四川成都市2025-2026学年高一下学期定时练习数学试卷

2025级高一下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效。 5.定时练习结束后，只将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在复平面内，若z=一2十3i,则z的共轭复数对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.cos15cos75°-sinl5°sin75°= A.0 1 b. c D.1 3.已知a,b是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A若aCa,a∥B,则a∥g B.若aCa,a⊥B,则a⊥3 C.若a∥b,a∥a,则b∥a D.若a⊥b,a⊥a,则b∥a 4.若圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱与球的表面积之比为 A.1 B行 c台 n 5.在△ABC中，若A它=EC,B京=2F心，设AB=a,AC=b,则E京= B号a+b c号a-b Da+后b 数学试题第1页（共4页） 6.在△ABC中，设甲：C=7,乙：sinA=cosB,则 A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.与正四棱锥的5个顶点的距离都相等的平面有 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 8.已知x1,x2是方程sinx一cosx= 2在[0,2m)上的两根，则cosx1cosx2= A-号 B、 4 ca 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设函数fx)=sin(2x-背)，则 A,f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于点（号，0）对称 Cfx)的图象的对称轴为z=是+受∈刀 D.f)的单调递增区间为(-是+kx,登+ka∈刀 10.已知△ABC的外接圆圆心为O,且满足AB+AC=2AO,则 A.BO=OC B.AB·AC=0 C,若OA1-|A1,则BA在BC上的投影向量为BC D.若BA.B6=1,CA,Cò=2，则1B心1=6 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，E为DC的中点，F为线段A1C上的 动点，则 D A.AD1⊥EF B.BF十FD的最小值为3 C,四面体AD,EF的体积为定值 D.EF与平面ABCD所成角的正切值的最大值为1 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 太阳光线 12.已知复数z=1十i,则z2= 13.如图所示，在倾斜角为15°的山坡上有一根信号塔，当太阳的仰角为 60时，信号塔在坡上的影子长为20m,则信号塔的高为 60 m. 14.在平面直角坐标系中，对向量a=(x1,y),b=(x2,y2),定义a⑧b=x1x2十y1y2十x1y2十x2y1. 若单位向量r,s,t满足r⑧s=s⑧t=⑧r=0,则|r十s十t|的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)》 13 在平面直角坐标系中，已知向量a=(1,w),b=(-2分)， (1)证明：(a十2b)⊥(a-2b); (2)求|a+tb|(t∈R)的最小值 16.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC一A1B1C1中，A1A⊥平面ABC,AB⊥BC,点E,F分别是线段 AB,A1C的中点. (1)求证：BC⊥平面ABB1A; (2)若平面FEC∩平面BCC1B1=l,求证：EF∥. 17.(本小题满分15分) 在一般条件下，青少年的心率会随呼吸发生周期性波动：吸气时心率加快，呼气时心率减慢，这 一现象在医学上被称为呼吸性窦性心律不齐(RSA).研究发现，心率波动频率与呼吸频率高度一 致，心率随时间的变化可用模型HR(d)=HR十Asn(需十p)(A>0,f≥5，一号<9<受)近 似拟合，其中HR(t)为心率（次/min),HR为稳态心率（次/min),f为呼吸频率（次/min), t为时间(s),A为RSA幅值（次/min). 为了解自身心率的波动情况，小明在静息的条件下按节拍器的引导进行均匀呼吸（呼吸频 率为l0次/mi),从一次吸气开始的时刻开始计时（即t=0时刚好完成呼气，即将开始吸气）， 数学试题第3页（共4页） 记录了一个完整呼吸周期内的心率数据，如下表： 时间t(s) 0 1 2 3 5 6 心率（次/min) 65 75 80 75 65 60 65 呼吸时相 吸气始 吸气 吸气 呼气始 呼气 呼气 吸气始 设小明在静息和步行时的心率变化均满足该模型， (1)求小明静息时HR(t)的表达式； (2)若小明在步行时，呼吸频率f为20次/min,稳态心率HR,提高到90次/min,RSA幅 值A为4次/min,o没有发生变化，求小明步行时HR(t十1)一HR(t)的最大值， 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2. (1)若√3b=√3 acosC+csinA, (i)求A; (i)已知△ABC的面积为√3，求b,c. (2)设∠BAC的角平分线交BC于点D,若AD=2,求b十c的取值范围. 19.(本小题满分17分) 如图，在三棱锥A一BCD中，BC=CD=DB=2,AB=AD,AB⊥AD,平面ABD⊥平面 BCD,设点E,F为棱AC上的动点（不含端，点）. (1)求证：BD⊥AC; (2)若BE⊥DE,三棱锥E一BDC的各顶点均在球O1的球面上，求球O:的半径； (3)若二面角E-BD一F的大小为于，求四面体EFBD体积的最小值。 数学试题第4页（共4页）2025级高一下学期定时练习 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题：（每小题5分，共40分） 1.C 2.A, 3.B; 4.D 5.D; 6.A, 7.B5 8.A. 二、选择题：（每小题6分，共18分） 9.AD: 10.ABD: 11.ACD. 三、填空题：（每小题5分，共15分） 12.2i, 13.20v2 14.[1,3]. 四、解答题：（共77分） 15解：1)图为62=1+3=4,6：=+号=1， …2分 又(a+2b)·(a-2b)=a2-4b2=4-4×1=0, …5分 所以(a+2b)⊥(a-2b). ……6分 2因为a6=-音+号 2+2=1, …8分 |a+tb|2=a2+2ta·b+t2b2=4+2t+t2=(t+1)2+3≥3， …11分 所以a十b|≥3，当且仅当t=一1时等号成立。 故|a十t地|的最小值为v3. …13分 16.解：(1)因为A,A⊥平面ABC,BCC平面ABC, 所以A:A⊥BC. …3分 由题知AB⊥BC, 又AB∩A1A=A,A1AC平面ABB1A1,ABC平面ABB,A1, 所以BC⊥平面ABB1A1. …6分 (2)连接AC1,BC1,则AC1与A1C交于点F. 因为E,F分别是AB,AC:的中点， 所以EF∥BC. …9分 又EF丈平面BCC1B1,BC,C平面BCC,B1, 所以EF∥平面BCC:B1· …12分 数学参考答案第1页（共5页） 又EFC平面EFC,平面EFC∩平面BCC,B1=L, 所以EF∥L. …15分 17.解：(1)由表可知小明在一个呼吸周期内心率的最大值与最小值分别为80次/min与60次/min, 可得A-80-60 …2分 2 10次/min, 所以HR。=60+A=70次/min. …3分 又-个呼吸周期T=6,即易X6=2x,解箱0f-子 …4分 令：=2，得HR(2)=70+10sin(+p)=80,解得p=-着+2x∈2D. 又-受<9<受，所以p=-合 …6分 所以HR(e)=0+10sin(宁-君e≥0). ……7分 (2)由题意知小明在步行时心率满足HR(e)=90十4sin(号t一吾. 2 …9分 Rc+1)-HRc=4sint受e+1》--4sin登：-) =4s-27+2ms =6cos经-2w56in5 -45c+. …13分 所以HRG+D-HR@)<4,,当且仅当：-背+3∈0时等号成立。 …14分 所以小明步行时HR(t十+1)一HR(t)的最大值为4√5. …15分 18.解：(1)（由正弦定理inA-sinB-sinc=2R(R为△ABC外接圈的半径）， 得3sinB=√3 sinAcosC+sinCsinA, …1分 又B=π-A-C,所以sinB=sinAcosC+cosA sinC. 所以原式化为√3(sinAcosC十cosA sinC)=√3 sinAcosC+sinCsinA. …3分 整理得V3 sinCcosA=sinCsinA,又sinC≠0，cosA≠0， 数学参考容案第2页（共5页） 所以anA=原，又A∈(0，x,所以A=于 …4分 1 (i因为△ABC的面积Saac=2 bcsinA=3,所以bc=4, …5分 又由余弦定理知a2=b2十c2-2bcco3A,即4=b2十c2-bc, …7分 所以(b一c)2=0,即b=c,所以b=c=2. …8分 (2)因为AD为∠BAC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD= 2∠BAC. 由面积公式得ch∠BAC-号ADXX血∠BAC+片:ADX8X:血∠A月C, 21 2， 化简得cco ∠BAC=b+c,即co8∠BAC_6+9 2 2 bc 又由余弦定理得2 bc cos.∠BAC=b2+c2-a2, 即2bc[2x6+c 62-1]=62+c2-4. 化简得4(b+c)2=bc[(b十c)2-4幻(*). …11分 由基本不等式得46+<生r[(6+e)-,解得b+e≥2,5。 当且仅当b=c=5时等号成立. …14分 又由b一c<2得(b一c)2<4,即(b十c)2<4十4bc. 所以bc>6+c)2-4 4 代人(*)得406+e>6+c)”-46+e-幻， 4 又b+c>2,有4(b+c)>(6+c)2-4, 解得b+c<2+22,当A点与B,C两点无限趋于共线时，b十c无限通近2+22， 综上，b+c的取值范围为[25,2+22)， …17分 19.解：(1)设BD的中点为0O,连接AO,OC, 由AB=AD,得AO⊥BD. …1分 同理CO⊥BD. ……2分 又A0∩C0=0,A0,C0C平面A0C, 所以BD⊥平面AOC. ……3分 又ACC平面AOC, 所以BD⊥AC. …4分 数学鑫考答案第3页（共5页） (2)连接OE,由(1)知AO⊥BD. 又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AOC平面ABD, 所以AO⊥平面BCD. 又OCC平面BCD, 所以AOLOC. …6分 所以AC=√AO+OC=2. 因为BE⊥DE,又BD=2, 所以0E=号D=1 1 又AC=2,得0E=2AC. 所以E为AC的中点. …7分 所以OE=EC,∠E0C=∠E00-言 设△BCD的外接圆圆心为G,显然G点满足CG=2G0=2 3， 又△BED的外接圆圆心为O, 所以O1G⊥平面BCD,O,O⊥平面BED. 又OCC平面BCD,OEC平面BED, 所以0G⊥0C,010⊥0E. 所以∠G00,=3,01G=0G·tan3-1. 所以球01的半径r=√O,C+GC=② 3 …10分 (3)连接OF,由(1)知BD⊥平面AOC,又OEC平面AOC, 所以OE⊥BD,同理OF⊥BD. 所以二面角E-BD-F的平面角为∠E0F,即∠BOF= …11分 如图，设∠E0C=0,0∈(0，， 在△E0C中，由正弦定理得 OE OC sin/ECO sin∠OEC' 解得OE= 3 2sin( 数学参考答案第4页（共5页） OF OA 在△FOA中，由正弦定理得 sin∠FAO sin∠oFA' 解得OF= 5 …13分 2sin(0+122 5x、 32 所以△B0F的面积SAw=名0E,OF·∠B0F= 16 血o+看sn0+受 又n0+)sin(8+50)=4二cos(20+ 2 21 当且仅当20+径=，即0=贸时等号度立。 所以SA0r≥3y2-3 41 …16分 所以四面体EFBD体积Vano-号Sm·BD≥2己子. 1 2 所以四面体EFBD体积的最小值为。 …17分 数学参考答案第5页（共5页）