精品解析：河南省漯河市郾城区第二初级实验中学2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025－2026学年度下期期末教学质量监测 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 非遗艺人裁剪桑皮纸条拼接三角形装饰挂件，下面每组三根桑皮纸条的长度，不能拼成直角三角形挂件的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D. 7，24，25 3. 如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 6. 古代的木匠师傅为了确保自己做好的门是矩形，不仅要测量两组对边的长度是否相等，还会拉一根绳子判断两组对角之间的距离（对角线）是否相等，这样做的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 直线经过第一、二、三象限 B. 与x轴交点 C. 与y轴交点 D. y随x的增大而减小 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 9. 某校组织团体操比赛，有甲、乙、丙、丁四支队伍参赛，将各队队员的身高进行整理，并用箱线图表示（如图所示），则下列说法错误的是（ ） A. 身高最高的队员在甲队 B. 身高最低的队员在丁队 C. 乙队队员们的身高最为整齐 D. 丙队以下的队员人数大于以上 的队员人数 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 12. 某校举办了以“强国有我，青春有为”为主题的演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“举止形态”占，“综合表现”占进行计算，小东这四项的得分依次为88，89，92，90，则他的最后得分是___________分． 13. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点与原点重合，点，分别在轴、轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形，若，，则点的坐标为___________ 14. 已知直线和交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________. 15. 在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 19. 人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． （3）若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 20. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为________； （2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号） 21. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点E是对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点P，连接、，． （1）求证：． （2）若，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若四边形是正方形，，则的长为 22. 河南是我国陶瓷的一个重要发源地，汝瓷与钧瓷被誉为中华陶瓷艺术的瑰宝．某工艺品店有汝瓷、钧瓷两类艺术摆件．已知购进2件A类汝瓷摆件和3件B类钧瓷摆件共需465元，购进4件A类汝瓷摆件和1件B类钧瓷摆件共需555元． （1）求A类汝瓷摆件、B类钧瓷摆件每件的进价分别是多少元． （2）若该店计划再次购进A类汝瓷摆件和B类钧瓷摆件共30件，总费用不超过3000元．已知A类汝瓷摆件每件售价为200元，B类钧瓷摆件每件售价为120元，如何设计购进方案才能使这些瓷器全部售出后获得的利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图①，在正方形 中，E，F，G分别是射线，，上的点，连接，已知． 【数学思考】 （1）如图①，当点E，F，G分别在线段，，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 【猜想证明】 （2）如图②，当点E，F，G分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，当时，请直接写出线段的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下期期末教学质量监测 八年级 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C. ，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D. ，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 非遗艺人裁剪桑皮纸条拼接三角形装饰挂件，下面每组三根桑皮纸条的长度，不能拼成直角三角形挂件的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 3，4，5 D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路是验证每组三根纸条长度中，两短边的平方和是否等于最长边的平方，若不相等则不能拼成直角三角形． 【详解】解：选项A：，不满足勾股定理的逆定理，∴ A不能拼成直角三角形； 选项B：，能拼成直角三角形； 选项C：，能拼成直角三角形； 选项D：，能拼成直角三角形． 3. 如图，是中国邮政与西班牙邮政联合发行的平行四边形邮票，若其中一个锐角约为，则其一个钝角的度数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的邻角互补这一性质，用减去已知的锐角度数即可求得钝角的度数． 【详解】解： 该图形为平行四边形，  其中一个锐角约为，   其一个钝角的度数约为． 4. 下列图象中，y不是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对函数图象的识别，熟知函数的定义是解题关键． 根据函数的定义即可判断． 【详解】解：根据函数定义，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数，可知选项C中的值不具备唯一性，所以y不是x的函数，符合题意． 故选：C． 5. 下列计算中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A，与不是同类二次根式，无法合并，A错误； 对于选项B，，B错误； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，，D正确． 6. 古代的木匠师傅为了确保自己做好的门是矩形，不仅要测量两组对边的长度是否相等，还会拉一根绳子判断两组对角之间的距离（对角线）是否相等，这样做的依据是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理，先由两组对边分别相等判定四边形为平行四边形，再由对角线相等判定该平行四边形为矩形． 【详解】 木匠师傅测量了两组对边的长度相等，  该四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）， 又  测量了对角线长度相等，  该平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 7. 