专题1.2 反比例函数的图像与性质 讲义-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

本讲义聚焦反比例函数的图形和性质这一核心知识点，系统梳理双曲线定义、图象与性质、比例系数k的几何意义、对称性、与正比例函数交点特征及待定系数法求解析式，构建从基础概念到综合应用的完整学习支架。 资料以思维导图整合知识脉络，16个题型讲练（如由对称性求坐标、根据面积求k值）培养数学思维，中考真题与分层练习（基础夯实、培优拔高）提升应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，发展抽象能力与创新意识。

专题1.2 反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 双曲线 3 知识点二 反比例函数的图象与性质 3 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 3 知识点四 反比例函数图象的对称性 4 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 4 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 4 题型讲练 4 题型一 判断(画)反比例函数图象 4 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 5 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 6 题型五 判断反比例函数的增减性 6 题型六 判断反比例函数图象所在象限 7 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 7 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 7 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 7 题型十 求反比例函数解析式 8 题型十一 反比例函数与几何综合 9 题型十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 10 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 10 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 11 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 12 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 13 中考真题演练 14 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 19 知识点一 双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.用描点法画双曲线 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三队（或三对以上）互为相反数的数. （2）描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找. （3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 特别提醒： 1.画反比例函数图像应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点. 2.随着lxl的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 （k≠0）中x≠0且y≠0 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 1.矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N所得矩形PMON的面积S=PM·PN=lyl·lxl=lxyl，又因为y=，所以xy=k，所以S=lkl. 2.三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF的垂直y轴于点F，链接EO，则=OF·FE=lyl·lxl=lxyl=. 知识点四 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点. 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 当反比例函数y=x（≠0）中的与反比例函数y=（≠0）中的的符号相同时，两函数图象必有两个交点，并且这两个交点关于原点对称.当与的符号不同时，两函数图像没有交点. 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 （1）设反比例解析式为y=（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x、y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值带回所设的函数解析式. 题型一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． 【变式训练】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数的图象，则的值可以是_____．（写出一个即可） 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 题型五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于函数的性质叙述错误的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．函数的图象在第二、四象限 D．函数的图象在第一、三象限 题型六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）若点，，都在反比例函数图象上，则、、大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26八年级下·河南·阶段检测）若点，都在反比例函数图象上，则___________（填、或）． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【变式训练】（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 【变式训练】（25-26八年级下·上海·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【变式训练】（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 题型十 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）如图，直线与双曲线（）相交于两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连结，求的面积． 题型十一 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图像的交点，垂直于x轴，垂足Q的坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当正比例函数值大于反比例函数值时，请根据图像直接写出x的取值范围：_________； (3)如果点M在这个反比例函数的图像上，且的面积为6，求点M的坐标． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为________ ． 题型十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且，四边形面积为5，则______． 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，点的坐标为，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标． (3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形． 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）如图，P是函数的图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F，当时，k的值为________． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆万州·期中）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点A关于x轴对称的点为，求的面积． (3)请直接写出不等式的解集． 【真题演练1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【真题演练3】（2025·江苏泰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则______________． 【真题演练4】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 【基础夯实】 1．（2026·浙江绍兴·二模）已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）一次函数，若随增大而减小，则反比例函数 的图象所在象限为（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是_____（填序号） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 6．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，与轴平行的直线与反比例函数和的图象分别交于两点，若是轴上任意一点，则的面积为________． 8．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 9．（25-26八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，求不等式的解集． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式中x的取值范围． 【培优拔高】 1．（2026·湖南长沙·三模）如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）直线与双曲线交于、两点，则____________． 6．（2026·四川南充·三模）如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上的点作轴的垂线，垂足为，交一次函数的图象于点，其中点的横坐标为1．若为一次函数的图象上的一点，且，则点的坐标为________． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图①，一次函数 与反比例函数 的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． (1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； (2)的面积为 ； (3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； (4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线，把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ①若时，求“图象”与轴的交点坐标； ②过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点．若，请直接写出的值； ③直接写出点到的最短距离． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull 专题1.2 反比例函数的图形和性质『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共57题） 【苏科版数学新教材•九年级上册】 同学你好，本套讲义针对2026年苏科版九年级上册最新版教材精心制作，贴合书本内容。讲义包含精编思维导图，知识梳理精讲，重点难点题型讲练，中考真题实战演练，精选真题难度分层练等五大部分！题目新颖，题量充沛，解析思路清晰，精选近两年名校真题，模拟题等最新题目，解析思路清晰，难度中上，非常适合培优和拔尖的同学使用，讲义可作为同步复习，章节巩固，期中期末强化巩固学习使用。相信本套讲义资料可以帮助到你！ 思维导图 2 知识梳理 3 知识点一 双曲线 3 知识点二 反比例函数的图象与性质 3 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 3 知识点四 反比例函数图象的对称性 4 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 4 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 4 题型讲练 4 题型一 判断(画)反比例函数图象 4 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 5 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 7 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 8 题型五 判断反比例函数的增减性 9 题型六 判断反比例函数图象所在象限 10 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 11 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 11 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 12 题型十 求反比例函数解析式 14 题型十一 反比例函数与几何综合 16 题型十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 18 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 20 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 22 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 24 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 27 中考真题演练 29 难度分层训练 40 【基础夯实】 40 【培优拔高】 48 知识点一 双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.用描点法画双曲线 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，向两边分别取三队（或三对以上）互为相反数的数. （2）描点：先描出一侧，另一侧可根据中心对称的性质去找. （3）连线：按照从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点并延伸，注意两个分支是断开的. 特别提醒： 1.画反比例函数图像应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点. 2.随着lxl的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数 （k≠0）中x≠0且y≠0 知识点二 反比例函数的图象与性质 y＝ (k为常数，) 图　象[来源:Zxxk.Com] [来 所在象限[来源:学*科*网Z*X*X*K] 一、三(x，y同号)[ 二、四(x，y异号) 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 1.图象是中心对称图形，对称中心为原点； 2.图象是轴对称图形，两条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限的角平分线和二、四象限的角平分线． 知识点三 反比例函数y=（k≠0）中比例k的几何意义 1.矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点P作x轴，y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N所得矩形PMON的面积S=PM·PN=lyl·lxl=lxyl，又因为y=，所以xy=k，所以S=lkl. 2.三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF的垂直y轴于点F，链接EO，则=OF·FE=lyl·lxl=lxyl=. 知识点四 反比例函数图象的对称性 反比例函数的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点. 知识点五 正比例函数与反比例函数图象的交点特征 当反比例函数y=x（≠0）中的与反比例函数y=（≠0）中的的符号相同时，两函数图象必有两个交点，并且这两个交点关于原点对称.当与的符号不同时，两函数图像没有交点. 知识点六 待定系数法求反比例函数解析式一般步骤 （1）设反比例解析式为y=（k为常数，k≠0）； （2）把已知的一对x、y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； （3）解这个方程求出待定系数k； （4）将所求得的待定系数k的值带回所设的函数解析式. 题型一 判断(画)反比例函数图象 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）画出函数的图象． 【答案】由列表可得： 【分析】列表，描点作图即可． 【变式训练】（25-26九年级上·河北唐山·期末）下列图象是反比例函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象．反比例函数解析式为，由解析式可知，，图象与x轴、y轴都无交点，图象为双曲线． 【详解】解：由反比例函数解析式，可知，， ∴图象与x轴、y轴都无交点， C、B、D的图象都与坐标轴有交点． 故选：A． 题型二 已知反比例函数的图象，判断其解析式 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 【变式训练】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 题型三 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【典例精讲】（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 【变式训练】（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 题型四 已知双曲线分布的象限，求参数范围 【典例精讲】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，反比例函数的图象，则的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】1（不唯一，满足即可） 【分析】由图可知，当时，，且，进而可得k的取值范围，取一个符合条件的值即可． 【详解】解：由图可知，当时，，且， ∴， ∴的值可以是1（不唯一，满足即可）． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）若反比例函数图象的一支在第三象限，则k的取值范围是________ ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质可知，当反比例函数比例系数大于时，图象位于第一、三象限，据此列不等式求解即可． 【详解】解：反比例函数图象的一支在第三象限， ， 解得． 题型五 判断反比例函数的增减性 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）关于反比例函数，下列说法中错误的是（     ） A．当时，随的增大而减小 B．图象位于第一、三象限 C．点在函数图象上 D．当时， 【答案】D 【分析】先由解析式得，再结合反比例函数的性质逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第一、三象限，选项B正确； 且在每个象限内，随的增大而减小， ∵ 对应第三象限， ∴ 当时，随的增大而减小，选项A正确； 将代入解析式，得 ，与点的纵坐标一致， ∴ 点 在函数图象上，选项C正确； 当时，， ∵ 时，随的增大而减小， ∴ 当时，， 因此D错误选项． 【变式训练】（25-26八年级下·河南洛阳·期中）关于函数的性质叙述错误的是（   ） A．当时，随的增大而减小 B．当时，随的增大而减小 C．函数的图象在第二、四象限 D．函数的图象在第一、三象限 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，只需根据中比例系数的符号，即可判断各选项的正误． 【详解】解：根据题意得：函数是反比例函数， ， 函数的图象分布在第一，三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， 由此可得，选项A，B，D的叙述均正确，选项C的叙述错误． 题型六 判断反比例函数图象所在象限 【典例精讲】（25-26八年级下·河南周口·期中）若点，，都在反比例函数图象上，则、、大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断反比例函数的图象所在的象限和各自象限内的增减性，再比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限，点、在第四象限， ∴． 