交于点，点均在对角线上，且，连接． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求的长． 【变式8-2】如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，连接，的两条外角平分线、交于第一象限的点P，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为C、D． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求点B的坐标． 题型9 根据正方形的性质与判定求角度 【例9】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD． (1)求证：四边形OCED是菱形； (2)若AB=AD，求∠ADE的度数． 【技巧归纳】 第一步：严格按题型 8 的方法证明四边形是正方形 第二步：利用对角线平分对角得 45°、直角互余等性质计算 结合全等三角形、折叠 / 旋转的角度不变性推导 特殊角（30°、60°）结合 45° 角直接得出结果 【变式9-1】如图，是正方形对角线上一点，连接，，并延长交于点．若，求的度数． 【变式9-2】如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 题型10 根据正方形的性质与判定求线段长 【例10】如图，E为正方形内一点，，，．将绕点C按顺时针方向旋转，得到．延长交于点H，则的长为（    ） A．7 B．7.5 C．8 D．9 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形，得到四边相等和对角线垂直相等 第二步：在等腰直角三角形中用 1:1:的边长比快速计算 利用正方形的轴对称性找相等线段，简化计算 折叠问题仍遵循 "设未知数 + 勾股定理" 的通用解法 【变式10-1】如图，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接、、，若、分别平分和．已知，则的值为______． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在轴、轴上，对角线，交于点．若，，则点的坐标为________． 题型11 根据正方形的性质与判定求面积 【例11】如图，若，平分，，则四边形的面积是_____ ． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形 第二步：已知边长用边长2，已知对角线用 利用面积相等可求正方形内的高或线段长度 不规则阴影面积优先用割补法转化为规则图形计算 【变式11-1】如图，在中，的平分线交于点，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，且，求四边形的面积． 【变式11-2】如图，四边形中，，于点E，旋转一定角度后能与重合，根据图形回答问题． (1)旋转中心是点________，旋转了________度； (2)若，求四边形的面积． 题型12 根据正方形的性质与判定证明 【例12】如图，在等腰直角三角形中，，是边上的中线，以为邻边作． (1)求证：为正方形； (2)连接，若，求的长． 【技巧归纳】 第一步：证明四边形是正方形，获得边、角、对角线的全部性质 第二步：利用正方形的边相等、角相等构造全等三角形 常用结论：正方形中互相垂直的两条线段长度相等 辅助线：连接对角线构造等腰直角三角形或全等三角形 【变式12-1】如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明． 【变式12-2】如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． (1)求证：； (2)当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 一、单选题 1．菱形添加一个条件，能使菱形成为正方形的是（     ） A．对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等 2．某矩形的对角线长度为8，顺次连接该矩形各边的中点，得到新的四边形，则新四边形的边长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．不确定 3．下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 D．有三个角是直角的四边形是矩形 4．已知四边形中，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，以，为边做正方形，这两个正方形的面积和为（   ） A．5 B．9 C．16 D．25 6．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点C的坐标为，则顶点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理．如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作，，正方形的面积记作，则，与的关系是（     ） A． B． C． D． 9．小张学习了四边形内容后，梳理了四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图，如图所示，给出下列条件，其中对应序号填写正确的有几个（     ）   ；；；； A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，正方形的边长为，为正方形边上的动点，沿的路径匀速移动．设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知在四边形中，，，，如果添加一个条件，可使得四边形为正方形，则添加的条件可以是________．（添加一个即可） 12．如图，点P是正方形的对角线上的一点，于点E，．则点P到直线的距离为______． 13．如图，的对角线交于点O，若，请你添加一个条件，使是正方形__________． 14．如图，面积为6的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为_______． 15．已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为_____． 16．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 17．如图，是正方形内的一点，且，，则的度数为_____． 18．如图，正方形的边长为4，点E在边上，，作等腰直角三角形． （1）的长_______． （2）若为的中点，连接，则的长为______． 19．如图，在正方形中，，点、分别为、边上的动点，保持不变，则的最小值为______． 20．如图，在正方形中，点，分别是边，的中点，连接，，点，分别是，的中点，连接．若，则的长度为________． 三、解答题 21．如图，四边形，分别是菱形与正方形，连接，若，求的度数． 22．如图，在正方形中，点E，F分别在边上，且．求证：． 23．如图，、为正方形的对角线，若，求正方形的面积． 24．如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 25．如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在上，连接，，求证：． 26．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 27．如图，等腰梯形中，，、分别是、的中点，、分别是、中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若四边形是正方形，请探索等腰梯形的高和底边的数量关系，并证明你的结论． 28．请阅读下列材料： 问题：如图，在正方形和平行四边形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接． 探究：当与的夹角为多少度时，平行四边形是正方形？ 小聪同学的思路是：首先可以说明四边形是矩形；然后延长交于点H，构造全等三角形，经过推理可以探索出问题的答案． 请你参考小聪同学的思路，探究并解决这个问题． (1)求证：四边形是矩形； (2)与的夹角为_______度时，四边形是正方形． 理由： 29．如图，点是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点落在点处，连接并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 30．在学习《特殊平行四边形》时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆． (1)在以上思维导图中横线①②上需要补充的条件依次为________，________； (2)对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．________是正方形；（请将添加的条件填在横线上） (3)通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明． 已知：如图，E、F是正方形的对角线所在直线上的两点，且． 求证：四边形是菱形． 31．如图，在中，，是的角平分线，点O为的中点，过点A作直线交并延长到点E，使，连接． (1)求证：． (2)求证：四边形是矩形； (3)当满足什么条件时，四边形是正方形，并说明理由． 32．四边形中，点E、F、G、H分别为边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形称为中点四边形． (1)求证：四边形都是平行四边形； (2)①当对角线时，四边形的中点四边形为_____形； ②当对角线时，四边形的中点四边形是______形． (3)如图：四边形中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形的中点四边形是______形． 33．综合与实践 【情境】有两块形状完全相同的不规则的四边形木板，如图1所示，已知，，，，现要把每块木板都只分割一次，将其拼成正方形（说明：木板拼接不重叠，无缝隙，无剩余）； 【操作】选取其中一块四边形木板拼成一个正方形，如图2，嘉嘉过点分别作于点，交的延长线于点，并说：“沿进行分割，得到能与完全重合的，即可拼得正方形．” (1)求证：； (2)求的长； 【拓展】将两块四边形木板拼成一个大正方形，淇淇说：“如图3，将每一块四边形都沿同一条分割线进行分割，即可拼成两个等腰直角三角形，最终拼得一个大正方形．” (3)在图3中画出一条分割线，并直接写出这条分割线的长． 34．已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 35．如图，将边长为4个单位长度的正方形置于平面直角坐标系中，使边落在x轴的正半轴上，其他边在x轴的上方，点A的坐标是，点E的坐标是． (1)若直线l经过点C和点E，求直线l的函数解析式； (2)若直线经过点，且与直线平行，将（1）中直线l沿着y轴向上平移2个单位长度后交x轴于点M，交直线于点N，求的面积． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $