第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 3．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 5．已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 8．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 13．已知实数x满足，则 . 14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 16．（15分） （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 17．（15分） （1）解不等式； （2）解关于的不等式. 18．（17分） 已知，，且，证明： (1)； (2)． 19．（17分） 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次函数、方程和不等式单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A中，例如：，满足，但，所以A不正确； 对于B中，例如：，满足，但，所以B不正确； 对于C中，由， 因为，可得且，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，可得， 所以，所以D不正确. 故选：C. 2．不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解析】不等式化为：，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B 3．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买黄金，店员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg，则与20的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的黄金为克，右盘放的黄金为克， ，解得， ，当且仅当时，取到等号， 由于，所以. 故选：B 4．已知不等式对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因不等式对任意的实数x恒成立，则 ①当时，不等式为，恒成立，符合题意； ②当时，不等式在R上恒成立等价于，解得：. 综上可得：实数k的取值范围为. 故选：C. 5．已知为正实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，根据糖水不等式可得，即充分性成立； 若，则，即且，故，即必要性成立， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 7．已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 8．设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【答案】B 【解析】因为，，， 设，则，所以. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 所以，即，解得（舍）或， 所以，即时成立，故选项A错误，选项B正确； 设，则，所以，则 . 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 所以，即解得或（舍）， 所以，即时等号成立，故选项C错误; 对于选项D：当时，满足，此时，故选项D错误. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 10．已知：，则成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，解得，设：， 成立的一个充分不必要条件为集合，则且， 所以和都是的充分不必要条件. 故选：BD. 11．已知，且，则（    ） A．的最小值是 B．最小值为 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】BC 【解析】对于A，∵，且，∴，即时，等号成立， 即的最大值是，故A不正确； 对于B，∵，∴，， 所以，故B正确； 对于C，∵，且，∴，即 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，∵， 即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误． 故选：BC． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 13．已知实数x满足，则 . 【答案】7 【解析】，故，方程化简得， 由基本不等式可知， 当且仅当时，即时等号成立； 则方程的解为. 故答案为：7. 14．已知，，且，则的最小值是 ；当取得最小值时，的最小值是 ． 【答案】 8 【解析】由，，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值8； 当时，，，当且仅当时取等号， 所以时，取得最小值. 故答案为：8； 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【解析】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 16．（15分） （1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？ （2）若实数，，满足，则称比远离．对任意两个不相等的实数，，证明比远离． 【解析】（1）当时，显然成立，； 当时，不等式对一切实数都成立， ，解得． 综上，的取值范围为． （2）证明：， ， ，， 比远离． 17．（15分） （1）解不等式； （2）解关于的不等式. 【解析】（1）不等式，可化为， 即，即，解得或， 所以不等式组的解集为或. （2）①当时，原不等式化为，解集为； ②当时，原不等式化为，解集为； ③当时，原不等式化为； 当时，，原不等式的解集为空集； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为. 18．（17分） 已知，，且，证明： (1)； (2)． 【解析】（1）， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 19．（17分） 问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，求证：； (3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值. 【解析】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$