【变式训练】（25-26八年级下·河南·阶段检测）若点，都在反比例函数图象上，则___________（填、或）． 【答案】 【分析】先判断反比例函数的图象所在象限，再判断点、所在的象限，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，即． 题型七 已知反比例函数的增减性求参数 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）某反比例函数满足当自变量时，函数值随的增大而减小，写出一个满足条件的函数表达式：____________． 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，由题意可知，当时，随的增大而减小，根据反比例函数的性质可得，取，可得满足条件的函数表达式为，答案不唯一． 【变式训练】（2026·陕西西安·三模）已知点，都在反比例函数的图象上，且当时，，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由题意可知，反比例函数图象在第二、四象限，系数小于0，即可得解． 【详解】解：在反比例函数中，当时，， ∴， ∴ ． 题型八 比较反比例函数值或自变量的大小 【典例精讲】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则____________（填“”或“”或“=”） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再根据反比例函数的性质，结合两点横坐标的大小关系比较纵坐标和的大小． 【详解】解：反比例函数中，比例系数 ， ， ， 反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，的横坐标都小于，两点都在第二象限，且， ． 【变式训练】（25-26八年级下·上海·阶段检测）若点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入横坐标求出对应纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴将代入解析式，得 ， 将代入解析式，得 ， ∵，且、都小于， ∴，故选D． 题型九 已知比例系数求特殊图形的面积 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图象上，与y轴相交于点M，轴，若，则的长为_______． 【答案】 【分析】利用反比例函数的“”的几何意义求出的面积，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点P，Q分别在反比例函数和的图象上， 且轴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 【变式训练】（25-26八年级下·山西长治·期中）已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 题型十 求反比例函数解析式 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求，求出时，y的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）如图，直线与双曲线（）相交于两点，与x轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连结，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)4 【分析】（1）根据待定系数法将点分别代入到一次函数与反比例函数中求解； （2）求出点的坐标，将的面积求出来，减去的面积求解． 【详解】（1）解：将代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数的表达式为； 将代入，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：将代入一次函数， 得，解得， ∴点B的坐标为， ． 题型十一 反比例函数与几何综合 【典例精讲】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图像的交点，垂直于x轴，垂足Q的坐标为． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当正比例函数值大于反比例函数值时，请根据图像直接写出x的取值范围：_________； (3)如果点M在这个反比例函数的图像上，且的面积为6，求点M的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2) (3)点M的坐标为或 【分析】（1）由的坐标为，推出，利用待定系数法即可解决问题； （2）联立两个解析式求出交点坐标，再根据图象进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式求出的长，分两种情形求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， ， 设反比例函数解析式， 在此图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）解：联立反比例函数和直线得， 解得或， ∴由图可得，当正比例函数值大于反比例函数值时，； （3）解：， ， 过作于，如图， 则， ， 设， ∴或， 当时，， 当时，， 或． 【变式训练】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】解：将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，， 解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， 令，解得， ∴点B的坐标为， ∵当时，即D为的中点， ∴，， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 题型十二 根据图形面积求比例系数(解析式) 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）如图，已知点A在反比例函数图象上，垂足为点B，轴，若矩形的面积为2，则k的值为（     ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：由题意，矩形的面积为， ∵反比例函数过二，四象限， ∴， ∴. 【变式训练】（25-26八年级下·全国·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且，四边形面积为5，则______． 【答案】3 【分析】连接，设与y轴交于D点，证明四边形是平行四边形，求出，，得到，利用反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：连接，设与y轴交于D点． 且， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形面积为5， ． 点A在反比例函数的图象上， ， ， ． 题型十三 一次函数与反比例函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴，轴于，两点，与反比例函数的图象交于，两点，轴于点，点的坐标为，． (1)求反比例函数与一次函数的表达式； (2)若点在反比例函数图象上，且的面积等于，求点的坐标． (3)当一次函数的值大于反比例函数的值时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点的坐标是或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解； （2）先设点的坐标为，（），再得出，最后根据三角形面积公式即可求解； （3）根据图象求出的解集即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入得，， ， ∴反比例函数的关系式为． ∵点在反比例函数的图象上，轴于点，且， ∴当时，即， 解得，， ∴点的坐标为， 根据题意，将，分别代入得， ， 解得，， ∴一次函数的关系式为． （2）解：根据题意，设点的坐标为，（）， 把代入，解得，即， ． ∵的面积等于， ∴，即， 解得，， ∴当时，； 当时，， ∴点的坐标是或． （3）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且，， 由图象可知，当或时，， 当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围是或． 【变式训练】（25-26八年级下·福建泉州·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可分： 当时，则，所以一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限，故B选项符合题意；A、D选项不符合题意； 当时，则，所以一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，故C选项不符合题意． 题型十四 一次函数与反比例函数的交点问题 【典例精讲】（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则不等式的解集为______． 【答案】或 【分析】找出正比例函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴直线与双曲线的另外一个交点坐标为， 观察图象得：不等式的解集为或． 【变式训练】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数的解析式； (2)作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数解析式为 (2)见解析 【分析】（1）先将A点坐标代入反比例解析式，得到反比例解析式，再将B点坐标代入反比例解析式得到B点坐标，根据A、B点坐标求出一次函数解析式； （2）先求出直线的解析式，对比直线的解析式和直线的解析式，发现k相等，得到两直线平行，即，再结合条件得到，从而证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， 代入得， ， 反比例函数解析式为， 反比例函数的图象过点， ， ， 一次函数经过，，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）轴，轴， ，． 设直线的解析式为， 将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 又直线的表达式为，两直线k相等， ， 轴， ， 四边形是平行四边形． 题型十五 一次函数与反比例函数的实际应用 【典例精讲】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）实验数据显示，一般成人喝毫升某品牌白酒后开始计时，血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． 参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完毫升该品牌白酒，第二天早上最早几点可以上班（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键． 首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，得到求解反比例函数的解析式；把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 直线过， ， ， 直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为， 将点代入得：， ； 当时，， 从晚上经过9小时到第二天早上，即可以上班． 故选B． 【变式训练】（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 题型十六 一次函数与反比例函数的其他综合应用 【典例精讲】（25-26八年级下·全国·期末）如图，P是函数的图象上一点，直线分别交x轴、y轴于点A、B，过点P作轴于点M，交于点E，作轴于点N，交于点F，当时，k的值为________． 【答案】5 【分析】设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点A、B， 令，则，令，则，解得， 则， 设P点坐标为． ∵点E，F分别是直线与，的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∵， ∴， 则，即 ， 解得：， ， ． 【变式训练】（25-26八年级下·重庆万州·期中）已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，交y轴于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点A关于x轴对称的点为，求的面积． (3)请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)24 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求解析式，对称点坐标的特征，函数与不等式，能够熟练掌握函数的基础知识，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据对称点坐标的特征可得，则，根据题意可知点到的距离为8，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据（2）可知，，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ，则 将代入得， ，解得， 则； （2）解：由（1）可知，， ∵点A关于x轴对称的点为， ∴， ∴， 将代入得， ，则， 点到的距离为， ∴； （3）解：由（2）问可知，一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，结合图象可知，此时或． 【真题演练1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，已知点，，C是y轴上位于点B上方的一点，AD平分，BE平分，直线BE交AD于点D．若反比例函数的图像经过点D，则k的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意根据角平分线的性质可知，进而可得，勾股定理求得，进而求得，进而求得点的坐标，即可求得 【详解】如图，过分别作的垂线，垂足分别为，， 平分，平分， , , ， 四边形是正方形 ，， 故选：C． 【真题演练2】（2025·江苏南京·中考真题）下列函数：①；②；③；④，其图象是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查看函数图象，中心对称图形，画出函数的图象，再根据中心对称图形的定义判断即可求解，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】解：函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是中心对称图形，故符合题意； 函数的图象为 是轴对称图形，故不合题意； ∴图象是中心对称图形的是， 故选：． 【真题演练3】（2025·江苏泰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则______________． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解反比例函数图像上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解决本题的关键． 分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，则，设出点的坐标，由平行四边形的性质及已知条件可得，证明四边形是矩形，可得，由是的中位线，可得，根据面积可得，表示出点M的坐标，再由点A在反比例函数的图象上求解即可． 【详解】分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，延长交于点N， 如图所示： ∴，， 设，， ∴点C的坐标是， ∵点M是的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点C的坐标是，点M是的中点， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 【真题演练4】（2025·江苏苏州·中考真题）如图，矩形的顶点A，C分别在第二、四象限，顶点B，D在反比例函数的图像上，且经过原点O．点E在x轴的正半轴上，的中点F也在该反比例函数的图像上，且平分．若的面积为9，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，中点坐标等知识点，进行等积转化是解题的关键． 连接，过点作轴于点，可证明，则，设，求出，再由中点坐标公式可得，将代入，即可求解． 【详解】解：连接，过点作轴于点， ∵四边形是矩形， ∴经过点，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 设， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴，即， 将代入， 则 解得：， 故答案为：6． 【真题演练5】（2025·上海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标是． (1)分别求反比例函数和一次函数的表达式； (2)将一次函数的图象向右平移个单位，平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点，求的值． (3)在（2）的条件下平移后的图像上有一点，平面内存在一个点，使得、、、所组成的四边形为矩形，请直接写出满足条件所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数表达式中即可求解； （2）求出平移后的一次函数表达式，联立反比例函数表达式，得到一元二次方程，根据求解即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，当为对角线时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将点的坐标代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为：． 将点的坐标代入，得 ，解得， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：一次函数向右平移个单位后的表达式为：， 联立， 则， 整理得：， ∵平移后的图象与反比例函数图象在第二象限内只有一个交点， ， 解得或． 当时，，不经过第二象限，舍去． ∴． （3）解：当时，． 联立，解得或， ∴． 如图，点， 则直线的解析式为，， ． 设点， 则直线的解析式为，， ． ． ∴与直线垂直的直线为直线． 当为边时， 过点作的垂线，交直线于点， 由上可得直线的表达式为：， 将点代入，得 ，解得． ∴直线的表达式为：． 联立，解得， ∴点的坐标为：． 过点作的垂线，交直线于点， 同理可得，直线的表达式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为：． 当为对角线时， 则， 设点， ， ， 解得或， ∴点的坐标为：或． 综上所述，点的坐标为：或或或． 【基础夯实】 1．（2026·浙江绍兴·二模）已知点，均在反比例函数的图象上，若，则下列判断一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出和，再化简和，结合的范围判断符号，得到正确结论． 【详解】∵点，均在反比例函数的图象上， ∴，， ∴，， ∵， ∴，，即，， ， ∴C错误，D正确， ， ∵分母，分子在范围内可正可负， 因此可正可负，A，B不一定正确， 综上，答案选D． 2．（2026·内蒙古通辽·二模）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当做功时间t为时，功率P为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出关于的函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为， 代入点得：，解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，． 故选：C． 3．（25-26八年级下·河南周口·阶段检测）一次函数，若随增大而减小，则反比例函数 的图象所在象限为（     ） A．一、三 B．二、四 C．一、二 D．三、四 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性得到反比例函数比例系数的取值范围，再利用反比例函数的图像性质判断象限即可． 【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小 ∴ 本题反比例函数比例系数为，即反比例系数小于零， 根据反比例函数性质，当反比例系数小于零时，函数图象位于第二，四象限． 4．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是_____（填序号） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． 【答案】①② 【分析】根据题意当，可求出x的值，即可得出A点的坐标，即可得出的长度，根据题意可知的长度，即可得出点M的坐标，由一次函数解析式即可算出点C的坐标，即可得出的长度，即可计算出的面积，即可判定①的结论是否正确；根据图象的增减性即可得出②的结论是否正确；由一次函数与反比例函数的交点坐标即可得出③的结论是否正确；由图象可知比较函数的大小即可得出④的结论是否正确． 【详解】解：当时，，解得：， ∴点， ∴， ∵， ∴， ∴点， 把代入中，得， ∴点， ∴， ∴， ∴①的结论正确； 由图象可知，当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大， ∴②的结论正确； 解方程可得：，，有两个解， ∴③的结论错误； 由图象可知，当，， ∴④的结论错误． 所以，正确的结论是①②． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·阶段检测）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______（用“”号连接） 【答案】 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象位置与增减性，再根据各点横坐标比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴，， ∴． 6．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）已知反比例函数的图象上两点，，若，则m的取值范围为________ ． 【答案】 【分析】先根据反比例函数比例系数的符号判断函数在第一象限的增减性，再根据的条件列出关于的不等式组，求解不等式组得到的取值范围． 【详解】反比例函数中，比例系数， 反比例函数图象在第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小， ， ，即 解不等式，得 解不等式 移项得 解得 综上，的取值范围为． 7．（25-26八年级下·全国·期末）如图，与轴平行的直线与反比例函数和的图象分别交于两点，若是轴上任意一点，则的面积为________． 【答案】3 【分析】连接，记直线与轴交于点，根据反比例函数的几何意义得，由直线与轴平行得． 【详解】解：如图，连接，记直线与轴交于点， 根据的几何意义，得， 直线与轴平行， 与同底等高， ． 8．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． (1)求一次函数和反比例的解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）把点代入求出反比例函数的表达式，把点代入反比例函数的表达式求出，把点，分别代入求解即可； （2）设直线与轴的交点为，求出，即，根据三角形面积公式计算即可； （3）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：把点代入得， 反比例函数的表达式为． 把点代入，得， 把点，分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，设直线与轴的交点为， 在中，令，得， ， ， ； （3）解：由图可知，不等式的解集为或． 9．（25-26八年级下·全国·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴相交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)观察图象，求不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得a值，即可得到一次函数解析式，再求出，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象上方部分点的横坐标的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：把代入一次函数中，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 将代入，得， 解得， ， 将代入，得， ； （2）解：由（1）可知，， 观察图象可知，不等式的解集为或． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积； (3)直接写出不等式中x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)或 【分析】（1）把代入求出m的值，再求出点A的坐标，最后运用待系数法求解一次函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，再根据三角形面积公式求解即可； （3）根据交点坐标，结合函数图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过， ∴， ∴， 反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ， ∵一次函数的图象过， ∴， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， ； （3）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴由图象可得，的解集为或． 【培优拔高】 1．（2026·湖南长沙·三模）如图，的顶点分别在反比例函数和上，顶点在轴上，已知点的坐标为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得轴，即得点和点的纵坐标相同，进而可求出点的坐标，最后利用两点间距离公式解答即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，即轴， ∴点和点的纵坐标相同， ∵， ∴点的纵坐标为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 3．（25-26八年级下·河南周口·期中）已知反比例函数与的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点，A是x轴上的任意一点，连结，，若的面积为8，则k的值为    （   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】D 【分析】连接，，根据轴，可得，再根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：连接，， 点N在的图象上，轴， ， 轴，A是x轴上的任意一点，， ， ， 点M在的图象上，轴， ， ，解得， 的图象在第二象限，即， ． 4．（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n，．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，，则____________． 【答案】 【分析】根据题意阴影矩形的一边长都为，将面积为的矩形向左平移到下方，则有：，最后利用计算即可． 【详解】解：等点，它们的横坐标依次为，，，…，n，， 阴影矩形的一边长都为，如图： 由题意得：轴，轴，轴，交于点， 将面积为的矩形向左平移到下方， ∴， 当时，，即， ， 根据反比例函数值的几何意义得：， ． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）直线与双曲线交于、两点，则____________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性，得到、两点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图象均关于原点对称， ∴和关于原点对称， ∴，， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． 6．（2026·四川南充·三模）如图，菱形的顶点，在同一双曲线上．若点，则，两点间的距离为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相平分，得与中点相同；借助中点纵坐标列式，求出a； 根据B点坐标，勾股定理算出长度． 【详解】解：连接，． 四边形是菱形， 对角线、互相平分，设交点为，则既是线段的中点，也是线段的中点． ，点，为中点， 点坐标为． ，，是中点， 根据中点坐标公式： ， 解得， ． 由勾股定理： ． 7．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上的点作轴的垂线，垂足为，交一次函数的图象于点，其中点的横坐标为1．若为一次函数的图象上的一点，且，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】根据点在反比例函数的图象上，横坐标为1， 轴，点在一次函数的图象上，可求出点、点坐标，利用即可求出点的横坐标，问题可解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上，横坐标为1， ． 轴，点在一次函数的图象上， ， ． ， ， ， 或， 点的坐标为或． 8．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）如图①，一次函数 与反比例函数 的图象，在第一象限内交、两点，连接、，已知点的坐标为，且．请结合图象解答下列题． (1)反比例函数的关系式为 ，一次函数的关系式为 ； (2)的面积为 ； (3)点是反比例函数图象上点（2，6）右侧一点，点在反比例函数的另一支图象上，平面内是否存在一点，使得四边形为正方形．若存在，求出点的坐标；若不存在请说明理由； (4)直线经过原点，点是点关于直线的对称点，且点在第三象限反比例函数图上，点在直线上，若为直角三角形，则符合条件的点的坐标有 ． 【答案】(1)，； (2)16； (3)存在，； (4)，，，． 【分析】(1)将点代入反比例函数可求，再利用及点在反比例函数图象上求出点坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式． (2)求出直线与轴的交点，利用求解． (3)由正方形可知且，将点绕点旋转得到点，结合点、均在反比例函数上建立方程求解． (4)由轴对称性质可知直线是线段的垂直平分线，又直线过原点，故，据此求出点的坐标．再由在上得，从而为等腰三角形，利用等腰三角形性质与三角形内角和可判定直角顶点只能为，最后用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为． ，且， 设点，则， ， 设，则， ， 解得或， 或（均取正值）， 对应点， 点的坐标为． 一次函数的图象过点和， ， 解得， 一次函数的关系式为． （2）解：设直线与轴交于点， 在中，令，得， ，即， ， ， ， ． （3）解：设点，其中， 四边形为正方形， 且， 点可由点绕点顺时针旋转得到， 点，点， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得（舍去）或， ，． 正方形对角线互相平分， 对角线与的中点重合， 的中点坐标为， ，， 解得，， 存在点，其坐标为． （4）解：点是点关于直线的对称点， 直线是线段的垂直平分线， 直线经过原点， ， ， ， 设，其中， 由勾股定理得， ， 设，则， ， 解得或， 或， 或（均满足）． 当时，，设， 点在直线上， ， 由勾股定理得，， ， ， ， 是等腰三角形， ， 若，则， 此时，与三角形内角和为矛盾， ，， ， 在中，由勾股定理得， ，且， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 当时，，设， 同理，由得， ， 同理，为等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， 解得或， 当时，，， 当时，，． 综上所述，符合条件的点的坐标为，，，． 9．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，直线与双曲线交于两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)求的值并求出点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求周长的最小值； (3)是轴上的点，是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）根据待定系数法即可求，根据对称性即可求点坐标； （2）根据线段比例关系，可得，作关于轴的对称点，利用将军饮马模型即可求出最短距离； （3）设，即可表达出三边的边长，由为直角三角形即可分类讨论，然后利用勾股定理列式求解． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 解得，即, 点在双曲线上， , 直线与双曲线的交点关于原点对称， 点B是点A关于原点的对称点， ； （2）解：设，过点作轴，过点作轴， 则， 作关于轴的对称点，连接交轴于点G，连接 ，即， ， 的纵坐标为， ， 解得，即， ， ， 两点之间线段最短， 最小，即最小． 此时的周长最小， 周长的最小值； （3）解：设， ，， ， ， ， 分三种情况： 当时，，即， ， 此时， 当时，，即， ，， 此时或 当时，，即 ， 此时， 综上所述，或或或． 10．（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离． (1)求的值； (2)过点作轴的垂线，把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ①若时，求“图象”与轴的交点坐标； ②过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点．若，请直接写出的值； ③直接写出点到的最短距离． 【答案】(1) (2)①；②；③ 【分析】（1）设，则代入，得，根据，得到； （2）①先求出，得到一次函数解析式为：，设“图象”与x轴交点为，根据对称性可得关于直线的对称点的坐标为，再根据在反比例函数求解即可； ②先求出，，由对称性可得当时，“图象”解析式为，即，即可得到，，再根据列方程求解即可； ③根据，，的解析式为，得到点到的距离为，即可求出点到的最短距离为． 【详解】（1）解：设， ∵、两点均在反比例函数上，且点到轴的距离等于点到轴的距离， ∴， 将，代入，得 ， 得， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，， ∴， 将代入，得， 解得：， ∴一次函数解析式为：， 设“图象”与x轴交点为， ∵过点A作y轴的垂线l， ∴直线l为， ∴关于直线的对称点的坐标为， ∴在反比例函数上， ∴， 解得：， 故“图象”与轴的交点坐标为； ②∵一次函数与反比例函数交于、两点，点的横坐标为，点到轴的距离等于点到轴的距离， ∴，， ∵过点作轴的垂线， ∴的解析式为， ∴任意一点关于的对称点坐标为， ∵把直线上方反比例函数的图象沿着直线翻折，其它部分保持不变，所形成的新图象称为“图象”（不包含直线）． ∴当时，“图象”解析式为，即， ∵过点作轴的垂线，与轴，“图象”分别交于两点， ∴，，解得， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴； ③∵，， ∴的解析式为， ∴点到的距离为， ∴当时，点到的最短距离为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $