第一章 3 第2课时 矩形的判定（PDF部分书稿）-【精英新课堂·三点分层作业】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第2课时 A分点训练 。夯实基础 知识点①矩形的判定 1.如图，要使口ABCD成为矩形，可以添加的 条件是 A.∠A+∠B=180° B.∠B+∠C=180° C.∠A=90° D.∠B=∠D 2.情境题生产生活如图，用一根绳子检查平行 四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只 需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC, BD的长就可以判断，其数学依据是() A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 (第2题图) (第3题图) 3.如图，在四边形ABCD中，已知∠A=∠D= 90°.若添加一个条件，使得四边形ABCD是 矩形，则添加的条件可以是 .（写 出一个即可) 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,OA=OC,OB=OD,且∠AOB= 2∠OAD.求证：四边形ABCD是矩形 9 数学九年级上册北师大版 矩形的判定 5.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD= CD,DE平分∠ADC,交AC于点E,DF平 分∠BDC,交BC于点F,且∠DFC=90°.求 证：四边形CEDF是矩形. 知识点2矩形的性质与判定的综合 6.如图，在□ABCD中，过点D作DE⊥AB于点 E,F是CD上一点，CF=AE,连接AF,BF (1)求证：四边形BFDE是矩形； (2)若AF平分∠DAB,CF=3,DF=5,求矩 形BFDE的面积. B综合运用 。提升能力 7.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长 AD到点E,使DE=AD,连接BE,CE,BD, 添加下列条件，不能使四边形DBCE成为矩 形的是 A.AB=BE B.CE⊥DE C.∠ADB=90° D.BE⊥AB (第7题图) (第8题图) 8.如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重 合，得到折痕MN,再沿过点D的直线折叠， 使点A的对应点A'落在MN上，折痕为DE, AB=10,BC=6,则A'N的长为 9.(北京中考)如图，在△ABC中，D,E分别为 AB,AC的中点，DF⊥BC,垂足为F,点G在 DE的延长线上，DG=FC. (1)求证：四边形DFCG是矩形； (2)若∠B=45°，DF=3,DG=5,求BC和 AC的长. C创新拓展 。发展素养 10.新趋势半开放性题)如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，延长CB至点D,使得BD=BC, 过点A,D分别作AE∥BD,DE∥BA,AE与 DE相交于点E.下面是两名同学的对话： 小星：由题目的小红：由题目 已知条件，若连 的已知条件， 接BE,则可证 若连接CE,则 明BE⊥CD. 可证明CE=DE. (1)请你选择一名同学的说法进行证明； (2连接AD,若AD=5包，AC=号求AC 的长 提示 请完成阶段小测（一）[1.1~1.3] 第一章特殊平行四边形 10参考答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 1.B2.D3.矩形4.正方形5.C6.C7.矩形（答案不唯一）8.22.5°9.2√5 10.证明：AB=BC,AE=CF,.AB-AE=BC-CF,即BE=BF.在△ABF和 AB=CB, △CBE中，∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS).AF=CE. BF=BE, 11.B12.75°13.2√2-2 14.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC.∴.∠A=∠CBF.:BE⊥AD,CF⊥ I∠AEB=∠BFC, AB,.∠AEB=∠BFC=90°.在△AEB和△BFC中，∠A=∠CBF,∴△AEB≌ AB=BC, △BFC(AAS).∴.AE=BF.(2)解：，E是AD的中点，且BE⊥AD,∴.BE垂直平分 AD.BD=AB=6.四边形ABCD是菱形，∴.AD=BC..AB=AD=BD.△ABD 是等边三角形.∠A=60.∠ABE=90-∠A=30:AE=号AB=3.BE= √AB2-AE=3V3. 15.解：(1)如答图①所示.(2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形 答图③所示. b a 6 答图① 答图② 答图③ 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 1.D2.C3.B4.8 5.解：：四边形ABCD是菱形，AD∥BC.∴∠A+∠B=180°.∠A:∠B=1:5, ∠A=180×号=30：DELAB,DE=5,AD=2DE=10.菱形ABCD的周长 为4AD=40. 6.解：1四边形ABCD是菱形，∴AB=BC.:∠BAC=合(180°-∠ABC)=30, (2)四边形ABCD是菱形，AC⊥BD,OA=OC.在Rt△AOB中，AB=8,∠BAO= 30,0B=号AB=4.0A=VAB-08=4.AC=20A=8V8. 7.B8.59.B10.D11.36 12.解：(1)：四边形ABCD是菱形，.AB=DC,AB∥DC..ED∥AB.DE=CD, .DE=AB..四边形ABDE是平行四边形..AE=BD=8.(2):四边形ABCD是菱 形，∴.AC⊥BD,即∠COD=90°.∠ACD=23°，∴.∠CDO=90°-∠ACD=67°.四 边形ABDE是平行四边形，∴.BD∥AE.∴∠E=∠CDO=67°. 13.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AC⊥BD,AC=2OC.∠OBC十∠ACM= 90°.AM⊥BC,∴.∠AMC=∠AMB=90.∴.∠MAC+∠ACM=90°..∠MAC= ∠OBC.∠ABC=45°，∴.∠BAM=90°-∠ABC=45°=∠ABC.∴.BM=AM. ∴.△BMN≌△AMC(ASA).∴.BN=AC=2OC.(2)解：过点N作NH⊥AB于点H. :四边形ABCD是菱形，∴.BD平分∠ABC.NH⊥AB,AM⊥BC,∴.NM=NH.设 NM=NH=x,易得AN=√2x.AM=x十√2x.,AB=4,易得AM=2√2，∴.x十√2x 一1 =22,解得x=4-2√2.∴.AN=4√2-4. 14.解：取OA的中点M,连接EM:E为AB的中点，EM/OB,EM=2OB. ∠EMG=∠FOG.,四边形ABCD是菱形，.BD⊥AC,OD=OB,OA=OC.,F为 OD的中点，OF=OD.EM=OF.:∠EGM=∠FGO,△EMG2△FOG (AAS).∴.MG=OG=1..OM=2OG=2.∴.OA=2OM=4..AC=2OA=8.菱形 ABCD的面积为48,2AC·BD=48.BD-12.0B=2BD=6.EM=2OB =3..CM=OM+OC=OM+OA=2+4=6,..CE=CM2+EM=35. 第2课时菱形的判定 1.C2.四边相等的四边形是菱形3.AD∥BC(答案不唯一) 4.证明：，四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD.BE=DF,∴.AB-BE =CD一DF,即AE=CF..四边形AECF是平行四边形.又，AE=AF,.四边形 AECF是菱形. 5.证明：对角线AC,BD互相平分，四边形ABCD是平行四边形，A0-号AC-5, B0=2BD=12.:AB=13,A0+B0=53+12=13=AB.△A0B是直角三 角形，且∠AOB=90°..AC⊥BD..四边形ABCD是菱形， 6.C 7.证明：，四边形ABCD是菱形，.OA=OC,OB=OD,ACLBD.·AE=CF,.OA- AE=OC-CF,即OE=OF.∴.四边形BEDF是平行四边形.EF⊥BD,∴.四边形 BEDF是菱形 8.B9.D 10.证明：AB=AC,AD是边BC上的中线，.AD⊥BC.AD垂直平分BC.·BE= CE,BF=CF.∴.∠BED=∠CED.'CF∥BE,∠BED=∠CFD.∴.∠CED= ∠CFD.∴.CE=CF.BE=BF=CF=CE..四边形BECF是菱形. 11.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,∠ADE=∠FAD,四边形AEDF是平行四边形. AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD.∴.∠EAD=∠ADE.AE=DE.四边形 AEDF是菱形.(2)解：，四边形AEDF是菱形，.AD⊥EF,AO=DO,EO=FO,AE= AF=5.:∠BAC=60,△AEF是等边三角形.EF=AE=5,∴B0-合EF=号 ∴A0=VAE-B0-号3.∴AD=2A0=5V5. 12.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,则AE=AF=1cm. ,SOABCD=AE·CD=BC·AF,.CD=BC..四边形ABCD是菱形.(2)由(1)，得AE =AF=1cm,AD∥BC.∴.∠ABF=∠BAD=30°.∴.AB=2AF=2cm.四边形ABCD 是菱形，.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC·AF=2cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B2.A3.50°4.(4,3) 5.解：.四边形ABCD是矩形，∴.∠DCB=90°，BD=AC=2OA=6..∠OBC=30°， ∴CD=2BD=3.∴BC=VBD-CD=3V3.矩形ABCD的周长是2(BC+CD) =6√3+6. 6.证明：(1).四边形ABCD为矩形，.∠ABC=∠DCB,AB=CD..∠ABE=∠DCF AB=DC, =90°.在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴·△ABE≌△DCF(SAS). BE=CF, (2),△ABE≌△DCF,.∠EAB=∠FDC.,四边形ABCD为矩形，.∠BAD= ∠CDA=90°...∠BAD+∠EAB=∠CDA+∠FDC,即∠EAD=∠FDA. 2 7.C8.A9.D10.C11.23 12.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，∠B=90°，AD∥BC.∴.∠DAE=∠AEB. .DF⊥AE,.∠AFD=90°=∠B.AE=AD,.△ABE≌△DFA(AAS)..DF= AB.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC=∠B=90°.，∠ADF=∠ADC ∠FDC=60°.由(1)知△ABE≌△DFA,∴.∠BAE=∠ADF=60°.∴.∠AEB=90°- ∠BAE=30°..AE=2AB=8..AD=AE=8. 13.(1)证明：，四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC..∠AEF=∠CFE.由折叠的性质， 得∠AFE=∠CFE.∠AEF=∠AFE.∴AE=AF.(2)解：·四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=90°.由折叠的性质，得AF=CF.设AF=x,则CF=x,BF=9-x.在Rt△ABF 中，AF2=AB2+BF2,即x2=32+(9-x)2,解得x=5.∴AF=5.(3)解：√10 14.解：连接AC,交BD于点N,连接HN,过点H作HQ⊥BD于点Q.,BE=2CF, CF=2,.BE=4..四边形ABCD是矩形，.AN=CN=BN=DN,AB∥CD ∴∠ABD=∠BAC=∠NCF=30.:H是DE的中点，∴HN∥BE,HN=合BE=2. ∴∠HNQ=∠ABD=30.∴HQ=2HN=1.:HN∥AB,AB∥CD,HN∥CF, :HN=CF=2,∴.四边形HFCN是平行四边形.∴∠NHG=∠NCF=30°.∴∠HGQ =∠HNQ+∠NHG=60.∴∠GHQ=90-∠HcQ=30.QG=号HG.:QG+ HQ-HG(HG)HHG5 3 第2课时矩形的判定 1.C2.C3.∠B=90°（答案不唯一） 4.证明：OA=OC,OB=OD,∴.四边形ABCD是平行四边形.∠AOB=∠OAD+ ∠ADO=2∠OAD,.∠OAD=∠ADO.∴.OA=OD..AC=BD.∴.四边形ABCD是 矩形 5.证明：DE平分∠ADC,DF平分∠BDC∠CDE=合∠ADC,∠CDF=号∠BDC ∴∠EDF=∠CDE+∠CDF=?(∠ADC+∠BDC)=9O.:AD=CD,DE平分 ∠ADC,.DE⊥AC..∠DEC=90°.又∠DFC=90°，.四边形CEDF是矩形. 6.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.DF∥EB,AB=CD.,CF=AE,∴.CD一 CF=AB-AE,即DF=BE.∴四边形BFDE是平行四边形.，DE⊥AB,∴·∠DEB= 90°..四边形BFDE是矩形.(2)解：.AF平分∠DAB,.∠DAF=∠FAB.DC∥ AB,∴.∠DFA=∠FAB.∴.∠DAF=∠DFA..AD=FD=5..AE=CF=3,DE⊥ AB,∴.DE-√AD-AE=4.∴.矩形BFDE的面积是DF·DE=20. 7.D8.10-3√3 9.(1)证明：，D,E分别为AB,AC的中点，∴.DE∥BC.,DG=FC,.四边形DFCG 是平行四边形.又：DF⊥BC,∠DFC=90°..四边形DFCG是矩形.(2)解：：DF⊥ BC,∠DFB=90°.：∠B=45°，△BDF是等腰直角三角形.∴BF=DF=3.,FC =DG=5BC=BF+FC=8:D,E分别为AB,AC的中点，DE=号BC=4 ∴.EG=DG-DE=1.CG=DF=3,∠G=90°，.CE=√CG+EG=√10.，E为 AC的中点，.AC=2CE=2√10. 10.解：(1)选小星，连接BE.,AE∥BD,DE∥BA,四边形ABDE是平行四边形. ∴.AE=BD.BD=BC,∴AE=BC.,AE∥BC,∴.四边形AEBC是平行四边形. ∠ACB=90°，四边形AEBC是矩形..∠EBC=90°..BE⊥CD.选小红，连接 CE.:AE∥BD,DE∥BA,.四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD,AB=DE. ,BD=BC,.AE=BC.,AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形.：∠ACB=90°， 四边形AEBC是矩形.∴AB=CE,∴CE=DE,(任选一个即可)(2)：C=子，设 BC=2k,则AC=3k.∴.CD=2BC=4k.在Rt△ACD中，：AC+CD2=AD2,.(3k)2 十(4k)2=(5√②)2，解得=√2（负值已舍去）.∴.AC=3V2. —3