第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测，全国通用人教A版）数学初升高衔接

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次函数、方程和不等式，以初升高衔接为目标，融合亚运会民宿、物流费用等现实情境，通过基础巩固与综合应用梯度设计，落实数学眼光、思维与语言核心素养，适配单元知识检测与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|含不等式实际应用（行程问题）、基本不等式最值（物流费用）、二次函数图像与不等式解集|情境时代性，如第3题物流公司费用问题，培养数学眼光（几何直观）| |多项选择题|3/18|不等式性质（第9题）、含参数不等式解集讨论（第10题）|注重推理能力，体现数学思维的严谨性| |填空题|3/15|民宿采光不等式应用（第12题）、假命题反例（第13题）、含参数不等式求解（第14题）|结合社会热点，如亚运会民宿改造，培养模型意识（数学语言）| |解答题|5/77|命题真假与参数范围（第15题）、利润函数最值（第16题）、基本不等式与几何应用（第18题）|层次性强，第18题结合直角三角形考查最值，落实综合应用能力|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】实数满足， ，，A项错误； ，但是正负不确定，B项错误； ，但是正负不确定，C项错误； ，所以，D项正确. 3．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【详解】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 5．命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式等价于，解得. 找充分不必要条件，即找集合的真子集，仅 C选项是原解集真子集. 6．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 7．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 8．我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】设（），则： ， ， . 结合前两式，得，又 ，所以，即，故. 当时，，，此时，等号成立. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 10．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】当时，原不等式可化为，即，所以， 所以此时不等式的解集为，A正确. 当时，的两根为，. 当时，，此时不等式的解集为，B正确； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为，D正确. 故选：ABD. 11．已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 【答案】 【详解】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 13．能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 【答案】 【详解】由不等式的性质，若，则， 故可通过构造一正一负，和两个同为负的反例即可， 比如：或者. 故答案为：①；②（不唯一）. 14．甲、乙分别解关于的不等式，甲抄错了常数，得到解集为；乙抄错了常数，得到解集为，如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式的解集应该为__________________. 【答案】 【详解】由甲的解集可知，甲认为和是方程的两根， 由抄错，而正确，则，即； 由乙的解集可知，乙认为和是方程的两根， 由抄错，而正确，则，即； 故原不等式应为，解得. 则原不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）若命题，为真命题，则，即. 所以若为假命题，则. 若命题，为真命题， 则，即. 若为假命题，则， 综上，命题和命题都是假命题，a的取值范围为； （2）由（1）可知命题和命题都是假命题，a的取值范围为， 故命题和命题至少有一个为真命题，a的取值范围为． 16．（15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 【答案】(1)， (2)当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元 【分析】 【详解】（1）由题意，列出函数关系式可得， ， 又因为， 所以； （2）由（1）知. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以当时，该公司在本季度增加的利润最大，最大为7.5万元. 17．（15分）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】 【详解】①， 因为， 所以， 即； . ②， . ③方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. . 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 18．（17分）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1)7 (2)（ⅰ）1；（ⅱ） 【分析】 【详解】（1）由题，于是， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为7． （2）（ⅰ）注意到，即，当且仅当时，等号成立， 而直角三角形面积，得直角三角形面积最大值为1． （ⅱ） ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为． 19．（17分）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 2．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 4．若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．命题“ ”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 7．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 8．我们把中的最大值记为，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9．已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 10．设为实数，则关于的不等式的解集可能是（    ） A． B．或 C．或 D． 11．已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 第二部分（选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势.民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好.现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为___________平方米. 13．能说明命题：“若，则”是假命题的一组的取值为___________，___________． 14．甲、乙分别解关于的不等式，甲抄错了常数，得到解集为；乙抄错了常数，得到解集为，如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式的解集应该为__________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知命题，，命题，． (1)若命题和命题都是假命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 16．（15分）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上多投入x（）万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产p吨该材料还需要投入其他成本万元. (1)求出该公司本季度增加部分的利润y（单位：万元）与x之间的函数关系式； (2)当x为多少时，该公司在本季度增加部分的利润最大?最大为多少万元? 17．（15分）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 18．（17分）已知正数，满足． (1)求的最小值； (2)对于正数，，，有，当且仅当时，等号成立，现有一个直角三角形，其两直角边分别为，，斜边为． （ⅰ）求直角三角形面积的最大值； （ⅱ）求的最小值． 19．（17分）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $