3.2 探索三角形相似的条件课时4（课件）2026-2027学年北师大九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“黄金分割”核心知识点，课堂导入从古希腊数学家欧多克索斯的线段分割问题切入，结合五角星中的等角、等线段及相似三角形分析，逐步引出黄金分割定义、黄金比计算、黄金分割点及黄金矩形等内容，搭建连贯的学习支架。 其亮点在于融合历史文化与几何实践，通过观察五角星、推理黄金矩形性质（数学眼光），经历方程推导黄金比、构造黄金分割点的逻辑过程（数学思维），用符号公式表达关系并解决国旗五角星等实际问题（数学语言）。学生能深化理解，教师可依托清晰脉络提升教学效果。

第三章 图形的相似 3.2 探索相似三角形的条件 课时4 九上数学北师 1.通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割及黄金比。 2.能作出线段的黄金分割点，会求满足黄金分割的线段的长。 学习目标 2 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯（约前400—前347）曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这个问题就是“黄金分割”问题。 后来，天文学家开普勒(1571—1630)将这种分割线段的方法线段分割称为“神圣分割”，还盛赞它与勾股定理是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 课堂导入 3 知识点1 黄金分割 问题 一个五角星如图所示。 在图中找出相等的角、相等的线段。 ∠A=∠B=∠G=∠E=∠K等， AL=BC=BH=HG等。 K A L C B D H F E G 新知讲解 知识点1 黄金分割 问题 一个五角星如图所示。 在图中找出相似比不同的两对相似三角形。 △ADC∽△AFB，△CDL∽△BEL等。 K A L C B D H F E G 新知讲解 小亮认为， 。你同意他的看法吗? 同意。理由如下： 易知△ADC∽△AFB， ∴ 。 又易知AD=BC，AF=AC， ∴ 。 知识点1 黄金分割 K A L C B D H F E G 新知讲解 一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 知识点1 黄金分割 A C B 新知讲解 计算黄金比。 解：由， 得AC²=AB·BC。 设AB=1，AC=x，则BC=1-x。 ∴ x²=1×(1-x)， 即 x²+x-1=0。 解这个方程，得 x1= ，x2= (不合题意，舍去)。 所以，黄金比 ≈0.618。 例1 知识点1 黄金分割 新知讲解 一般地，如图，点C把线段AB分成两条线段AC和 BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫作线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比。 黄金比= 知识点1 黄金分割 A C B 新知讲解 黄金分割是一种分割线段的方法，每条线段都有两个黄金分割点。 如图，点C和点D都是线段AB的黄金分割点。 知识点1 黄金分割 A D C B 新知讲解 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (1)矩形EBCF是黄金矩形吗?为什么? 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 矩形EBCF是黄金矩形。 证明：∵矩形ABCD是黄金矩形， ∴可设BC=AD=(-1)a， 则AB=2a。 新知讲解 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (1)矩形EBCF是黄金矩形吗?为什么? 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C ∵四边形AEFD是正方形， ∴AE=AD=(-1)a， ∴EB=AB-AE=2a-(-1)a=3a- a。 ∴== ， ∴矩形EBCF是黄金矩形。 新知讲解 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (2)在边EF和边BC上分别取点G，H，使四边形EBHG为正方形，那么矩形GHCF是黄金矩形吗? 矩形GHCF是黄金矩形。 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 新知讲解 宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形。如图，已知矩形ABCD为黄金矩形，在边AB和边CD上分别取点E，F，使四边形AEFD为正方形。 (3)在这个图中，你还能得到更多的黄金矩形吗? 可以。在黄金矩形内以其宽为边长作正方形， 剩余的部分就是黄金矩形。 知识点1 黄金分割 A E B G H D F C 新知讲解 在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事。如图，在国旗上的任意一个五角星中，M，N是边AD的黄金分割点，若AD=8cm，则AN的长为 cm。(结果保留根号) 例2 (12-4) 知识点1 黄金分割 新知讲解 1.关于线段的黄金分割，下列说法正确的是（ ） A. 一条线段只有一个黄金分割点 B. 黄金比是较短线段与较长线段的比 C. 若点是线段的黄金分割点（），则 D. 黄金比约为0.816 C 随堂练习 2.如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为( ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不能确定 B A P B S1 S2 随堂练习 3.线段，点从出发向移动，当为的黄金分割点时，的长为________________（结果保留根号）。 6 随堂练习 4.采用如下方法可以得到黄金分割点： 如图，设AB是已知线段，过点B作BD⊥AB，使BD=AB；连接DA，在DA上截取 DE=DB；在AB上截取AC=AE。点C就是线段AB的黄金分割点。请说明其中的道理。 . . 解：不妨设AB=1，则BD=，由勾股定理，得AD=， 所以AE=AD-DE=AD-BD= - = ， 所以AC=AE= ，BC=1- = ， 所以，即点C为线段AB的黄金分割点。 随堂练习 5.如图，黄金矩形ABCD中=，以宽AB为边在其内部作正方形ABFE，得到四 边形CDEF是黄金矩形。依此作法，四边形DEGH，四边形KEGL也是黄金矩形。依次以点E，G，L为圆心作弧AF，弧FH，弧HK，曲线AFHK叫作“黄金螺线”。若AD=2，则“黄金螺线”AFHK 的长为 。(结果用π表示) ()π 随堂练习 一般地，点C把线段AB分成两条线段 AC和 BC，如果，那么称线 段AB被点C黄金分割 黄金分割 定义 黄金分割点 一条线段有两个黄金分割点 黄金比 = 课堂小结 $