1.1 探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，第一课时以毕达哥拉斯地砖图案导入，引导学生观察正方形面积关系抽象出定理，第二课时通过拼图验证连接应用，构建从探索到验证再到应用的学习支架。 其亮点在于融合文化背景与动手实践，通过割补拼等方法验证定理，培养数学思维中的推理能力，结合军事演习等实际问题强化模型意识。学生能提升探究与应用能力，教师可借助结构化资源提高教学效率。

1 探索勾股定理 第1课时 认识勾股定理 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，了解利用拼图探索勾股定理的方法.（重点） 2.理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系，并会进行简单的计算.（难点） 情境导入 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传2500年以前， 他在朋友家做客时，发现朋友家用 地砖铺成的地面反映了 直角三角形的某种特性.下面就是以此绘制的美丽图案. 毕达哥拉斯树 知识讲解 知识点 勾股定理 在直角三角形中，任意两边确定了，另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起探究一下吧. A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1-1 图1-2 (1)观察图1-1 正方形A中含有 个小方格，即A的面积是 个单位面积. 9 正方形B的面积是 个单位面积. 9 9 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1-1 图1-2 将正方形C分“割”成若干个直角边长为整数的三角形. =18(单位面积) S正方形C 正方形C的面积是 个单位面积. 18 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1-1 图1-2 (2)在图1-2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ 正方形A中有4个方格，面积是4个单位面积；正方形B中有4个方格，面积是4个单位面积；正方形C中加起来，有8个方格，面积是8个单位面积. (3)你能发现图1-1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？ SA+SB=SC 即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积. 验证：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）. A的面积 B的面积 C的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形C的面积呢？ 9 16 9 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 A的面积 B的面积 C的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 勾股定理 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2。 数学语言： 在Rt△ABC中 ，∵∠C=90°， ∴a2+b2=c2. a A B C b c ∟ 随 堂 小 测 1.求下图中字母所代表的正方形面积. SA=16+9=25 SB=169-25=144 2.求出下列直角三角形中未知边的长度. 15 20 x 5 13 y x2=152+202=625 x=25 y2=132-52=144 y=12 3.如图，在△ABC中，∠B=90°, AB=1, BC=2.四边形ADEC是正方形,则正方形ADEC的面积是（ ） A B C D E A.3 B.4 C.5 D.6 C 4.如图，点C是线段AB上的一点分别以AC,BC为边向两侧作正方形.设AB=6, 两个正方形的面积和S1+S2=20,则图中△BCD的面积为( ) A B C D E F G A.4 B.6 C.8 D.10 A S1 S2 5.如图，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∠C=90°.已知a∶b=3∶4，c=10，求b. 解：∵，∴ ∵∠C=90°，c=10，， ∴由勾股定理，得， 解得a=6. ∴b=8. 6.如图，一高为5米的竹竿,靠在高为4米的墙上,这时竹竿底部与墙的距离是多少? A B C 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得BC2=AB2-AC2 =52-42=9， 所以BC=3. 所以梯脚与墙的距离是3米. 小结 勾股定理 直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方。如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么a2+b2=c2。 1 探索勾股定理 第2课时 验证并应用勾股定理 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.经历验证勾股定理的过程，学会用多种方法验证勾股定理。（重点） 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。（重点、难点） 情境导入 在上一课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在右图中，分别以直角三角形的三条边（a＜b）为边向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗？你是如何说明的？与同伴进行交流。 知识讲解 知识点1 验证勾股定理 为了计算图中大正方形的面积，我们可以对这个大正方形适当割补后得到图1、图2. a b c a b c A B C D 图1 a b c A B C D 图2 图1、图2中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？ 你能分别利用图1、图2验证勾股定理吗？ 图1 S正方形ABCD=（a+b）2=a2+b2+2ab S正方形ABCD=4×ab÷2+c2=2ab+c2 a2+b2+2ab=2ab+c2 则a2+b2=c2 图2 S正方形ABCD=（a-b）2=a2+b2-2ab S正方形ABCD=c2-4×ab÷2=c2-2ab a2+b2-2ab=c2-2ab 则a2+b2=c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 随 堂 小 测 1.1876年，美国总统加菲尔德用下图验证了勾股定理，你能行吗？ a b c a b c A B C D 解： ， =， 则 2.如图是用硬纸板做成的四个两直角边长分别是a，b，斜边长为c的全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能说明勾股定理正确性的图形． (1)画出拼成的这个图形的示意图； (2)说明勾股定理的正确性． a b c a b c a b c a b c c c c c c c a b b b b a a a 你能自己用叠合法证明一下吗？ 知识点2 勾股定理的应用 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驰。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m，过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？ 例 分析：根据题意，可以画出右图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置. 由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角。这样就可以由勾股定理来解决这个问题了. C B 400m 500m 公路 A 解：由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2， 也就是 5002=BC2+4002。 所以 BC=300。 蓝方汽车10s行驶了300m，那么它平均每秒行驶 300÷10=30（m）。 因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30 m/s。 随 堂 小 测 1.如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ） A.140米 B.120米 C.100米 D.90米 C 80米 60米 B A C D 2.如图，一棵大树在一次强台风中距地面5 m处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12 m,这棵大树在折断前的高度为( ) A.10 m B.15 m C.18 m D.20 m C 3.如图,公园有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了 步路. (假设2步为1米) 8 A B “路” 6米 8米 C 4.如图,某人划船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点25 m,结果他在水中实际划了65 m,求该河流的宽度. B C A 25m 65m 解：根据题中数据，由勾股定理可得， AB2=AC2-BC2=652-252=3 600, 则AB=60 m. 答：该河流的宽度是60米. 5.两棵树之间的距离为 8 m，两棵树的高度分别是 8 m,2 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，这只小鸟至少要飞多少米？ 解：根据题意画出示意图，如图所示， 两棵树的高度分别为AB＝8 m，CD＝2 m， 两棵树之间的距离BD＝8 m， 过点C作CE⊥AB，垂足为E，连接AC. 则BE＝CD＝2 m，EC＝BD＝8 m， AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)． 在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2， 即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10 m. 答：这只小鸟至少要飞10 m． 　 用拼图验证勾股定理的方法：首先通过拼图找出面积之间的相等关系，再由面积之间的相等关系结合图形进行代数变形即可推导出勾股定理． 它一般都经过以下几个步骤：拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导命题结论． 小 结 1.勾股定理的验证 小结 2.勾股定理应用的常见类型： （1）已知直角三角形的任意两边求第三边； （2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系； （3）证明包含平方关系的几何问题. $