2.3 二次根式 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕二次根式展开，涵盖定义、有意义条件、双重非负性、乘除及加减混合运算等核心知识点。课堂通过复习平方根、算术平方根旧知，结合正方形边长、自由落体时间等实际问题情境导入，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于注重数学思维与应用意识，通过典例精析（如利用非负数和为零求参数）、变式练习及实际问题（如梯形面积计算），培养学生运算能力与推理意识。采用先化简后代入等方法总结，帮助学生形成有条理的思维，既提升学生解决问题能力，也为教师提供系统教学资源。

3 二次根式 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第1课时 二次根式的乘除运算 学习目标 1.了解二次根式的定义。（重点） 2.运用二次根式有意义的条件解决相关问题。（难点） 3.会用二次根式的乘除法则进行简单地运算。（重点） 复习引入 问题1 什么叫作平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 问题2 什么叫作算术平方根? 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.用 表示. 问题3 什么数有算术平方根? 我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ （1）一张海报为正方形，若面积为2m2,则边长为_____m；若面积为S m2，则边长为_____m． （2）一张海报为长方形，若它的长是宽的2倍，面积为6m2，则它的宽为_____m． （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t为_____． 知识讲解 知识点1 二次根式的概念及有意义的条件 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示2，S，3， 的算术平方根。 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ①根指数都为2; ②被开方数为非负数。 问题2 这些式子有什么共同特征？ 归纳总结 一般地，形如（a≥0）的式子叫作二次根式，a叫作被开方数。“”称为二次根号。 两个必备特征 ①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0 注意：a可以是数，也可以是式。 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否含二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当x是怎样的实数时, 在实数范围内有 意义? 解：由x-2≥0，得 x≥2. 当x≥2时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1. 解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3. ∵分母不能等于零， ∴x-1≠0，∴x≠1. ∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零. 归纳 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） （2） 导引： 要使二次根式有意义，则被开方数是非负数． 解：(1) 欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x －5≠0，所以x≥3且 x≠5. (2) 欲使 有意义，则必有x－2≥0且5 －x≥0，所以2≤x≤5. 【变式题2】 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分式的分母如 有意义的条件： A＞0； (4)二次根式与分式的和如 有意义的条件： A≥0且B≠0. 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的个数有 （ ） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 范围是_______; (2)若式子 在实数范围内有意义，则x的 取值范围是___________. x ≥1 x ≥0且x≠2 练一练 知识点2 二次根式的双重非负性 问题1 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者x为全体实数；后者x为正数和0. 当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 ＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 =0.这就是说，当a≥0时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥0. 二次根式的被开方数非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 例3 若 ，求a -b+c的值. 解： 由题意可知a-5=0,b-2=0,c-1=0, 解得a=5,b=2,c=1. 所以a-b+c=5-2+1=4. 多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为0.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式. 归纳 典例精析 例4 已知y= ,求3x+2y的算术平方根. 解：由题意得 ∴x=3，∴y=8， ∴3x+2y=25. ∵25的算术平方根为5， ∴3x+2y的算术平方根为5． 【变式题】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴a=3， ∴b=4. 当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10； 当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11． 若 ，则根据被开方数大于等于0，可得a=0. 归纳 已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根． 解：由题意得3x-y-1=0且2x+y-4=0． 解得x=1，y=2． ∴x+4y=1+2×4=9， ∴x+4y的平方根为±3. 练一练 知识点3 二次根式的乘除运算 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 填一填 有何发现？ ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ 要点归纳 （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）。 二次根式的乘法法则和除法法则 典例精析 例1：计算: 例2：计算: 解: (3)只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 . 归纳 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 二次根式的乘法法则的推广： 归纳总结 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即 例3 计算：（1）；（2）；（3）÷。 导引：紧扣二次根式除法法则进行计算。 解： 的运算方法： 1. 当a 是b 的倍数或a，b 为分数时，常先利用 计算； 2. 当 ， 中的被开方数含有完全平方的因数（式） 时，常 先将完全平方的因数（式）“开方”出来， 再进行除法运算； 3. 当根号前含有系数时，根号前的系数与系数对应相除，根号 内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘。 归纳总结 随 堂 小 测 2.式子 有意义的条件是 （ ） A.x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2 3.若 是整数，则自然数n的值有 （ ） A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 4.在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （ ）＝10； （ ）＝ 4； 5.当________时， 在实数范围内有意义． 解析：要使在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得. 方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． x≥－3且x≠－1 6.(1)若二次根式 有意义，求m的取值范围。 解：由题意得m-2≥0且m2-m-2≠0， 解得m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2。 (2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围。 解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0。 ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9。 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 二次根式的乘除法则 3 二次根式 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第2课时 二次根式的化简及加减运算 学习目标 1.会用二次根式的乘除法则进行简单地化简。（重点） 2.了解最简二次根式的定义。（重点） 3.灵活运用二次根式的乘法公式。（难点） 新课引入 1.什么叫二次根式？ 回顾旧知 式子 (a≥0)叫作二次根式. 2.两个基本性质： （a≥0，b≥0） ， （a≥0， b＞0）。 二次根式的乘法法则和除法法则 知识讲解 知识点1 二次根式的化简及最简二次根式 二次根式的乘法法则和除法法则 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 等号的左边与右边交换，得到 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 例1：化简： 解：(1) (2) (3) （1） ；（2） ；（3） 。 最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作最简二次根式。 要点归纳 化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式。 例2：化简： 解: 例3. 化简: 解：① ② ③ 知识点2 被开方数相同的最简二次根式 知识点 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 可合并的二次根式的条件： （1）最简二次根式； （2）被开方数相同。 要点精析： （1） 可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无关； （2）“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外 读物上都称为“同类二次式”。 例4 若最简根式 与 可以合并，求 的值。 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为2，列关于待定字母的方程求解即可。 归纳 练一练 1.下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则m=_____。 1 3.下列二次根式，不能与 合并的是________(填 序号）。 ②⑤ 知识点3 二次根式的加减运算 （2）x2+2x2+4y= 。 1.（1）3x2+2x2= ; 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 解： 3. 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并。 5x2 3x2+4y 合作探究 解：(1)原式= 例5：计算: (2)原式= (3)原式= (4)原式= 解：(5)原式= (6)原式= 归纳总结 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 要点提醒 1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”。 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并。 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题． 解：(1)原式= 例6：计算: (2)原式= (3)原式= 随 堂 小 测 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. B 解： (1)原式= 2.计算: (2)原式= (3)原式 3.已知x+y=－4，xy=2.求 的值. 解： 原式= 把 x+y=-4,xy=2 代入上式，得原式= 解： 4.计算: 解： 二次根式的运算 乘除法则 加减法则 乘除公式 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握二次根式的混合运算的运算法则。（重点） 2.会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算。（难点） 复习导入 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb (ma+mb+mc)÷m=a+b+c 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则法则分别是什么? m(a+b+c)=ma+mb+mc； 分配律 单项式×多项式 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单项式×单项式 知识讲解 知识点1 二次根式的混合运算及应用 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例1 计算： 解： 在进行二次根式的混合运算时,应注意以下几点: (1)二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样,先算乘方,后算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的。 (2)在运算过程中,每个二次根式都可以看作一个“单项式”,多个不同的二次根式可以看作“多项式”,因此有理数中的运算律(交换律、结合律、分配律等)和乘法公式(平方差公式、完全平方公式)在二次根式的运算中仍然适用。 (3)二次根式的混合运算的结果应写成最简形式,这个形式应该是最简二次根式,或几个非同类二次根式的和或差,或有理式。 做一做 如图所示,方格纸中每个小方格的边长均为1,试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法?与同伴进行交流. 方法1：分割法 可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. S梯形ABCD=S1+S2+S3 方法2：补图法 通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示. S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2 方法3：直接法 过点D作AB边的高DE，如图所示. S梯形ABCD 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行。 总结归纳 随 堂 小 测 解：(1)原式 (2)原式 1.计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数。 D D C 知识讲解 知识点2 二次根式的化简求值 把a=3，b=2代入代数式中， 先化简后代入 问题：化简）× ，其中a=3，b=2。你是怎么做的？ 解法一： 把a=3，b=2代入代数式中， 原式= 解法二： 原式= 先代入后化简 哪种简便？ 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦， 要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得。 方法总结 例2：已知，b=，求 分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解. 解： 随 堂 小 测 6.已知 试求x2+2xy+y2的值. 解： x2+2xy+y2=（x+y)2 把 代入上式得 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求代数式 (a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 2.【南通】下列运算，结果正确的是(　　) A.－＝ B．3＋＝3 C.÷＝3 D.×＝2 3.【泰州】下列等式成立的是(　　) A．3＋4＝7 B.×＝ C.÷＝2 D.＝3 4.【益阳】观察下列等式： ①3－2＝(－1)2； ②5－2＝(－)2； ③7－2＝(－)2； … 根据以上规律，写出第6个等式：___________________________． 13－2＝(－)2 【点拨】第n个等式左边的第1个数为2n＋1，根号下的数为n(n＋1)，右边的式子为(－)2(n≥1且n为整数)． 5.【荆州】若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是(　　) A.＋1 B.－1 C．2 D．1－ 【点拨】A.(＋1)－(＋1)＝0，故本选项不合题意； B．(＋1)×(－1)＝2，故本选项不合题意； C．(＋1)与2无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； D．(＋1)×(1－)＝－2，故本选项不合题意． 7.已知a＝，b＝，求的值。 解：由已知得a＝＋2，b＝－2， 所以a＋b＝2，ab＝1. 所以原式＝＝＝5. 8.已知x＝－，y＝＋，求x3y＋xy3的值。 解：因为x＝－，y＝＋， 所以xy＝(－)(＋)＝1， x＋y＝－＋＋＝2. 所以x3y＋xy3＝xy(x2＋y2)＝xy[(x＋y)2－2xy]＝1×[(2)2－2×1]＝10. $