1.2.1 菱形的性质-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·色年服上册·数学(BS) 2 菱形 第1课时 菱形的性质 基 f 学 1.菱形的性质： (1)菱形具有平行四边形的一切性质. (2)菱形的四条边 (3)菱形的对角线互相 ,并且 每一条对角线都平分 (4)从对称上看，菱形既是 图 形，又是 图形 2.菱形的面积= 课 后 演 练 【基础过关】 知识点①菱形的性质 1.下列说法正确的是 A.平行四边形的对角线互相垂直 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.菱形的对角线相等 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 2.下列说法不正确的是 A.菱形的四条边都相等 B.菱形的对角线相等 C.菱形是轴对称图形 D.菱形的对角线互相垂直 3.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据， 不能判定是菱形的是 301 60 30 3 B 的性质与判定 120° 60 609 △60° D 知识点②利用菱形的性质进行计算 4.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是AB,CD 上的点，且AE=CF,EF与AC相交于点O, 连接BO.若∠DAC=36°，则∠OBC的度数为 () A.36° B.54° C.64° D.72 第4题图 第5题图 5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6, DH⊥AB于点H,则DH等于 () A等 B号 C.5 D.4 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交 于点O,点M是CD边的中点，连接OM,若 OM-5 cm,则菱形ABCD的周长为 cm. 7.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1, AF=2.若P为对角线BD上一动点，则EP十 FP的最小值为 4 知识点③利用菱形的性质进行证明 8.(泸州中考)如图，在菱形ABCD中，E,F分别 是边AB,BC上的点，且AE=CF.求证：AF =CE. 9.如图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边 AB,BC上，BE=BF,DE,DF分别与AC交 于点M,N. 求证：(1)△ADE≌△CDF. (2)ME=NF. N 第一章特殊平行四逸形 知识点④菱形的面积 10.如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥ BC于点E,AF⊥CD于点F,∠B=60°，则菱 形ABCD的面积为 第10题图 第11题图 11.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线 的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影 和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别 为6和8时，则阴影部分的面积为 12.如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O, 若AC=8,BD=4,则菱形ABCD的面积为 () A.32 B.12 C.16 D.20 【能力提升】 13.如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱 形ABCD的对角线AC为边的等边三角形， AC=2,点C与点E关于x轴对称，则点D 的坐标是 第13题图 第14题图 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,点E在线段BO上，连接AE,若 CD=2BE,∠DAE=∠DEA,EO=1,则线 段AE的长为 指南针·课堂优化·色年征上滑·数学(BS) 15.如图所示，菱形ABCD的边长为6，∠BAD =60°，点E是AB的中点，点P是对角线 AC上的一个动点，连接PB,PE.请求PE+ PB的最小值. ·6 【创新拓展】 16.如图，在菱形ABCD中，AB=BD.点E,F 分别在AB,AD上，且AE=DF.连接BF与 DE相交于点G,连接CG. (1)求证：△AED≌△DFB; (2)求∠BGD的度数； (3)求证：DG+BG=CG第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 基础导学 1.菱形矩形正方形 2.轴对称两条两条四条中心对称 课后演练 1.C2.D3.(1)菱形(2)正方形 4.两组对边分别相等（答案不唯一） 5.C6.A7.A8.C9.5 10.∠AEB=70°11.6 12.(1)证明略(2)4v3 13.(1)CE⊥BF.理由略(2)CD=DG.理由略 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础导学 1.(2)相等(3)垂直平分 一组对角 (4)轴对称中心对称 2.底×高两对角线长度乘积的一半 课后演练 1.D2.B3.C4.B5.A6.207.3 8.证明略9.(1)证明略(2)证明略 10.8511.1212.C13.(5,0)14.22 15.PE+PB的最小值为3√3 16.(1)证明略(2)∠GD=120°(3)证明略 第2课时菱形的判定 基础导学 1.(1)四条边(2)互相垂直(3)邻边 【拓展】(1)互相垂直平分 课后演练 1.B2.D 3.(1)证明略(2)菱形BNDM的周长为52. 4.C 5.A 6.AB=CD 7.(1)证明略(2)证明略8.209.①②④ 10.(1)证明略(2)证明略 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步叁考管案 11.(1)四边形ABDF是菱形.理由略(2)证明略 .四边形ADBF是平行四边形， 3.B4.证明略5.D6.B7.C8.①②③④ 3矩形的性质与判定 AB=AC,D是BC的中点， 9.3√210.3-√311.正方形8√2 .AD⊥BC,∴.∠ADB=90°， 12.(1)证明略(2)CE+CG的值为定值，理由略 第1课时矩形的性质 .四边形ADBF是矩形 13.(1)证明略(2)90° 理由略 基础导学 12 1.(2)直角(3)相等互相平分 11. 12.4 回顾与思考 (4)轴对称中心对称 13.(1)证明略 课后演练 2.斜边 (2)当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF 1.C2.A3.A4.A5.B6.52024 课后演练 是矩形.理由略 14.(1)45°(2)∠BDG=60° 7.208.29.(1)证明略(2)FE=2√37 1.A2.C3A41059 10.(1)证明略(2)OE=2 4正方形的性质与判定 6.(1)证明略 11.√3712.16 (2)解：由(1)知：△ABE≌△DCF, 第1课时正方形的性质 13.(1)证明略(2)BH=√2AE,证明略 ∴.AE=DF=13,又，AB=12,∠B=90°， 基础导学 14.(1)AB=6(2)证明略 ∴.BE=√/AE2-AB=5. 1.(2)直角相等(3)垂直平分相等一组对 角(4)轴对称中心对称4对角线的交点 第二章一元二次方程 7.B8.A9.D10.75° 11.(1)证明：BD、CE分别是AC、AB边上的高，F 课后演练 1认识一元二次方程 是BC的中点， 1.D2.D3.B4.C5.B6.57.72 ∴EF=DF-号BC,∴△DEF是等腹三角形， 8.正方形ABCD的周长为4X6=24 第1课时一元二次方程的概念 9.(1)证明略 基础导学 (2)BC=2m (2)解：四边形BEDF为正方形，∴.BF⊥AB, 2.a.x2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)ax2 12.5613.号 .BF·AB=20,.又AB=5,BF=4, a bx b c .CF=CD-DF=5-4=1, 课后演练 14.(1)证明略 (2PQ-号 在Rt△BCF中，CF2+BF=BC, 1.D2.C3.C4.C5.5y2-y-4=0 ∴.BC=√I7(负值已舍去) 15.(1)证明略 2深-2g 6,解：1)由题意，得一？m=4,方程的二 m-2≠0， 第2课时矩形的判定 10.61.(-26 次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11. 基础导学 12.（1)证明略(2)S平行四边形EH=2. 1m-2=1, m-2=0, (2)由题意，得 或 1.(1)直角平行四边形 13.(1)DE=2-√2(2)BF=2-√2 m-2+m+1≠0，m+1≠0， (2)相等 平行四边形 (3)直角 第2课时正方形的判定 ∴.m=3或m=2. 课后演练 基础导学 7.x2-70x+825=0 1.C2.D3.90°矩形48cm2 1.(1)相等 (2)互相垂直(3)直角 (4)相等 8.(1)一般形式为x2一2x一3=0. 4.此题答案不唯一，∠ABC=90°或∠ADC=90° (5)相等且互相垂直 二次项系数为1，一次项系数为一2，常数项为 或∠BAD=90°或∠BCD=90°或AC=BD等 课后演练 -3. 5.(1)证明略(2)OE=5,BG=2. 1.AB=BC(答案不唯一) (2)一般形式为x2一7x十8=0， 6.C7.A8.D9.EB=DC(答案不唯一) 2.(1)证明略 二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为8. 10.(1)证明略 (2)△ABC满足∠BAC=90时， (3)一般形式为25x2-50x+9=0. (2).AF=BD,AF∥BD, 四边形AEDF是正方形，理由略 二次项系数为25，一次项系数为一50，常数项 34