专题1 反比例函数中k的几何意义 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

专题1 反比例函数中k的几何意义（4种题型） 【题型归纳】 题型1 与一般三角形的面积 2 题型2 与特殊三角形的面积 3 题型3 与平行四边形的面积 4 题型4 与特殊平行四边形的面积 6 一、知识梳理 1、过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于； 2、如过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于. 二、题型精讲 题型1 与一般三角形的面积 例1.如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　 　． 【变式1-1】如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______． 【变式1-2】如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【变式1-3】如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由． 题型2 与特殊三角形的面积 例2.如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式2-1】如图，点A是反比例函数y（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为______． 【变式2-3】如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 题型3 与平行四边形的面积 例3.如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（       ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【变式3-1】如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ． 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图所示位置，边CD在轴的正半轴，点B在轴的负半轴．双曲线过边AB边上的点N和AD边上的点M．若AN：NB=1：2，点M为AD的中点，点P是OB上一点，且满足OP：BP=1：2．连接MP、DP，若S△MDP=3，则的值为（ ） A．-6 B． C． D． 【变式3-3】如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ） A． B． C．-12 D．-24 题型4 与特殊平行四边形的面积 例4.如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y（k≠0）的图象经过点D，则k＝　 　． 【变式4-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【变式4-2】如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．    【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC与反比例函数y（k＞0，x＞0）交于点A，点C坐标为（5，﹣1），则k的值为　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 反比例函数中k的几何意义（4种题型） 【题型归纳】 题型1 与一般三角形的面积 1 题型2 与特殊三角形的面积 7 题型3 与平行四边形的面积 11 题型4 与特殊平行四边形的面积 15 一、知识梳理 1、过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于； 2、如过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积等于. 二、题型精讲 题型1 与一般三角形的面积 例1.如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　 　． 思路点拨：连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积等于△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC，可得结果． 解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等， ∵点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2（x＞0）的图象上，AB⊥x轴， ∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6， ∴△APC的面积为6， 故答案为6． 点睛：本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键． 【变式1-1】如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点B作y轴的平行线，交双曲线于点C，连接AC，则△ABC的面积为______． 【答案】5 【分析】过点作轴于点，设与轴的交点为，根据与都是中心对称图形，设，则，，进而证明，根据求解即可． 解：如图，过点作轴于点，设与轴的交点为， 直线与双曲线交于A，B两点，且与都是中心对称图形， 设，则 点C在上，轴， 则， 又 故答案为：5 【点拨】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的性质，全等三角形的性质与判定，掌握反比例函数与正比例函数图象是中心对称图形是解题的关键． 【变式1-2】如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y（k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k＝6，a＝3，再利用待定系数法求出直线OM的解析式为yx，然后确定C点坐标，再根据三角形面积公式求解． 【解答】解：把P（2，3），M（a，2）代入y得k＝2×3＝2a，解得k＝6，a＝3， 设直线OM的解析式为y＝mx， 把M（3，2）代入得3m＝2，解得m， 所以直线OM的解析式为yx，当x＝2时，y2， 所以C点坐标为（2，）， 所以△OAC的面积2． 故选：B． 【变式1-3】如图所示：已知直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4． (1)求k的值； (2)若双曲线上的一点C的纵坐标为8，求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点M使得的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，M点坐标为，理由见解析 【分析】（1）利用一次函数求出点坐标，再将其代入双曲线中求解，即可解题； （2）利用反比例函数求出点C，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，，结合的几何意义根据求解，即可解题； （3）根据点M在坐标轴上使得的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在轴上时，②当M点在轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题． 【详解】（1）解：直线 与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4， 将点A的横坐标代入得， 点A的坐标为， 将点A的坐标代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：由（1）可知：双曲线解析式为， 点C在双曲线上，点C的纵坐标为8， 将点C的纵坐标代入得：， 解得：，点C的坐标为， 如图，过点C作轴于点，过点A作轴于点，，的延长线相加于点，连接，， ； （3）解：存在，理由如下： ①当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 解得：， 点坐标为． 此时最小值为. ②当M点在轴上时， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点M，连接， 根据轴对称性质可知，， ， 根据两点之间线段最短可知即为的最小值，与轴的交点即为M点， 点C的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将、坐标代入得：，解得：， 直线的解析式为， 令，代入得：， 点坐标为， 此时最小值为，且. 综上所述，M点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，的几何意义，以及一次函数与坐标轴交点情况，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． 题型2 与特殊三角形的面积 例2.如图，点在反比例函数图象上，轴于点，是的中点，连接，，若的面积为2，则（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质得出，然后根据反比例函数的几何意义得解． 【详解】解：∵点C是OB的中点，的面积为2，∴, ∵轴于点，∴,∴,∴，故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义以及三角形中线的性质，熟知反比例函数的几何意义是解本题的关键． 【变式2-1】如图，点A是反比例函数y（x＜0）的图象上的一点，点B在x轴的负半轴上且AO＝AB，若△ABO的面积为4，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 思路点拨：过点A作AD⊥x轴于点D，结合等腰三角形的性质得到△ADO的面积为2，所以根据反比例函数系数k的几何意义求得k的值． 解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵AB＝AO，△ABO的面积为4， ∴S△ADO|k|＝2， 又反比例函数的图象位于第二象限，k＜0， 则k＝﹣4． 故选：D． 点睛：本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，延长交反比例函数的图象于点．若反比例函数的图象经过的中点，且，则的值为______． 【答案】-8 【分析】设B（a，b），先证明△CEO≌△CBO得到CE=BC，求出E（-a，b），再根据D为OB的中点，得到，从而求出，再由进行求解即可． 【详解】解：设B（a，b），∵四边形ABCO是矩形，∴∠BCO=∠ECO=90°，BC∥AO， ∵OB=OE，CO=CO，∴△CEO≌△CBO（HL）∴CE=BC，∴E（-a，b）， ∵D为OB的中点，∴，又∵D在上，∴，∴， ∵，∴，∴k=-8，故答案为：-8． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，反比例函数上点的坐标特点，坐标与图形等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【变式2-3】如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）将点，代入，求出，将点代入，即可求解， （2）由反比例函数的几何意义得，由，可得，即可求解， （3）设点坐标为，作轴，用含的代数式表示出的长度，代入，即可求解， 本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想． 【详解】（1）解：∵点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∴，解得：， 故答案为：， （2）解：过点，，作轴，轴，垂足分别为，， 由（1）可知，点，是反比例函数的图象上的两点， ∴，，,，， ∵， ∴， 故答案为：的面积为， （3）解：设点坐标为，过点，作轴，垂足为， ∴，， ∴， 即：，解得：或， ∴或， 故答案为：点的坐标为或． 题型3 与平行四边形的面积 例3.如图，平行四边形ABOC中，对角线交于点E，双曲线y＝经过C、E两点，若平行四边形ABOC的面积为18，则k的值是（       ） A．﹣3 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6 【答案】D 【分析】设，，根据平行四边形的性质求得的坐标，进而求得的坐标，根据平行四边形的面积求得的关系，进而求得的值 【详解】设，， 四边形是平行四边形，双曲线y＝经过C、E两点， 则，， 平行四边形ABOC的面积为18， 即解得故选D 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，中点坐标公式，反比例函数的几何意义，设点的坐标代入计算是解题的关键． 【变式3-1】如图，平行四边形的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上．若平行四边形的面积为10，则 ． 【答案】 【分析】过点A作轴于点E，过点C作轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出与的面积相等，与的面积相等，再由反比例函数的几何意义得出，确定，再次利用反比例函数的几何意义即可得出结果． 【详解】解：过点A作轴于点E，过点C作轴于点D， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴与的面积相等， 同理可得与的面积相等， ∵若的面积为10， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵在第二象限， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的几何意义，平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式3-2】如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图所示位置，边CD在轴的正半轴，点B在轴的负半轴．双曲线过边AB边上的点N和AD边上的点M．若AN：NB=1：2，点M为AD的中点，点P是OB上一点，且满足OP：BP=1：2．连接MP、DP，若S△MDP=3，则的值为（ ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出B点和C点的坐标，并分别表示出其余各点坐标，再利用点N在图像上得到一个关系等式和S△MDP=3建立相等关系后联立求出k即可． 【详解】解：设B（a，0），C（0，c）∴N（a，） ∵AN：NB=1：2，OP：BP=1：2，∴A（a, ），P（，0） ∴D（0，） ∵M是AD中点，∴M（，），作ME⊥y轴，垂足为E， ∴E（0，）∴DE=，ME=，OE=，∴， ， ，∴ ∴∴，因为N点在反比例函数的图像上， ∴∴∴，∴，故选：D． 【点拨】本题综合考查了平行四边形的性质、反比例函数图像上的点和解析式的关系，三角形及其他多边形的面积等内同，要求学生理解掌握相关性质，能找出图中的相等关系，能通过列等式进行计算求解等，蕴含了数形结合的思想方法． 【变式3-3】如图，点D是平行四边形OABC内一点，AD与轴平行，BD与轴平行，，，．若反比例函数的图象经过C、D两点，则的值是（ ） A． B． C．-12 D．-24 【答案】B 【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F，易证△COE≌△ABD，求得OE=2，根据S△BDC=6，求得CF=6，得到点D的纵坐标为4，设C（m，），则D（m+6，4），由反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点，从而求出m，进而可得k的值． 【详解】解：过点C作CE⊥y轴，延长BD交CE于点F， ∵AD与x轴平行，BD与y轴平行，∴∠ADB=90°，∠1=∠ABD， ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB∥OC，AB=OC， ∴∠COE=∠1=∠ABD， 在△COE和△ABD中，，∴△COE≌△ABD（AAS），∴OE=BD=，CE=AD， ∵S△BDC=BD•CF=6，∴CF=6，∵∠BDC=120°，∴∠CDF=60°，∴DF＝2，点D的纵坐标为4， 设C（m，2），则D（m+6，4），∵反比例函数y=（x＜0）的图象经过C、D两点， ∴k=2m=4（m+6），∴m=-12，∴C（-12，2），∴k=-24，故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，掌握平行四边形的性质和反比例函数图像的坐标特征是解题的关键． 题型4 与特殊平行四边形的面积 例4.如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y（k≠0）的图象经过点D，则k＝　2　． 【分析】利用矩形的性质和线段的中点坐标公式得到D（2，1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值． 【解析】∵点D是矩形AOBC的对称中心， 而点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0）， ∴D（2，1）， ∵反比例函数y（k≠0）的图象经过点D， ∴k＝2×1＝2． 故答案为2． 【变式4-1】如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且 轴，过点、分别向轴作垂线，垂足分别为点、，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为1，矩形的面积是3，则矩形的面积为． 【详解】解：过点A作轴于点E， 轴， 则点在同一直线上， ∵点A在双曲线上，点B在双曲线上， ∴矩形的面积为1，矩形的面积是3， ∴矩形的面积为， 故答案为：2． 【变式4-2】如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的中点P，与交于E、F两点，则四边形的面积是 ．    【答案】6 【分析】设P点的坐标为，根据矩形性质求得的坐标，根据反比例函数的几何意义可得，根据，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 轴，轴， ∵在反比例函数图象上， ， 设P点的坐标为，而点P在反比例函数图像上，则， 又∵矩形对角线的中点为P， ，，， ， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键． 【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，正方形AOBC与反比例函数y（k＞0，x＞0）交于点A，点C坐标为（5，﹣1），则k的值为　6　． 【分析】作AE⊥x轴于E，作CF∥x轴，交AE于F，则AF⊥FC，设A（m，n），根据全等三角形的性质得到OE＝AF，AE＝CF，解方程组得到A（3，2），于是得到结论． 【解析】作AE⊥x轴于E，作CF∥x轴，交AE于F，则AF⊥FC， 设A（m，n）， ∴OE＝m，AE＝n， ∵正方形AOBC中，∠OAC＝90°，OA＝AC， ∴∠OAE+∠CAF＝90°， ∵∠AOE+∠OAE＝90°， ∴∠AOE＝∠CAF， 在△AOE和△CAF中，， ∴△AOE≌△CAF（AAS）， ∴OE＝AF，AE＝CF， ∴， 解得， ∴A（3，2）， ∵正方形AOBC与反比例函数y（k＞0，x＞0）交于点A， ∴k＝3×2＝6， 故答案为：6． 1 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