2.2 平方根与立方根 课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件围绕平方根与立方根展开，涵盖算术平方根、平方根、立方根的概念性质及运算，估算与计算器开方等内容。通过正方形面积、体积等实际问题导入，联系平方运算旧知，以问题链搭建学习支架，逐步过渡到新知。 其亮点在于以情境导入培养数学眼光，通过对比辨析（如平方根与立方根的联系区别）发展数学思维，结合公园宽度估算等实际问题强化数学语言。例题与小测注重运算能力和应用意识，帮助学生形成知识体系，教师可直接使用提升教学效率。

2 平方根与立方根 第1课时 算数平方根 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根和平方根。（重点） 2.了解平方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。（难点） 情境导入 学校要举行绘画比赛，小宇很高兴，他想裁出一块面积为9m2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？你能帮小明算一算吗？ 3 m 因为 32=9， 所以正方形画布的边长是3m。 知识讲解 知识点 算数平方根的概念 填一填 已知正方形的面积，求出其边长： 正方形的面积 1 9 16 36 0.25 边长 1 3 4 6 0.5 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根，记作 ，读作“根号a”。特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 =0。 中的a是一个非负数,a的算术平方根（ ）也是一个非负数,这也是算术平方根的性质——双重非负性。 例1 求下列各数的算术平方根. （提示：要求一个数的算术平方根，一般的方法是先按平方的概念来找哪个数的平方等于这个数.） 解:(1)因为 302=900,所以900的算术平方根是30,即=30. (2)因为 12=1,所以1的算术平方根是1,即=1. (3)因为 =，所以的算术平方根是 ，即 =. (4)14的算术平方根是 . 随 堂 小 测 1. A 2.下列说法正确的是(　　) A．因为62＝36，所以6是36的算术平方根 B．因为(－6)2＝36，所以－6是36的算术平方根 C．因为(±6)2＝36，所以6和－6都是36的算术平方根 D．以上说法都不对 A 3.【桂林】若＝0，则x的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C 4.下列说法：①－4的算术平方根是－2； ② 3的算术平方根是9； ③ 是7的算术平方根； ④ 64的算术平方根是8. 其中错误的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 算术平方根有如下性质: (1)一个正数a有一个算术平方根,就是 (2)0有一个算术平方根,就是0. (3)负数没有算术平方根. (4)只要有意义,就表示一个非负数,即≥0. (5)中的a是一个非负数,即a≥0. 知识拓展 随 堂 小 测 5. 【武汉】若式子有意义，则x的取值范围是(　　)A．x≥0 B．x≤2C．x≥－2 D．x≥2 D 6. (1)中，被开方数a是__ _，即a________0； (2)是__________，即________0，即非负数的算术平方根是__________； (3)负数没有算术平方根，即当a________0时，无意义． 非负数 ≥ 非负数 ≥ 非负数 ＜ 7. 下列说法中不正确的有(　　)①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10，记作＝10；③(3.14－π)2的算术平方根是3.14－π；④a2的算术平方根为a；⑤算术平方根不可能是负数．A．2个 B．3个C．4个 D．5个 B 1.算术平方根的概念,式子中的双重非负性:一是a≥0,二是≥0。 2.算术平方根的性质:一个正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;负数没有算术平方根。 3.求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算,利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根。 课堂小结 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.了解平方根的概念，会表示一个数的平方根。（重点） 2.了解平方和开方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根。（难点） 复习引入 1.什么叫算术平方根？ 一般地，如果一个正数x的平方等于 a ，即=a，那么这个正数x就叫作 a 的算术平方根,记作 。 2.我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？ 加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算. 加法与减法互逆；乘法与除法互逆. 思考：乘方有没有逆运算？ 情境导入 前面我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是9,也就是说,平方为9的数有两个:3和-3。一个正数a的算术平方根有一个,通过进一步的思考知道平方为a的数有两个,另外一个我们也不能把它给丢了,今天再学习一个平方根的概念。 新知构建 （1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9.还有其他的数，它的平方也是9吗？（2）平方等于 的数有几个？平方等于0.64的数呢？ 知识讲解 知识点1 平方根的概念及性质 填一填 （1）3的平方等于9，那么9的算术平方根就是_____。 （2） 的平方等于 ，那么的算术平方根就是____。 （3）展厅地面为正方形，其面积49 m2，则边长为___m。 3 7 问题：平方等于9 ，49的数还有吗？ 平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那么这个数x就叫作a的平方根，也叫作二次方根。 平方根的表示方法、读法 根号 被开方数 （a是非负数） 读作：正、负根号a 举例：3和-3的平方都是9，即9的平方根有两个3和-3；9的算术平方根 只有一个，是3。 平方根的性质：一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身; 负数没有平方根。 特别提醒 平方根的定义中a是非负数，即a≥0；其中正的平方根就是它的算术平方根。 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫作幂，而开平方的结果叫作平方根。 例1 49的平方根为(　　) A．7　　　 B．－7　　 C．±7　　 D．± 导引：因为(±7)2＝49，所以49的平方根为±7。 随 堂 小 测 1. 7的平方根是________。 2. 2 3.【昆明三中月考】某正数的两个不同的平方根是2a－1与－a＋2，则这个数是(　　) A．1 B ．3 C．-3 D．9 D 4.【中考·南京】若方程(x－5)2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是(　　) A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根 C．a－5是19的算术平方根 D．b＋5是19的平方根 C 3 例2 一个正数的平方根是2a－1和a－5， 则这个正数是多少？ 解： 根据题意，得（2a－1）＋(5－a)＝0. 解得a＝2,所以这个正数为（2a－1）2 ＝（2×2－1）2＝9。 随 堂 小 测 1. 若一个数的平方等于5，则这个数等于________． 2. D 3. C 归纳总结 平方根与算术平方根的联系与区别： 联系： 1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种. 2.只有非负数才有平方根和算术平方根. 3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别： 1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根. 2.表示法不同：平方根带±号. 知识讲解 知识点2 开平方及相关运算 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 x2 x 平方运算 这是什么运算？ 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数。 可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根。 平方与开平方有什么关系？ 开平方的定义： 例3 求下列各数的平方根: (1)64 ； (2) (4) (5) 11. (3)0.0004； 解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8; （2）∵ ，∴ 的平方根为 ; （3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02; （4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25; （5）11的平方根是 . 课堂小结 运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数. 平方根 平方根的概念 开平方及相关运算 平方根的性质 ＝a (a ≥0). 2 平方根与立方根 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第3课时 立方根 学习目标 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。（重点） 2.了解开立方与立方互为逆运算，能用立方根运算求某些数的立方根。（难点） 情境导入 （1）面积为2的正方形的边长为多少? （2）体积为2 的正方体的棱长是多少? 请同学们回忆求解a2=2时的情境，那么a3=2呢? 回顾旧知 16的平方根是______，算术平方根是_________。 －16的平方根是____________。 0的平方根是________。 一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数； 零的平方根是零，负数没有平方根。 ±4 4 没有平方根 0 知识讲解 知识点1 立方根 问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图）， 它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 思考： （1）3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是27? （2）-3的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是-27? 什么才是一个数a的立方根呢？ 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫作a的立方根（也叫作三次 方根）。 表示方法： 一个数a的立方根，用符号“ ”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数。 特别提醒 立方根与平方根的区别: 1. 被开方数：前者可为任何数，后者为非负数。 2. 根指数：前者不能省略，后者可省略不写。 3. 个数：立方根只有一个，平方根有两个（特殊情况0 的平方根是0）。 知识讲解 知识点2 立方根的性质 思考： （1）正数有几个立方根？ （2）负数有几个立方根？ （3）0有几个立方根？ 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 性质： （1）正数的立方根是正数； （2）负数的立方根是负数； （3） 0的立方根是0； 立方根是它本身的数只有0和±1。 例1 求下列各式的值： (1) ； （2） ；　　(3)； （4） 解： （1）=-2； （2） =-0.4； （3） =； （4）=9。 知识拓展 平方根与立方根的区别与联系 区别: （1）在用根号表示平方根时,根指数2可以省略,而用根号表示立方根时,根指数3不能省略; （2）平方根只有非负数才有,而立方根任何数都有,并且每个数都只有一个立方根; （3）正数的平方根有两个,而正数的立方根只有一个。 联系: （1）开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算; （2）都可归结为非负数的非负方根来研究,平方根主要通过算术平方根来研究,而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究; （3）0的平方根和立方根都是0。 随 堂 小 测 1.8的立方根为(　　) A．2 B．±2 C．2 D．±2 C 2.面积为4的正方形的边长是(　　) A．4的平方根 B．4的算术平方根 C．4开平方的结果 D．4的立方根 B 3.有下列四个说法： ①1的算术平方根是1； ②的立方根是±； ③－27没有立方根； ④互为相反数的两数的立方根互为相反数． 其中正确的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．②④ C 4.已知一个正数的两个平方根分别为3a－1和－5－a，则这个正数的立方根是(　　) A．－2 B．2 C．3 D．4 D 5.阅读下面的文字，解答问题： 我们知道a＋b＝0时，a3＋b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们试着得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． (1)上面的结论是否成立？ 解：成立． 解：因为与互为相反数， 所以+=0，解得x=4. 所以1-=1-=1-2=-1. 【点拨】本题利用了算术平方根、立方根的意义建立方程，求出字母的值，进而求出2a－3b的立方根，体现了方程思想的应用． 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 2 平方根与立方根 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第4课时 估算及用计算器开方 学习目标 1.了解估算的基本方法。(重点) 2.能够运用估算解决生活中的实际问题。(难点) 3.了解计算器开方的方法。（重点） 4.能够运用计算器开方比较数的大小。（重点） 情境导入 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 1000 S=400000 ∵2000×1000=2000000 >400000， ∴公园的宽没有1 000m. 2000 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？与同伴进行交流. x 2x S=400000 x•2x=400000, 2x2=400000, x2=200000, x= 大约是多少呢？ 解：设公园的宽为x米。 知识讲解 知识点1 估算的基本方法 议一议 （1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 与同伴进行交流. （2）你能估算 的大小吗？（结果精确到1) 思考一：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 通过“精确计算”可比较 两个数的大小关系 通过“估算”也可比较 两个数的大小关系 思考二：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分. 要点归纳 知识点 1.用计算器开平方 大多数计算器都有 键，用它可以求一个正数的算术平方根(或其近似值)，应注意的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按照说明书进行操作。 知识点2 用计算器开方 2.用计算器开立方 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平 方根的步骤相同，只是按的根指数键不同． 步骤：按键 → 被开方数 → → 根据 显示结果写出立方根． 注意：不同型号的计算器按键的顺序可能不同， 使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算 器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值 的立方根，再在结果前加上负号． SHIFT = 例1 用计算器计算： 　 (1) 　　; 　 (2)　 ;　 (3) 　　　 .　 解：(1) 5.89, 　 (2) (2÷7) , (3) 显示 2.426 932 22； 显示 0.658 633 756； 显示 －10.871 789 69. -1285, SHIFT SHIFT 例2 利用计算器比较下列两数的大小. 解: 按键： 3 ， 2， 显示 显示 按键： 1.442 249 57； 1.414 213 562； 所以 与 SHIFT 知识点3 用计算器比较数的大小 典例精析 例1 估算 的近似值．（精确到0.01） 导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确 定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位， 进行的步数越多，估算出的值越精确． 解：因为12＝1，22＝4，所以1＜ ＜2. 因为1.72＝2.89，1.82＝3.24，所以1.7＜ ＜1.8. 因为1.732＝2.992 9，1.742＝3.027 6， 所以1.73＜ ＜1.74. 因为1.7322＝2.999 824，1.7332＝3.003 289， 所以1.732＜ ＜1.733.所以 ≈1.73. 无理数的估算一般采用夹逼法，“夹”就是从两边确定范围，“逼”就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到理想的精确度． 要点归纳 比较两个无理数的大小，先对计算的结果取 近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的大 小． 总 结 按要求估算下列无理数： 解： 练一练 例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为6 m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗? 解：设梯子稳定摆放时的高度为x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理，有=， ， 所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到5.6m高的墙头. 例3 比较下列各组数的大小： 要点归纳 两个带根号的无理数比较大小的结论： 1. 2. 3. 若a,b都为正数，则 方法归纳 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法： 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.当符合相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大； 3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 随 堂 小 测 1.在数 0，-2， ，3中，最大的是(　　) A．0 B．-2 C． D．3 2.已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋ ，乙＝3 ＋ ， 丙＝1＋ ，则甲、乙、丙的大小关系是(　　) A．丙<乙<甲 B．乙<甲<丙 C．甲<乙<丙 D．甲＝乙＝丙 D A 3.用计算器比较下面两数的大小： (1) (2) 解:（1） 3.236 067 978； （2） 3.339 148 045； 4.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字） （2） ； （3） ； （4） ； （1） 解：（1）≈28.28； （2）≈1.639； （3）≈0.7616； （4）≈-0.7560。 5.借助计算器求下列各式的值，你能发现什么规律？ 利用你发现的规律试写出 4…444 3 …333 + = 5 …555. = 5 555. 2 2 3 333 4 444 + 6.一个人一生平均要饮用的液体总量大约为40m3 .如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到1 m） 解：设圆柱的高为 xm，那么它的底面半径为0.5xm, 则: 估算 估算的基本方法 估算在生活中的应用 用计算器开方 使用计算器进行开方运算 用计算器开方比较数的大小 用计算器探索数的规律 【湖州】数4的算术平方根是(　　) A．2 B．－2 C．±2 D. C ± 【荆州】若单项式2xmy3与3xym＋n是同类项，则的值为________． 5.【武汉】计算的结果是________． ± 【南京】3的平方根是(　　) A．9 B. C．－ D．± “±”的意义是(　　) A．a的平方根 B．a的算术平方根 C．当a≥0时，±是a的平方根 D．以上均不正确 【点拨】①1的算术平方根是1，故说法正确；②的立方根是，故说法错误；③－27的立方根是－3，故说法错误；④互为相反数的两数的立方根互为相反数，故说法正确． 【点拨】由题知3a－1＋(－5－a)＝0，解得a＝3. 所以这个正数的两个平方根分别是8，－8. 所以这个正数是64.则这个正数的立方根为＝4. (2)若与互为相反数，求1－的值． (3)若＋＝0，且y≠0，求的值． 解：因为＋＝0， 所以与互为相反数， 得1－2x＋3y－5＝0.即2x＋4＝3y. 所以＝＝3. 6.如果为a－3b的算术平方根，为1－a2的立方根，求2a－3b的立方根． 解：由题意知b＋4＝2，a＋2＝3， 所以b＝－2，a＝1. 所以2a－3b＝2×1－3×(－2)＝2＋6＝8. 所以＝＝2. $