福建省厦门集美中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测（A卷）数学试题

集美中学2025-2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．相关变量，的散点图如下．若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（ ） A．的平均值 B．相关系数 C．决定系数 D．残差的平方和 2．如图，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第14个数与第15个数的比为，则（ ） A．40 B．50 C．34 D．32 3．二项式展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式项的系数为（ ） A．-160 B．-80 C．80 D．160 4．某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A．0.2 B．0.6 C．0.8 D．1.2 5．随机变量服从两点分布，其中，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 6．我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号，已知2026年是马年，那么年后是（ ） A．羊年 B．马年 C．龙年 D．兔年 7．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（ ）名女性的可能性最大． A．6 B．7 C．8 D．9 8．一条公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案总数共有（ ）种． A．7 B．21 C．35 D．70 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．某人次射击击中目标的次数为，，设击中偶数次为事件，则（ ） A．当时，取得最大值 B．当时，取得最小值 C．当，随的增大而减小 D．当，随的增大而减小 11．从分别写有1，2，3，…，（）的张卡片中不放回随机抽取（）次，每次取1张卡片，记第（）次取出卡片的数字为，定义为满足，的不同情况数，则（ ） A． B． C．（） D．（） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．随机变量的分布列如表所示，且，则_______． 0 3 13．一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为_______． 14．定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为，，…，，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．需写出必要的解答步骤． 15．（满分13分） 某公司计划对某市的共享电动车进行车辆投放，为了确定投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表，根据数据绘制的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，请从对数函数模型或指数函数模型（，）选择一个更适宜的模型对两个变量的关系进行拟合，并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，．参考公式：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 ，其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16．（满分15分） 某校组织开展知识竞赛活动．现有两组题目放在，两个信封中，信封中有6道选择题和3道论述题，信封中有3道选择题和2道论述题．参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封． （1）若同学甲从信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了信封，接着同学丙从信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从信封中取出的是2个论述题的概率． 17．（满分15分） 为选拔具有创新潜质的优秀中学生培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 18．（满分17分） 已知函数（） （1）若对任意的，恒成立，求实数的最值范围； （2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）设各项为正的数列满足：，，．求证：． 19．（满分17分） 如图，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）以椭圆中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆标准方程； （2）该椭圆：（）的左、右焦点分别为，，经过点，且倾斜角为（）的直线与该椭圆交于，两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直． （i）若，求异面直线和所成角的余弦值； （ii）是否存在（），使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A D D A B C 题号 9 10 11 答案 AC ABD AD 12．【答案】2 13．【答案】 14．【答案】44 15．（7+6分）【答案】（1）；（2）列联表见解析； 【详解】（1）由散点图，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得． 设，则． 2分 因为，，，， 所以． 4分 把代入，得， 6分 所以，即，则， 故关于的回归方程为． 7分 （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 8分 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 10分 则 12分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 13分 16．（7+8分）【答案】（1）； （2）； 【详解】（1）设事件表示“甲第次从B信封中取到论述题”，，， 则，，，． 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率 ． 7分 （2）设事件为“丙从信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， 10分 ，，， 所以， 13分 故所求概率． 15分 17．（7+8分）【答案】（1）分布列见解析，； （2）； 【详解】（1）由题意知，的可能取值有0，1，2，3， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 435 1835 6分 ． 7分 （2）因为甲、乙两人每次答题相互独立， 设甲答对题数为，则，设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”， 则 13分 由，，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为． 15分 18．（5+5+7分）【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 【详解】（1）由，恒成立，得恒成立，所以， 令（），则（） 因为，所以，所以在上单调递减， 所以，所以 所以实数的最值范围为 5分 （2）由，得， 令，则 ， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 8分 所以， 因为，， 所以， 关于的方程在上恰有两个不相等的实数根， 可知的图像与直线有两个不同的交点，所以， 即实数的取值范围为 10分 （3）由（1）知，当时，，即， 所以可化为， 12分 即，所以， 14分 所以， 所以， 所以，所以 17分 19．（4+5+8分）【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）存在，； 【详解】（1）圆柱轴线与水平面夹角，所以，， 椭圆的标准方程为． 4分 （2）（ⅰ）由直线：与， 联立消去整理得，解得或， 因为点，在轴上方，所以得，， 6分 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 记异面直线和所成角为， 则； 9分 （ⅱ）设，在新图形中对应点记为，． 由，，故， 10分 设折叠前，，： ，联立方程得， ， ， 12分 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）； ，，， ， ， ， 上式左右两边同时平方化简得：． 又； ， 得， 15分 ， ，， 解得， ，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $