1.3.1 矩形的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂就化·么年位上滑·数学(BS) 3 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 基 础导 学 第4题图 第5题图 1.矩形的性质： 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交 (1)矩形具有平行四边形的一切性质. 于点O,点E,F分别是AO,AD的中点，若 (2)矩形的四个角都是 AB=5cm,BC=12cm,则EF= cm. (3)矩形的对角线 ,且 6.（吉林中考)如图，在矩形ABCD中，点E,F (4)从对称上看，矩形既是 图 在边BC上，连接AE,DF,∠BAE=∠CDF. 形，又是 图形 (1)求证：△ABE≌△DCF, 2.直角三角形斜边上的中线等于 (2)当AB=12,DF=13时，求BE的长. 的一半 课 后 演 练 【基础过关】 知识点①矩形的定义及性质 1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是 () A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分 2.矩形的一条对角线与一边的夹角为40°，则两 对角线所成锐角是 ( A.20° B.40° C.80° D.100° 3.如图，已知矩形ABCD,将 △BCD沿对角线BD折 20C2D 叠，记点C的对应点为C', 若∠ADC= 20°，则 ∠BDC的度数为 ( ) A.55° B.459 C.60° D.70° 4.如图，在矩形ABCD中，∠BOC=120°，AB= 5,则BD的长为 ·10 第一章骑殊平行四边形 知识点②直角三角形斜边上的中线等于斜边 (2)若∠A=60°，DE=m,求BC的长.（用含 的一半 有m的代数式表示) 7.一技术人员用刻度尺（单位：cm)测量某三角 形部件的尺寸.如图所示，已知∠ACB=90°， 点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为 1、7,则CD= ( 0 4 56789 A.3.5cm B.3cm C.4.5cm D.6cm 8.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交 于点O,CE∥BD,DE∥AC,AD=23,DE= 2,则四边形OCED的面积 () 0 A.2W3 B.4 C.43 D.8 9.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中 点，OM∥AB交AD于点M,若OM=3,BC= 10,则OB的长为 ( 【能力提升】 A.5 B.4 C.34 D.√34 12.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 2 相交于点O,CE⊥BD,垂足为点E,CE=5, 10.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点 O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠EAO 且EO=2DE,则AD的长为 =15°，则∠BOE的度数为 第12题图 第13题图 B 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点 11.如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB O,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交 边上的高，F是BC的中点， AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F, (1)求证：△DEF是等腰三角形； 则OE+EF的值为 ·11 指南针·课童优化·么年孩上滑·数学(BS) 14.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点， PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点 【创新拓展】 P,O,Q,连接BP,EQ 15.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN (1)求证：四边形BPEQ是菱形； 折叠，使点C落在点A处，点D落在点E (2)若AB=6,F为AB的中点，OF+OB= 处，直线MN交BC于点M,交AD于点N. 9,求PQ的长 (1)求证：CM=CN; (2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为 31,求米的值， ·12-第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础导学 1.菱形矩形正方形 2.轴对称两条两条四条中心对称 课后演练 1.C2.D3.(1)菱形(2)正方形 4.两组对边分别相等（答案不唯一） 5.C6.A7.A8.C9.5 10.∠AEB=70°11.6 12.(1)证明略(2)4v3 13.(1)CE⊥BF.理由略(2)CD=DG.理由略 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础导学 1.(2)相等(3)垂直平分 一组对角 (4)轴对称中心对称 2.底×高两对角线长度乘积的一半 课后演练 1.D2.B3.C4.B5.A6.207.3 8.证明略9.(1)证明略(2)证明略 10.8511.1212.C13.(5,0)14.22 15.PE+PB的最小值为3√3 16.(1)证明略(2)∠GD=120°(3)证明略 第2课时菱形的判定 基础导学 1.(1)四条边(2)互相垂直(3)邻边 【拓展】(1)互相垂直平分 课后演练 1.B2.D 3.(1)证明略(2)菱形BNDM的周长为52. 4.C 5.A 6.AB=CD 7.(1)证明略(2)证明略8.209.①②④ 10.(1)证明略(2)证明略 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步叁考管案 11.(1)四边形ABDF是菱形.理由略(2)证明略 .四边形ADBF是平行四边形， 3.B4.证明略5.D6.B7.C8.①②③④ 3矩形的性质与判定 AB=AC,D是BC的中点， 9.3√210.3-√311.正方形8√2 .AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， 12.(1)证明略(2)CE+CG的值为定值，理由略 第1课时矩形的性质 .四边形ADBF是矩形 13.(1)证明略(2)90° 理由略 基础导学 12 1.(2)直角(3)相等互相平分 11. 12.4 回顾与思考 (4)轴对称中心对称 13.(1)证明略 课后演练 2.斜边 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF 1.C2.A3.A4.A5.B6.52024 课后演练 是矩形.理由略 14.(1)45°(2)∠BDG=60° 7.208.29.(1)证明略(2)FE=2√37 1.A2.C3A41059 10.(1)证明略(2)OE=2 4正方形的性质与判定 6.(1)证明略 11.√3712.16 (2)解：由(1)知：△ABE≌△DCF, 第1课时正方形的性质 13.(1)证明略(2)BH=√2AE,证明略 ∴.AE=DF=13,又，AB=12,∠B=90°， 基础导学 14.(1)AB=6(2)证明略 ∴.BE=√/AE2-AB=5. 1.(2)直角相等(3)垂直平分相等一组对 角(4)轴对称中心对称4对角线的交点 第二章一元二次方程 7.B8.A9.D10.75° 11.(1)证明：BD、CE分别是AC、AB边上的高，F 课后演练 1认识一元二次方程 是BC的中点， 1.D2.D3.B4.C5.B6.57.72 ∴EF=DF-号BC,∴△DEF是等腹三角形， 8.正方形ABCD的周长为4X6=24 第1课时一元二次方程的概念 9.(1)证明略 基础导学 (2)BC=2m (2)解：四边形BEDF为正方形，∴.BF⊥AB, 2.a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)ax2 12.5613.号 .BF·AB=20,.又AB=5,BF=4, a bx b c .CF=CD-DF=5-4=1, 课后演练 14.(1)证明略 (2PQ-号 在Rt△BCF中，CF2+BF=BC, 1.D2.C3.C4.C5.5y2-y-4=0 ∴.BC=√I7(负值已舍去) 15.(1)证明略 2深-2g 6,解：1)由题意，得一？m=4,方程的二 m-2≠0， 第2课时矩形的判定 10.61.(-26 次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11. 基础导学 12.（1)证明略(2)S平行四边形EH=2. 1m-2=1, m-2=0, (2)由题意，得 或 1.(1)直角平行四边形 13.(1)DE=2-√2(2)BF=2-√2 m-2+m+1≠0，m+1≠0， (2)相等 平行四边形 (3)直角 第2课时正方形的判定 ∴.m=3或m=2. 课后演练 基础导学 7.x2-70x+825=0 1.C2.D3.90°矩形48cm2 1.(1)相等 (2)互相垂直(3)直角 (4)相等 8.(1)一般形式为x2一2x一3=0. 4.此题答案不唯一，∠ABC=90°或∠ADC=90° (5)相等且互相垂直 二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项为 或∠BAD=90°或∠BCD=90°或AC=BD等 课后演练 -3. 5.(1)证明略(2)OE=5,BG=2. 1.AB=BC(答案不唯一) (2)一般形式为x2一7x十8=0， 6.C7.A8.D9.EB=DC(答案不唯一) 2.(1)证明略 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为8. 10.(1)证明略 (2)△ABC满足∠BAC=90时， (3)一般形式为25x2-50x+9=0. (2).AF=BD,AF∥BD, 四边形AEDF是正方形，理由略 二次项系数为25，一次项系数为一50，常数项 34