直线向下平移2个单位后的解析式为，下列说法正确的是（ ） A. 直线经过第一、二、三象限 B. 与x轴交点 C. 与y轴交点 D. y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平移规则得到平移后的直线解析式，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵将直线向下平移个单位， ∴平移后直线解析式为，即，， A、∵，，∴直线经过第一、三、四象限，故此选项错误，不符合题意； B、当时，，解得，故与轴交于，故此选项错误，不符合题意； C、当时，，∴与轴交于，故此选项正确，符合题意； D、∵，∴随的增大而增大，故此选项错误，不符合题意． 8. 如图是被撕掉一块的正多边形纸片，若直线，则该正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的性质，多边形的外角和定理的应用，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为，证明，结合，可得正多边形的一个外角的大小，从而可得答案． 【详解】解：如图，记正多边形的顶点为：，，直线，的交点为， ∵正多边形的每一个内角都相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该正多边形正八边形． 故选：C 9. 某校组织团体操比赛，有甲、乙、丙、丁四支队伍参赛，将各队队员的身高进行整理，并用箱线图表示（如图所示），则下列说法错误的是（ ） A. 身高最高的队员在甲队 B. 身高最低的队员在丁队 C. 乙队队员们的身高最为整齐 D. 丙队以下的队员人数大于以上 的队员人数 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数的定义结合箱线图逐一分析判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，身高最高的队员在甲队，原说法正确，故选项不符合题意； B、由箱线图可知，身高最低的队员在丁队，原说法正确，故选项不符合题意； C、由箱线图可知，乙队的身高范围较为集中，故乙队队员们的身高最为整齐，原说法正确，故选项不符合题意； D、由箱线图可知，丙队队员身高的中位数是，故丙队以下的队员人数等于以上的队员人数，原说法错误，故选项符合题意． 10. 研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ） A. 运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同 B. 剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为 C. 剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳 D. 剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可． 【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误； B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误； C、由图象知，剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误； D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列出不等式求解． 【详解】解：由题意知，， 解得． 12. 某校举办了以“强国有我，青春有为”为主题的演讲比赛．演讲得分按“演讲内容”占，“语言表达”占，“举止形态”占，“综合表现”占进行计算，小东这四项的得分依次为88，89，92，90，则他的最后得分是___________分． 【答案】89 【解析】 【分析】根据各项得分与对应权重，利用加权平均数公式计算即可得到最终得分． 【详解】解：由题意得，（分）， 故他的最后得分是分． 13. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条制作了正方形木框，并置于平面直角坐标系中，其中点与原点重合，点，分别在轴、轴上．张老师利用四边形的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形，若，，则点的坐标为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，坐标与图形．过点作轴，根据题意得：，轴，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴， 根据题意得：，轴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 14. 已知直线和交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组），依据题意，由二元一次方程组的解的定义知，该方程组的解就是组成方程组的两个二元一次方程的图像的交点的横坐标与纵坐标，进而可以得解． 【详解】解：由题意，∵直线和交于点， ∴方程组的解是． 故答案为：． 15. 在折纸活动中，小强将一张矩形纸片（如图1）进行了两次折叠，第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上（如图2）；第二次将沿折叠，点B的对应点为G （ 如图3）．若点G落在的边上，且， 则的长为___________． 【答案】2或 【解析】 【分析】第一次折叠得到，，，第二次折叠得到，，分两种情况：当点E和点G重合时，；当点G落在上时，则于点G，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】解：∵纸片是矩形， ∴，， ∵第一次将沿折叠，使点A的对应点E落在上， ∴，，， ∵第二次将沿折叠，点B的对应点为G， ∴，， 分以下两种情况： 如图，当点E和点G重合时，； 如图，当点G落在上时，则于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的长为2或． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 17. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合，理由见解析 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 18. 如图，点，的坐标分别为，． （1）求直线的函数表达式； （2）若为直线上一动点，的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，正确地求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法求解即可； （）由，则，所以，从而求出，然后分别代入即可求解． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为，把，代入， 得：， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴或． 19. 人工智能是新一轮科技革命重要驱动力量，等模型的发布，给人们的工作生活带来极大的便利．某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，组织七、八年级学生参加了人工智能科普测试．现从七、八两个年级各抽取10人记录下他们的测试得分并进行整理和分析（积分用表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 七年级10人的得分：49，56，68，71，83，83，83，90，90，95； 八年级10人的得分在B组中的分数为：83，84，87，84； 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 八 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级在此次测试中表现更好，请说明理由（一条理由即可）． （3）若七年级有400人参与，八年级有480人参与，估计两个年级得分在A组共有_____人． 【答案】（1），， （2）八年级表现更好，理由：两个年级测试得分的平均数相同，八年级的方差更小，说明八年级成绩更稳定，因此表现更好（或：平均数相同，八年级中位数更大，整体成绩水平更高，合理即可） （3）216 【解析】 【分析】（1）统计七年级得分中出现次数最多的数值即可得到a．中位数是排序后第5和第6个数据的平均数，先根据各组占比确定八年级10个数据的分组人数，再将数据从小到大排序，找到第5、6个数据求平均得到b．先计算B组的百分比，再用1减去C、D、B组的百分比即可得到m． （2）判断哪个年级表现更好：选择平均数、中位数、众数、方差中的一个统计量，对比两个年级的对应数值，给出合理理由即可． （3）分别计算七年级、八年级样本中A组的占比，再乘对应年级总人数，求和即可． 【小问1详解】 解：七年级得分中，出现次数最多（3次）， ∴； 八年级10人从小到大排序，D组人、C组人，B组4人， ∴第5、6个数据都在B组， B组从小到大排序为， ∴中位数． 八年级共抽取10人，B组有4人，占比， ∴，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计两个年级得分在A组共有人． 20. 有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如图是x与y的几组对应值． x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 m 0 1 2 3 4 … m的值为________； （2）在如图的坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为0； ②当时，y随x的增大而增大； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称． 小明得出的结论中正确的是___________．（只填序号） 【答案】（1）1；（2）见解析；（3）①②③ 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式可以得到m的值； （2）根据表格中的数据可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】解： （1）当x=-2时，m=|-2+1|=1， 故答案为1； （2）画出函数的图象如图： （3）由函数图象可知，①函数有最小值为0，正确； ②当x＞-1时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点（-1，0）且垂直于x轴的直线对称，正确；． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点E是对角线上一点，点F在的延长线上，且，与交于点P，连接、，． （1）求证：． （2）若，点P恰好是的中点． ①求证：四边形是矩形； ②若四边形是正方形，，则的长为 【答案】（1）在平行四边形中，， ， 是△的中位线， ； （2）①在平行四边形中， ， ， ， ， ，， 点恰好是的中点， ， △△， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； ② 【解析】 【分析】（1）证明是△的中位线，即可得出结论； （2）①证明△△得出，证明四边形是平行四边形，再根据证明结论；②通过正方形的基本性质得到的长，然后根据中位线性质得到，进而得到，再利用勾股定理即可计算出的长度，进而可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②在平行四边形中，， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 是△的中位线，， ， 平行四边形， ，， ， 在直角三角形中，． 22. 河南是我国陶瓷的一个重要发源地，汝瓷与钧瓷被誉为中华陶瓷艺术的瑰宝．某工艺品店有汝瓷、钧瓷两类艺术摆件．已知购进2件A类汝瓷摆件和3件B类钧瓷摆件共需465元，购进4件A类汝瓷摆件和1件B类钧瓷摆件共需555元． （1）求A类汝瓷摆件、B类钧瓷摆件每件的进价分别是多少元． （2）若该店计划再次购进A类汝瓷摆件和B类钧瓷摆件共30件，总费用不超过3000元．已知A类汝瓷摆件每件售价为200元，B类钧瓷摆件每件售价为120元，如何设计购进方案才能使这些瓷器全部售出后获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A类汝瓷摆件每件的进价是120元，B类钧瓷摆件每件的进价是75元 （2）方案：购进A类汝瓷摆件16件、B类钧瓷摆件14件，最大利润是1910元 【解析】 【分析】（1）设A类汝瓷摆件每件的进价是元，B类钧瓷摆件每件的进价是元，然后根据“购进2件A类汝瓷摆件和3件B类钧瓷摆件共需465元，购进4件A类汝瓷摆件和1件B类钧瓷摆件共需555”列出方程组，即可解答； （2）设购进A类汝瓷摆件件，则购进B类钧瓷摆件件，利润为，列出关于的一次函数，然后根据总费用不超过3000元，求得的取值范围，结合一次函数的性质即可求得最大利润． 【小问1详解】 解：设A类汝瓷摆件每件的进价是元，B类钧瓷摆件每件的进价是元， 依题意得， 解得， 答：A类汝瓷摆件每件的进价是120元，B类钧瓷摆件每件的进价是75元． 【小问2详解】 解：设购进A类汝瓷摆件件，则购进B类钧瓷摆件件，利润为， 依题意得， ∵， ∴随的增大而增大； 又∵总费用不超过3000元， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A类汝瓷摆件16件、B类钧瓷摆件14件全部售出后获得的利润最大，最大利润是1910元． 23. 如图①，在正方形 中，E，F，G分别是射线，，上的点，连接，已知． 【数学思考】 （1）如图①，当点E，F，G分别在线段，，上时，线段与的数量关系为 ，位置关系为 ； 【猜想证明】 （2）如图②，当点E，F，G分别在线段，，的延长线上时，（1）中的结论是否依然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若，当时，请直接写出线段的长度. 【答案】（1），； （2），，依然成立，证明见解析； （3）2或18． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设交于点，证明，可得，，进而证明，即可； （2）过点作于点，延长交于点，根据（1）的方法进行证明即可求解； （3）根据（1）（2）的结论，结合图形分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图①所示，过点作于点，设交于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ； ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ， 故答案为：；； （2），，依然成立，证明如下： 如图②所示，过点作于点，延长交于点， ， ，， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 又， ， ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ； （3）如图③，当点，，分别在线段，，上时，同（1）可得， ， ，， ， ， ； 如图④，当点，，分别在线段，，的延长线上时，由（2）可得， ，， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $