精品解析：江苏泰州市靖江市2025-2026学年度下学期八年级期末数学试题

八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 购买一张彩票，中奖 D. 人中至少有2人的生日相同 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 5. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 6. 下列说法正确的是（ ） A. 分式，，的最简公分母是 B. 能被15整除，但不能被13整除 C. 设m为正奇数，不能被8整除 D. 二次根式，化简后为 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 使有意义的x的取值范围是_______． 8. 在中，，则______． 9. 已知多项式可分解成，则_________． 10. 化简：=___________． 11. 小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间（） 频数 24 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是_________． 12. 如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 13. 在中，，D，E，F分别为，，的中点，如果，则_________． 14. 实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 15. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 16. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ （1）填写完成表格中的空格； （2）从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 20. 如图，在中，点E从点A出发沿向终点D运动，点F从点C以相同的速度沿向终点B运动，连接，与相交于点O． （1）求证：，互相平分； （2）若，，当等于多少度时，四边形是菱形？说明理由． 21. 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，可以用来对多项式进行因式分解． 如：； 再如： ． （1）用配方法分解因式：①；②． （2）如果，试判断以a，b，c为边长的的形状． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接，过点E，O作的垂线，垂足分别为点F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）如果，，求矩形的面积． 23. 小明、小亮沿同一路线参加1200米长跑，小明前600米的平均速度是小亮的1.25倍，后600米的平均速度是小亮的0.75倍，如果小亮匀速跑完全程，结果小明比小亮晚20秒到达终点，求小亮的速度是每秒多少米？ 24. 如图，在中，（），于点D，P是边上的动点，将绕点P顺时针旋转到，连接，在上截取，连接并延长到点G，使得，连接，． （1）若，，则 ， ． （2）解答完第（1）问后，小明与小亮有了不同的想法：小明认为要求的长，必须要知道，的长；小亮认为只须知道的长，你赞同谁的观点，并说明理由； （3）求出的度数． 25. 【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 （1）若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； （2）由公式①推导出公式②． 26. 已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； （2）如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； （3）当点E在的延长线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项，等式右边为，是和的形式，不是整式乘积，因此A不是因式分解； B选项，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，因此B是因式分解； C选项，变形是从整式乘积化为多项式，属于整式乘法，因此C不是因式分解； D选项，变形是从整式乘积化为多项式，属于整式乘法，因此D不是因式分解． 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 任意画一个三角形，其内角和是 C. 购买一张彩票，中奖 D. 人中至少有2人的生日相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查随机事件的定义，根据随机事件的定义（可能发生也可能不发生的事件），逐一分析各选项即可． 【详解】解：A中，太阳每天必然从东方升起，属于必然事件，故不符合题意； B中，三角形内角和恒为，不可能为，属于不可能事件，故不符合题意； C中，彩票中奖结果不确定，可能发生也可能不发生，属于随机事件，符合题意； D中，根据抽屉原理，人至少有2人生日相同，属于必然事件，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项C：，化简后为整数，被开方数不为，与不是同类二次根式； 选项D：，化简后被开方数为，与是同类二次根式． 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 四条边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可． 【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等， ②矩形的四个角都是直角， ③矩形的对角线互相平分且相等， 菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等， ②菱形的对角相等， ③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角， 所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键． 5. 关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根是解决本题的关键．先解关于的分式方程得．再根据增根的定义，解决此题． 【详解】解： 去分母，得， 移项，得． 关于的分式方程有增根， ， ． 故选：． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 分式，，的最简公分母是 B. 能被15整除，但不能被13整除 C. 设m为正奇数，不能被8整除 D. 二次根式，化简后为 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得最简公分母是，即可判断A，根据平方差公式因式分解判断B,C选项，计算，即可判断D选项． 【详解】解：选项A：∵， ∴三个分式的最简公分母是，不是，A错误． 选项B：∵， ∴能同时被13和15整除，B错误． 选项C：∵是正奇数，可设，为非负整数， ∴， ∵和是相邻整数，必有一个是偶数， ∴是2的倍数， ∴是8的倍数，即能被8整除，C错误． 选项D：计算 ， ∵ ∴，D正确． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 使有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得： x+1≥0， 解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单． 8. 在中，，则______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】由平行四边形的对角相等可得答案． 【详解】解： ，， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，掌握“平行四边形的对角相等”是解本题的关键． 9. 已知多项式可分解成，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题先将因式分解的结果展开，再根据多项式相等对应项系数相等，即可求出的值，用到多项式乘多项式的运算法则． 【详解】解：由题意得展开右侧多项式： ， 对比等式两边对应项系数，可得 10. 化简：=___________． 【答案】## 【解析】 【分析】分子，分母同时乘以有理化因式，计算即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，准确找出有理化因式是解题的关键． 11. 小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出了频数分布表： 通话时间（） 频数 24 16 8 10 2 则通话时间不超过的频率是_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：通话时间不超过的频数为 ， 通话总频数为 ， ∴通话时间不超过的频率为 ． 12. 如图，在矩形中，点E在边上，且平分，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质推出，证明，结合为等腰直角三角形解题即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得． 13. 在中，，D，E，F分别为，，的中点，如果，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长． 【详解】解：，分别为，的中点， ， ， 在中，，为的中点， ． 14. 实数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴得，，， ∴ ． 15. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点A坐标是，点B在直线上，则点C的坐标为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点坐标求出的长度，利用菱形邻边相等得到的长度，结合点在已知直线上求出点的坐标，再利用菱形对角线互相平分的性质和中点坐标公式求出点C的坐标． 【详解】解：由题意得，原点，， ， ∵四边形是菱形， ， 如图，设点的坐标为， 由勾股定理得：，整理得， 解得（点在第一象限，舍去）， ，即， 设， ∵四边形是菱形，设与交于点， ∴点是与的中点， 由中点坐标公式可得：，， 代入坐标得：，， 解得，， ∴． 16. 如图，在四边形中，，E，F分别是，的中点，G，H分别是对角线，的中点，顺次连接E，G，F，H，则四边形面积的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线可得，，然后可得四边形是菱形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，． ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， 要使四边形的面积最大，则需满足， ∴四边形面积的最大值为． 三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用二次根式的乘除运算法则计算； （2）通过因式分解简化运算，再计算最终结果． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】先化简分式，再将代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ． 当  时， ． 19. 某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数n 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数m 48 95 188 471 946 1426 1898 优等品的频率（精确到0.001） 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 ______ （1）填写完成表格中的空格； （2）从这批乒乓球中，任意抽取的一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______（精确到0.01）； （3）小明买这批次的乒乓球20个，小明说20个球中一定会有一个次等品，你同意小明的说法吗？为什么？ 【答案】（1） （2） （3）不同意小明的说法，理由：概率是大量重复试验下的频率稳定值，只能说明单个乒乓球是优等品的概率约为、是次品的概率约为，买20个是随机事件，有可能全部都是优等品，不一定会出现次品． 【解析】 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）根据表中优等品的频率判定即可； （3）根据频率的定义即可判断； 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，点E从点A出发沿向终点D运动，点F从点C以相同的速度沿向终点B运动，连接，与相交于点O． （1）求证：，互相平分； （2）若，，当等于多少度时，四边形是菱形？说明理由． 【答案】（1）证明：连接， ∵平行四边形， ∴， 由题意，， ∴，即， 又∵即， ∴四边形为平行四边形， ∴，互相平分； （2）解：当时，四边形为菱形，理由如下： ∵，，， ∴ ∴，， ∴当时，， ∴， ∴， 由（1）可知：四边形为平行四边形， ∴四边形是菱形. 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即可得证； （2）根据邻边相等的平行四边形为菱形，结合平行四边形的性质，推出时，四边形是菱形即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 配方法是代数变形时常用的一种重要方法，可以用来对多项式进行因式分解． 如：； 再如： ． （1）用配方法分解因式：①；②． （2）如果，试判断以a，b，c为边长的的形状． 【答案】（1）①；② （2）是直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行因式分解即可； （2）由题意易得，然后根据勾股定理逆定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：由可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是边的中点，连接，过点E，O作的垂线，垂足分别为点F，G． （1）求证：四边形是矩形； （2）如果，，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵E是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，证明为的中位线，则，再结合矩形的判定定理证明即可； （2）由菱形的性质可得，，，，由勾股定理得出，由直角三角形的性质可得，由等面积法得出，即可得出结果． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积为． 23. 小明、小亮沿同一路线参加1200米长跑，小明前600米的平均速度是小亮的1.25倍，后600米的平均速度是小亮的0.75倍，如果小亮匀速跑完全程，结果小明比小亮晚20秒到达终点，求小亮的速度是每秒多少米？ 【答案】 小亮的速度是每秒4米 【解析】 【分析】利用路程、速度、时间的关系，设小亮速度为未知数，分别表示出小明、小亮跑完全程的时间，根据小明比小亮晚20秒到达的等量关系列方程求解即可． 【详解】 解：设小亮的速度是每秒米， 由题意可知，小亮匀速跑完全程的时间为秒， 小明前600米的平均速度为米/秒，后600米的平均速度为米/秒，小明跑完全程的时间为秒. 根据小明比小亮晚20秒到达终点， 列方程得：  ， 解得  检验：当时，， 所以是原方程的解，符合实际意义， 答：小亮的速度是每秒4米． 24. 如图，在中，（），于点D，P是边上的动点，将绕点P顺时针旋转到，连接，在上截取，连接并延长到点G，使得，连接，． （1）若，，则 ， ． （2）解答完第（1）问后，小明与小亮有了不同的想法：小明认为要求的长，必须要知道，的长；小亮认为只须知道的长，你赞同谁的观点，并说明理由； （3）求出的度数． 【答案】（1）6，6 （2）解：赞同小亮的观点，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴只须知道的长即可； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，得到为的中位线，结合三角形中位线的性质即可求解的长度，再由，，可得，由此可求解的长度． （2）根据，可得．再由边长的关系推导即可； （3）证明与全等，可得，由此可得为等腰三角形，进而可得，由此可解． 【小问1详解】 解：连接，如图， ∵，， ∴点P，点E分别为与的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵将绕点P顺时针旋转到， ∴， ∴； ∵，，且， ∴， ∴， ∵在中，（）， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴为边的中线， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵将绕点P顺时针旋转到， ∴，， 由（1）可知，为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）可知，， 即， ∵， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴点E为的中点， ∴， ∴． 25. 【阅读材料】 阅读材料：三角形的面积计算公式 名称 公式 说明 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”． ．① a，b，c为三角形的三边长；，S为面积； 公式②中的． 古希腊“海伦公式”． ．② 【问题解决】 （1）若的三边长为5，7，8，分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积； （2）由公式①推导出公式②． 【答案】（1）该三角形的面积为 （2） ． 【解析】 【分析】（1）根据可得，，，代入即可求解； （2）利用平方差公式和完全平方公式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∴， 由题意得，， ∴． 【小问2详解】 略 26. 已知正方形的边长为，点E是射线上的点，且，连接，将沿翻折得到，交直线于点F，连接． （1）如图1，点E在线段上． ①求的度数； ②求的周长； （2）如图2，P是线段上一点，点Q在边上，作直线，使得的周长等于正方形周长的一半（要求：仅用无刻度直尺与圆规作图，简要说明作图步骤）； （3）当点E在的延长线上时，求的长． 【答案】（1）①；②； （2） 解：①分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点； ②作直线交于点，则直线即为所求； （3）. 【解析】 【分析】（1）①根据折叠的性质得到，证明，得到，得到，即可得出结果；②利用折叠的性质，全等三角形的性质，等量代换求出的周长为即可； （2）分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交于点， 即可，易得得到，进而得到的周长等于，即正方形周长的一半； （3）根据题意，画出图形，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【小问1详解】 解：∵正方形，边长为， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由（1）知：， ∴， ∵折叠， ∴， ∴的周长； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在的延长线上时，如图， ∵折叠， ∴， 同（1）法可得：， ∴， 设，则,，， ∵， ∴，即， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $