7 “进一法”和“去尾法”解决问题（导学案）新五年级数学暑假自学课（人教版新教材）

新五年级上册数学暑假导学案 专题七 “进一法”和“去尾法”解决问题 【思维导图】 【考点精讲】 考点一：“进一法” 【典例分析】秋光漫过婺源的黛瓦时，篁岭便在海拔600米的山崖上铺开了一幅流动的斑斓画卷。红辣椒、黄玉米、金稻谷把秋日染得鲜亮。辣椒晒干后，总共有85.5千克需要装袋销售。每个袋子最多可以装4.2千克辣椒。请问至少需要多少个袋子才能装完所有辣椒？ 【答案】21个 【分析】根据题意，已知辣椒的总质量为85.5千克，每个袋子最多装4.2千克，需要用辣椒的总质量÷每个袋子能装的质量，得到所需袋子的数量，由于袋子的数量为整数，且剩余的辣椒也需要一个袋子来装，因此结果需要用“进一法”取近似值，据此解答。 【详解】85.5÷4.2≈20.36（个）   20＋1＝21（个）   答：至少需要21个袋子才能装完所有辣椒。 【变式训练1】王阿姨要将23.4千克的糖果分装在一些袋子中，每个袋子里最多可以装1.5千克，至少需要准备多少个袋子才能把糖果装完？ 【变式训练2】王叔叔今年收了8吨玉米，用小卡车运每次最多能运1.5吨。王叔叔这些玉米至少运多少次才能运完所有玉米？ 【变式训练3】学校图书室正在装修，如果用边长0.81米的方砖铺地，刚好需要40块，如果改成面积是0.81平方米的方砖铺地，至少需要多少块？ 考点二：“去尾法” 【典例分析】甜心蛋糕屋特制一种生日蛋糕，每个需要0.32千克面粉，黄师傅领了6千克面粉做蛋糕，她最多可以做几个生日蛋糕？ 【答案】18个 【分析】求 6 千克里面包含多少个 0.32 千克，用除法计算。在实际制作中，剩余面粉不足做一个蛋糕时需要舍去，因此应采用“去尾法”取整数。 【详解】 （个） 答：她最多可以做 18 个生日蛋糕。 【变式训练1】蝴蝶结是中华文化的一部分，在礼品上系上蝴蝶结，表达美好的心意与祝福。做一个蝴蝶结大约需要3.9分米的彩带，一根长19.2分米的彩带最大可做多少个蝴蝶结？ 【变式训练2】李老师要用100元买一些文具作为“数学小讲师”的奖品，他先花65.4元买了6盒彩笔，并准备用剩下的钱买一些软皮本，软皮本每本2.5元。李老师还可以买几本软皮本？ 【变式训练3】服装厂加工一种工作服，原来做一套需用布4.1米，改用新的裁剪方法，每套可节约用布0.2米，原来做3000套的布料，现在可以做工作服多少套？ 考点三：错中求解 【典例分析】皮皮在计算一道除法题时，错把除数0.8当成了8，结果得1.84，这道题的被除数是（    ）。 A．14.72 B．1.472 C．147.2 D．0.1472 【答案】A 【分析】被除数不变，除数从0.8变成8，扩大到原来的10倍，则商缩小到原来的，所以用结果乘10，得到正确的商，根据商×除数＝被除数，求出被除数。 【详解】1.84×10＝18.4 18.4×0.8＝14.72 这道题的被除数是14.72。 【变式训练1】小明用竖式计算5.1除以一个数时，把商的小数点向右点错了一位，结果是15，这道题的除数是( )。 【变式训练2】小华在计算3.69除以一个数时，将3.69错看成了3.96，结果得2.64，这道题正确的结果是（    ）。 A．1.5 B．0.15 C．2.46 D．2.64 【变式训练3】王阿姨在超市买了两件不同的商品，由于把其中一件商品的价格的小数点看错了一位，因此她付给了收银员160元，而收银员说她应付38.95元，实际两件商品分别是( )元和( )元。 考点四：四则混合算解决问题 【典例分析】安安和贝贝相约在腊月二十四一起上街义务写春联，她们计划用85元购买红纸和墨汁，她们先买了6瓶墨汁，再用剩下的钱买红纸。墨汁每瓶5.5元，红纸每张2.6元。她们一共买了多少张红纸？ 【答案】20张 【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出墨汁的费用，再用总钱数减去墨汁的费用求出红纸的费用，最后根据“数量＝总价÷单价”求出购买红纸的张数。 【详解】（85－5.5×6）÷2.6 ＝（85－33）÷2.6 ＝52÷2.6 ＝20（张） 答：她们一共买了20张红纸。 【变式训练1】学校买来足球和篮球各8个，每个篮球38.5元，共付了680元，每个足球多少元？ 【变式训练2】“智慧农场”的土豆试验田喜获丰收。第一块地收了620.5千克土豆，第二块地的产量是第一块的1.2倍。这两块地平均每平方米产土豆2.5千克，这两块地的总面积是多少平方米？ 【变式训练3】跳台滑雪的比赛场地有90米标准台和120米大跳台两种规格，运动员完成动作如图。跳台滑雪运动员在比赛中的得分主要包括距离得分和飞行姿势得分。120米大跳台的距离得分计算方法如表所示： 在一次120米大跳台比赛中，K点距离为110米，一号选手的飞行距离为113.5米，请你算算这位选手这一跳的距离得分是多少分？ 【综合训练】 1．林叔叔新榨了12.8千克菜籽油，送给邻居3.6千克，若将剩下的菜籽油全部装进瓶子里，每个瓶子里最多可以装2.5千克，则装完这些菜籽油至少需要( )个这种瓶子。 2．一个油桶最多可以装4.5千克油，要装完20千克油，至少需要( )个这样的油桶。做一件衣服用布1.4米，20米布最多可以做( )件这样的衣服。 3．工作人员要准备一些防潮袋，以确保设备稳定运行。每个标准防潮袋需要装1.2kg干燥剂，现在有20kg干燥剂，能装（    ）个这样标准的防潮袋。 A．16 B．17 C．18 4．百合花每枝9.8元，妈妈花100元最多可以买( )枝。有56个苹果，每个盒子最多可以装12个，至少需要( )个同样的盒子才能装完。 5．做一套衣服用布2.7m，50m布最多可以做（    ）套衣服。 A．19 B．18 C．17 D．20 6．淘气在计算6.3除以一个数时，把商的小数点向右点错了一位，结果计算得45，正确的除数应该是（    ）。 A．0.14 B．1.4 C．283.5 D．14 7．小华在计算一道除法算式时，将除数0.66看成了0.06，结果得2.31，这道题正确的结果是( )。 8．只列式，不计算。 一个捕鱼队，前三天共捕鱼45.2吨，后4天每天捕鱼16吨，这个星期平均每天捕鱼多少吨？ 9．王叔叔参加“全民健身”健步走活动，从起点到折返点再原路返回起点。他去时用了0.6小时，速度是5.5千米/时，返回时用了0.7小时。王叔叔参加此次健步走活动往返的平均速度大约是多少？（得数保留两位小数） 10．甲、乙两地相距220千米，一列快车从甲地开往乙地每小时行72千米，一列慢车从乙地去甲地每小时行54千米。若两车同时发车，几小时后两车还差31千米相遇？ 11．某玩具厂做一个玩具小熊原来要用7.8元的材料，改进工艺后，每个节约0.3元材料。原来准备做300个玩具小熊的材料，现在可以做多少个？ 12．某工厂要将生产的27.8吨原材料分装运输，每辆小货车的载重量是3.5吨。要把所有原材料一次性运走，至少需要多少辆这样的小货车？这些原材料如果分装到容量为2.2吨的储存罐里，最多可以装满多少个储存罐？ 13．科技小组的“小创客”们准备用新型材料“3D打印”一些机器人零件，现在有材料，打印一个机器人零件需要材料。 (1)最多可以打印多少个机器人零件？ (2)“小创客”们将机器人零件装进盒子里，每4个机器人零件装一盒，至少要准备多少个盒子？ 试卷第1页，共3页 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 考点一 【变式训练1】16个 【分析】由题意可知，用总重量除以每个袋子的容量，得到袋子数。由于袋子数必须是整数，且要确保所有糖果装完，当计算结果有余数时，需多用一个袋子，即应采用“进一法”。据此解答。 【详解】（个） 答：至少需要准备16个袋子。 【变式训练2】6次 【分析】用玉米的总重量8吨除以每次最多运的重量1.5吨，装不满一卡车也需要运一次，则用“进一法”将商取整即可求出王叔叔这些玉米至少运多少次才能运完所有玉米。 【详解】8÷1.5＝≈6（次） 答：王叔叔这些玉米至少运6次才能运完所有玉米。 【变式训练3】33块 【分析】根据题意，需要先求出图书室的总面积。已知原方砖的边长是0.81米，通过计算可得每块原方砖的面积，再乘以块数40，即可得到总面积。然后，根据新方砖的面积是0.81平方米，用总面积除以新方砖的面积，求出理论需要的块数。由于计算结果不是整数，且铺地时必须完整覆盖，不足一块的部分也需要一块砖，因此需要采用进一法取整。 【详解】图书室的总面积： 0.81×0.81×40 ＝0.6561×40 ＝26.244（平方米） 新方砖的面积：0.81平方米 需要的块数： 26.244÷0.81≈33（块） 答：由于铺地需要完整砖，不足一块按一块计算，因此至少需要33块。 【点睛】先求地面总面积，再用总面积÷单块新砖面积，得到块数，不够1块也要按1块算。 考点二 【变式训练1】4个 【分析】用总长度除以单个长度，得出个数。由于蝴蝶结的数量必须是整数，且计算结果有余数（剩余彩带不足以再做一个），采用“去尾法”取整。 【详解】19.2÷3.9≈4（个） 答：最大可做4个蝴蝶结。 【变式训练2】13本 【分析】本题考查小数四则混合运算及解决实际问题的能力。首先根据总钱数减去买彩笔花去的钱数，求出剩下的钱数；然后根据“数量＝总价÷单价”，用剩下的钱数除以软皮本的单价，求出理论上的购买数量；最后结合实际情况，因为软皮本的数量必须是整数，且剩下的钱不够买一本时不能购买，所以应采用“去尾法”取整数。 【详解】 （本） 答：李老师还可以买13本软皮本。 【变式训练3】3153套 【分析】首先根据原来每套用布量和原来做的套数，求出布料的总米数；然后用原来每套用布量减去节约的米数，求出现在每套用布量；最后用布料总米数除以现在每套用布量，求出现在可以做的套数。由于套数必须是整数，所以结果需采用“去尾法”保留整数。 【详解】 （套） 答：现在可以做工作服3153套。 考点三 【变式训练1】3.4 【分析】因为商的小数点向右点错了一位，即商扩大到原来的10倍，结果是15，那么正确的商就应该除以。根据除数＝被除数商算出结果。 【详解】 这道题的除数是。 【变式训练2】C 【分析】根据被除数÷除数＝商，用3.96除以2.64求出除数，再用3.69除以该除数即可求出正确的结果。 【详解】3.96÷2.64＝1.5 3.69÷1.5＝2.46 所以这道题正确的结果是2.46。 【变式训练3】25.50 13.45 【分析】我们可以先算一下差额，就是因为看错小数点而多算出来的钱，再求倍数差，把小数点向右看错一位，数值扩大10倍，比原数多了10−1＝9倍，就可以求出看错价格的那件商品的原价，然后应付款减去求出的看错商品的单价，可以得到另一件商品的单价。 【详解】160－38.95＝121.05（元） 121.05÷9＝13.45（元） 38.95－13.45＝25.50（元） 考点四 【变式训练1】46.5元 【分析】先根据“总价＝单价×数量”求出8个篮球的钱数，再用总钱数减去8个篮球的钱数求出8个足球的钱数，最后根据“单价＝总价÷数量”求出足球的单价。 【详解】（680－38.5×8）÷8 ＝（680－308）÷8 ＝372÷8 ＝46.5（元） 答：每个足球46.5元。 【变式训练2】546.04平方米 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，第一块地收的质量×1.2＝第二块地收的质量，将两块地收的质量相加，求出这两块地收的总质量，这两块地收的总质量÷平均每平方米收的质量＝这两块地的总面积。 【详解】（620.5×1.2＋620.5）÷2.5 ＝（744.6＋620.5）÷2.5 ＝1365.1÷2.5 ＝546.04（平方米） 答：这两块地的总面积是546.04平方米。 【变式训练3】66.3分 【分析】这位选手的飞行距离超过K点距离，距离得分＝60＋1.8×（飞行距离－K点距离）。 【详解】60＋1.8×（113.5－110） ＝60＋1.8×3.5 ＝60＋6.3 ＝66.3（分） 答：这位选手这一跳的距离得分是66.3分。 【综合训练】 1． 【分析】先通过总重量减去送给邻居的重量，求出剩余菜籽油的重量；再用剩余菜籽油的重量除以每个瓶子的最大装油量，余下的菜籽油装不满一个瓶子 时，需要多准备一个瓶子，结果用“进一法”取整数，即用商加得到最少瓶子的总数量。 【详解】（千克） （个） 装完这些菜籽油至少需要个这种瓶子。 2． 5 14 【分析】要装完20千克油，每桶最多可以装4.5千克油，根据题意用总千克数除以每桶能装的千克数，可以算出需要的油桶数量，余下的油装不满一个油桶时需要多准备一个油桶，再根据实际采用进一法即可。 20米的布，每1.4米做一件衣服，用布的总米数除以做一件衣服所需要的米数，等于做出来的衣服数量，余下的布不够做一件衣服时直接舍去，考虑实际情况，结果要去尾。 【详解】20÷4.5≈5（采用进一法） 20÷1.4≈14（采用去尾法） 3．A 【分析】根据“求一个数里面有几个另一个数”用20÷1.2来计算，再用“去尾法”保留整数。 【详解】20÷1.2≈16（个） 所以，20kg干燥剂能装16个这样标准的防潮袋。 4． 10 5 【分析】用总钱数除以每枝百合花的价钱，即可知道最多能买多少枝，结合实际应该采用“去尾法”；用苹果的总个数除以每个盒子最多可以装的个数，即可知道至少需要的盒子个数，结合实际应采用“进一法”。据此解答。 【详解】最多能买百合的枝数：100÷9.8≈10（枝） 至少需要盒子的个数：56÷12≈5（个） 5．B 【分析】用布的总长度除以做一套衣服的布料长度，即为可以做的衣服套数，衣服套数为整数，根据去尾法取整数。 【详解】50÷2.7≈18（套） 6．B 【分析】“商的小数点向右点错一位”意味着错误的商是正确商的10倍，所以先将错误的商45除以10，求出正确的商是4.5；再根据除法运算中“除数＝被除数÷商”的关系，用被除数6.3除以正确的商4.5，即可求出除数为1.4。 【详解】45÷10＝4.5 6.3÷4.5＝1.4 所以淘气在计算6.3除以一个数时，把商的小数点向右点错了一位，结果计算得45，正确的除数应该是1.4。 故答案为：B 7．0.21 【分析】由题意可知，正确的被除数＝错误的除数×错误的商，正确的商＝正确的被除数÷正确的除数。 【详解】正确的被除数：0.06×2.31＝0.1386 正确的商：0.1386÷0.66＝0.21 8．（45.2＋16×4）÷7 【分析】根据题意，先用后4天每天捕鱼的吨数乘4，求出后4天一共捕鱼的吨数，再加上前三天共捕鱼的吨数，就是这个星期7天捕鱼的总吨数；用总吨数除以7，求出这个星期平均每天捕鱼的吨数。 【详解】（45.2＋16×4）÷7 ＝（45.2＋64）÷7 ＝109.2÷7 ＝15.6（吨） 9． 5.08千米/时 【分析】根据“速度×时间＝路程”，利用去时的速度和时间求出单程路程。因为是原路返回，往返总路程是单程路程的2倍。往返总时间是去时时间与返回时间之和。最后用总路程除以总时间求出平均速度，并根据“四舍五入”法保留两位小数。 【详解】5.5×0.6×2÷（0.6＋0.7） ＝3.3×2÷1.3 ＝6.6÷1.3 ≈5.08（千米/时） 答：王叔叔参加此次健步走活动往返的平均速度大约是5.08千米/时。 10． 1.5小时 【分析】根据题意，两车是在两地相对同时开出，问题是几小时后还差31千米相遇，可知走的总路程是220－31＝189千米，用两车走的总路程除以两车的速度和就可以计算出用的时间。 【详解】（220－31）÷（72＋54） ＝189÷126 ＝1.5（小时） 答：1.5小时后两车还差31千米相遇。 11．312个 【分析】用300乘7.8算出原来做300个玩具小熊需要的总费用。用7.8元减去0.3元，算出现在做一个玩具小熊需要的费用。用原来的总费用除以现在做一个玩具小熊需要的费用即可。 【详解】300×7.8÷（7.8－0.3） ＝300×7.8÷7.5 ＝2340÷7.5 ＝312（个） 答：现在可以做312个。 12． 8辆；12个 【分析】首先根据“数量＝总量÷单量”的关系，分别列出除法算式计算小货车和储存罐的理论数量。其次，需要根据实际情况取商的近似值：运输原材料要求一次性运走，即使剩余少量材料也需要增加一辆车，应采用“进一法”取整数；储存罐要求装满，剩余材料不足一罐不能算作装满，应采用“去尾法”取整数。 【详解】 因为需要一次性运走，剩余材料也需要一辆车，采用“进一法”。 （辆） 因为要求装满，剩余材料不足一个储存罐，采用“去尾法”。 （个） 答：至少需要8辆这样的小货车，最多可以装满12个储存罐。 13．(1)22个 (2)6个 【分析】（1）用材料的总质量除以打印一个机器人零件需要材料的质量，利用“去尾法”即可求出最多能打印的个数。 （2）用打印机器人零件的数量除以4，利用“进一法”即可求出至少要准备的盒子的数量。 【详解】（1）（个） 答：最多可以打印22个机器人零件。 （2） （个） 答：至少要准备6个盒子。 8 / 15 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $