1.1 勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕勾股定理展开，涵盖探索、验证及简单应用两课时内容。课堂导入从电线杆拉钢索等实际问题出发，通过测量直角三角形边长、数格子算面积等活动引导学生发现三边数量关系，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言培养。以军事演习测距等情境让学生用数学眼光观察现实，验证环节通过“外镶法”“内嵌法”拼图（等积法）发展推理能力，应用实例（育苗棚薄膜面积计算）培养模型意识。采用合作探究与典例精析结合，帮助学生理解定理本质，教师可提升教学效率。

1.1 勾股定理 1.1 勾股定理 第1课时 探索勾股定理 1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数 量关系。（重点） 2.能够运用勾股定理进行简单的计算。（难点） 学 习 目 标 新 课 引 入 如图,从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m ,那么需要多长的钢索? 事实上，古人发现，直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探索吧! 在直角三角形中，任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定，三边之间存在着一种特定的数量关系. 思考1 在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流. 3 4 5 3 3 32＋42＝25＝52 32＋32＝18＝2 三边长的平方之间的关系：两个直角边的平方和等与斜边的平方。 讲 授 新 课 A B C A B C (图中每个小方格代表一个单位面积) 图1－1 图1－2 (1)观察图1－1 正方形 A 中含有 个小方格，即 A 的面积是 个单位面积。 正方形 B 的面积是 个单位面积。 9 9 9 思考2 如图，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？ 讲 授 新 课 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1－1 图1－2 ☀思考：如何求 C 的面积？ 分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C ＝4××3×3 ＝18（单位面积） 讲 授 新 课 A B C A B C （图中每个小方格代表一个单位面积） 图1－1 图1－2 （2）在图 1－2 中，正方形 A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？ （3）你能发现两图中三个正方形 A，B，C 的面积之间有什么关系吗？ 4,4,8 面积关系：SA＋SB＝SC 9,9,18； 4,4,8 讲 授 新 课 （5）如果直角三角形的两直角边长分别为 1.6 个单位长度和2.4 个单位长度，那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由。 （4）如图，图中的直角三角形是否也具有这样的关系？ 具备 讲 授 新 课 A B C a c b 观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想：两直角边a、b与斜边 c之间的关系？ 结论2：a2＋b2＝c2 结论1：SA＋SB＝SC 讲 授 新 课 通过上面的活动，同学们一定发现：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.因此，我国称上面的结论为勾股定理。 如果a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2． a A B C b c ∟ 新 知 小 结 试一试 新课引入中的问题，需要多长的钢索？ 解：如图所示， 8 m 6 m A B C 在 Rt△ABC 中，AB＝8m，BC＝6m， 根据勾股定理，得： AC ＝＝＝10(m) 答：需要 10m 长的钢索. 讲 授 新 课 例1 求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。 解：(1) A 的边长为直角三角形的斜边， 则 A 的边长的平方等于两直角边边长的平方和，两条直角边的平方分别为：36 和 64 , A 的面积 36＋64＝100。 典 例 精 析 例1 求下图中字母所代表的正方形的面积.其中S1＝4,S3＝15。 解：(2)由勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和， ∴S3＝S1＋S2, 则S2＝S3－S1＝11。 典 例 精 析 例2 已知 ∠ACB＝90°,CD⊥AB,AC＝3,BC＝4.求 CD 的长。 解：由勾股定理可得， A D B C 3 4 AB2＝AC2＋BC2＝25， 即 AB＝5。 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC ＝ AB×CD 。 ∴ CD ＝ 典 例 精 析 解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16； 在Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9.∴ BC＝BD＋CD＝25， ∴△ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 例3 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长。 图① 典 例 精 析 💡归纳 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况。如在本例题中，易只考虑高 AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形。 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9。 ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42。 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60。 图② 典 例 精 析 1.在Rt△ABC 中，AB＝3,BC＝4 ,则 AC²的值为（ ） A.25 B.7 C.25或5 D.25或7 D 2.在中，，若，，则的 长是____. 17 3.如图，所有的三角形都是直角三角形， 四边形都是正方形，正方形，，， 的边长分别是 3，4，1，2，则最大正方 形 的面积为____. 30 随 堂 练 习 18 解：如图，过点作于点 . 因为，， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ． 4.如图，求等腰三角形的面积. 随 堂 练 习 19 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2＋b2＝c2 . 探索勾股定理 利用勾股定理进行计算 课 堂 总 结 1.1 探索勾股定理 第2课时 勾股定理的验证及简单应用 1.学会用几种方法验证勾股定理。（重点） 2.能够运用勾股定理解决简单问题。（重点，难点） 学 习 目 标 勾股定理的内容是什么？ 据不完全统计，验证的方法有400多种，你有自己的方法吗？ 几何语言： 在Rt△ACB中，由勾股定理得： a2+b2=c2 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用a，b和c分别表示直角三角形两条直角边和斜边的长，则有：a2+b2=c2。 A B C 勾 股 弦 a b c 复 习 导 入 上一节课，我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理。在图1中，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形，你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的? 图1 a b c 讲 授 新 课 割 补 为了计算图1中大正方形的面积，小明对图1中的大正方形进行适当割补后，得到图2，图3。 图2 a b c A B C D 图3 a b c A B C D 图1 a b c 合 作 探 究 （1)请将图2、图3中所有三角形和正方形的面积用a,b,c的式子表示出来； （2)图2、图3中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流。 （3)你能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？ 图2 a b c A B C D 图3 a b c A B C D 图1 a b c 合 作 探 究 用“外镶法”拼图 a b c a b S大正方形=(a+b)2 S大正方形=c2+ab×4=c2+2ab 所以(a+b)2=c2+2ab， 即a2+2ab+b2=c2+2ab， 所以a2+b2=c2。 等积法 合 作 探 究 用“内嵌法”拼图 a b c a b b-a S大正方形=c2 S大正方形=ab×4+（b-a）2=a2+b2 所以c2=a2+b2。 等积法 合 作 探 究 拼一拼： 用四个全等的边长为 a，b，c 的直角三角形进行拼图，要求所拼图形能够用等积法验证勾股定理。 举例： a b c B A C D E F G 解：连接 EC， S梯形BCEF＝S△AEF＋S△ABC＋S△ACE (a＋b)2=ab＋ab＋c2 (a＋b)2=ab＋ab＋c ∴ a2＋b2＝c2。 （提示：△AEC 是等腰直角三角形。） 思 考 (2)拼梯形图： 运用梯形面积表达式进行证明。 “勾股定理”的验证方法： (1)拼正方形图： 运用正方形面积表达式进行证明； 1、数形结合法： 新 知 小 结 例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400 m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400 m；过了10s,测得汽车与他相距500 m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗? 公路 B C A 400m 500m 分析：你能根据题意画出图形吗?在你画的图形中存在一个怎样的三角形? 解：根据题意，可以画出左图,其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400 m,因此∠C是直角。 典 例 精 析 公路 B C A 400m 500m 由勾股定理，可得 AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以BC=300。 蓝方汽车10s行驶了300m,那么它1s行驶的距离为300÷10=30（m） 即蓝方汽车这10s的平均速度为 30 m/s。 典 例 精 析 湖的两端有 A,B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA＝130 m,CB＝120 m,则 AB 为( ) A.50m B.120m C.100m D.130m 针 对 练 习 A B C 130 120 ? A 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗?以下图为例，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 思 考 图2 图1 图1中， a2=4×4- ×3×1×4=10， b2= 3×3=9， c2=7×7-×3×4×4=25， a2+b2≠c2。 图2中， a2=4×4- ×3×1×4=10， b2= 3×3=9， c2=5×5-×2×3×4=13， a2+b2≠c2。 所以，如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长不满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”。 思 考 1.如图，要在高为，斜坡长为的楼梯 台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要( ) D A. B. C. D. 2.如图，一棵高为的大树被台风刮断，若大树在离 地面的点处折断，则树顶端落在离树底部( ) A A. 处 B. 处 C. 处 D. 处 随 堂 练 习 36 3.如图，轮船甲从港口出发沿北偏西的方向航行 ，同时轮船乙从港口出发沿南偏西的方 向航行 ，这时两轮船相距____。 17 4.如图，已知一棵大树高10米，另一棵小树 高4米，两树相距8米，小颖利用无人机在树梢 处拍照，若想要控制无人机飞行到另一棵树梢 处拍照，至少需飞行____米。 10 随 堂 练 习 37 5.如图，要修建一个育苗棚，棚高， 棚宽 ，棚的长，现要在棚 顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑 料薄膜？ 解：因为，， 所以， 即， 所以需要塑料薄膜为。 随 堂 练 习 38 勾股定理的验证 探索勾股定理 勾股定理的简单运用 课 堂 总 结 $