精品解析：上海市崇明区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期 七年级数学 （满分100分，完卷时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 如果，那么下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 同旁内角互补 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形 C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 D. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 4. 如图，下列能判断的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. ． 6. 如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 用适当的不等式表示“m的3倍减去2的差是一个正数”________________________． 8. 如果既满足又满足的x的值只有一个，那么___________． 9. 直线，相交于点O，如果，那么直线与直线的夹角为________________度． 10. 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是______． 11. 如图，已知直线，将三角尺的直角顶点放在直线n上，若，则____________度． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 13. 如图，在中，，D为的中点，，则______． 14. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的腰为_____． 15. 如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接、．如果，那么____________________度． 16. 在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 17. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使点B的对应点D落在边上，连接，如果，那么______________________．（用含的代数式表示） 18. 预备知识：1.一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下方长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2.一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3.两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 在数学综合与实践课《积木能叠多远？》的探究活动中，同学们探究了积木堆叠平衡问题，并根据相关预备知识进行了推导，请你回顾并解决以下问题：取4块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们四边对齐叠放，从上到下编号依次为①、②、③、④，向右沿平行于积木长边的方向依次推动积木①、②、③，如图所示，如果每块积木的长度为l，在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最远延伸长度是____________________．（用含l的代数式表示） 三、简答题（本大题共7题，第19、20、21题5分，第22题6分，第23题7分、第24题8分、第25题10分，满分46分） 19. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 20. 根据篮球赛的规则，在三分线外投篮命中可得3分，在三分线内投篮命中可得2分．某球队在一场篮球赛中不算罚篮共投中34个球，罚篮得14分，并且总分超过90分．该球队至少投中了多少个三分球？ 21. 如图，已知：点F、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 把以下证明过程补完整． 证明：∵， ∴ ， ∴． 在与中， ∴（ ）． ∴ ． ∴．（ ）． 22. 如图，已知，请根据下列要求作图并回答问题． （1）点D在边上，请你用直尺和圆规在图中作出点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，，求证：． 23. 如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 如图，的两条高、相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，过点F作，交边于点G，求证：． 25. 数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； （2）如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． （3）探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 （4）如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期 七年级数学 （满分100分，完卷时间90分钟） 一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分） 1. 如果，那么下列不等式中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，判断各选项即可． 【详解】解： A、若，则，选项的不等式正确，故选项不符合题意； B、若，则，选项的不等式正确，故选项不符合题意； C、若，则，选项的不等式正确，故选项不符合题意； D、若，则，选项的不等式不正确，故选项符合题意． 2. 若一个三角形的三个内角的度数之比为，则这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键；因此此题可根据三角形内角和进行求解． 【详解】解：由三角形的三个内角的度数之比为，可设这三个内角分别为，则有： ， 解得：， ∴， 即该三角形为直角三角形； 故选A． 3. 下列命题是真命题的是（　　） A. 同旁内角互补 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形 C. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 D. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定、三角形外角的定义及性质、判断命题的真假，根据平行线的性质、三角形全等的判定、三角形外角的定义及性质逐项分析即可得解． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，不符合题意； B、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，故原说法错误，是假命题，不符合题意； C、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，故原说法正确，是真命题，符合题意； D、如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故原说法错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，下列能判断的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行进行判定即可． 【详解】解：A、，则，不符合题意； B、，则，不符合题意； C、，则，符合题意； D、，则 ，不符合题意 ． 5. 如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．如果，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】设工作篮底部的部分为，工程车平台的部分为，起落架由和组成，过点E作，由，得，得，得 ．即得． 【详解】解：如图，设工作篮底部的部分为，工程车平台的部分为，起落架由和组成， 过点E作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． ∴． 6. 如图，已知平分，点、分别在射线、上，如果添加一个条件，即可推出，那么下列条件不能得到的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要判断能否推出，可根据已知条件平分，结合各选项所给条件，看能否证明和全等，若全等则可推出． 【详解】解：∵平分，点、分别在射线、上， ∴在和中，，， 选项A：若，则不能推出， ∴不能得出，符合题意； 选项B：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 选项C：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意， 选项D：在和中， ∵， ∴， ∴，不符合题意． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 用适当的不等式表示“m的3倍减去2的差是一个正数”________________________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意表示出的倍与的差，再根据正数大于的性质列出不等式即可． 【详解】解：的倍为，减去的差为， 因此列不等式得． 8. 如果既满足又满足的x的值只有一个，那么___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解集的定义，即可确定的值． 【详解】解：当时，不等式组的解集为，包含无数个实数，不符合题意； 当时，不等式组无解，没有满足条件的，不符合题意； 当时，不等式组的解为，仅有一个满足条件的，符合题意． 9. 直线，相交于点O，如果，那么直线与直线的夹角为________________度． 【答案】50 【解析】 【分析】先利用邻补角互补计算出相交形成的锐角，即可得到两直线的夹角． 【详解】解：∵直线，相交于点，如图， ∴， ∵， ∴， 故直线与直线的夹角为度． 10. 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是______． 【答案】周长相等的两个三角形全等 【解析】 【分析】根据逆命题定义：将一个命题的题设与结论对调即可得到命题的逆命题，直接求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 命题“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”， 故答案为：周长相等的两个三角形全等； 【点睛】本题考查逆命题定义：将一个命题的题设与结论对调即可得到命题的逆命题，解题的关键是找到原命题的题设与结论． 11. 如图，已知直线，将三角尺的直角顶点放在直线n上，若，则____________度． 【答案】136 【解析】 【详解】解：由题意可知，， ， ， ， ， ． 12. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 13. 如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 14. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的腰为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，当等腰三角形给定的一边长没有明确是腰长或是底边长时，应分情况讨论，此题分两种情况讨论求出腰长即可． 【详解】当腰长为4时，则底边长为，因为，不能构成三角形，故舍去； 当底边长为4时，腰长为，此时可以构成三角形， 故答案为：6． 15. 如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接、．如果，那么____________________度． 【答案】68 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接并延长，交于点， 为三边垂直平分线的交点， ， ，， ， ，， ， . 16. 在学习反证法后，乐乐尝试用反证法证明“如图，已知P是直线l外一点，直线、相交于点P，且，则直线与直线l必相交”这一命题：他假设直线与直线l不相交，则有，又因为，所以与平行，这与__________________________________矛盾，故假设不成立，所以直线与直线l必相交． 【答案】直线相交 【解析】 【分析】假设直线与直线l不相交，则有，根据平行线的传递性得出与平行，得出与条件：直线相交矛盾结论即可． 【详解】解：假设直线与直线l不相交，则有， 又因为， 所以与平行， 这与直线相交矛盾，故假设不成立， 所以直线与直线l必相交． 17. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转，得到，使点B的对应点D落在边上，连接，如果，那么______________________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】先由旋转的性质得出，，，然后根据平角的定义和等边对等角求得，从而由三角形内角和定理得到，进而可求得答案． 【详解】解：∵旋转， ∴，，， ∴，，，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 预备知识：1.一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下方长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2.一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3.两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 在数学综合与实践课《积木能叠多远？》的探究活动中，同学们探究了积木堆叠平衡问题，并根据相关预备知识进行了推导，请你回顾并解决以下问题：取4块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们四边对齐叠放，从上到下编号依次为①、②、③、④，向右沿平行于积木长边的方向依次推动积木①、②、③，如图所示，如果每块积木的长度为l，在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最远延伸长度是____________________．（用含l的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据预备知识2、3，分别找到长方体①、②、③的重心、、、长方体组合①②的重心、长方体组合①②③的重心以及它们的位置，然后根据预备知识1，求得和的水平距离，从而得到和的水平距离；进而求得和的水平距离和和的水平距离，从而得到和的水平距离，即可求得长方体①、②、③相对各自下方的长方体的延伸长度，进而解答． 【详解】解：如图，、、分别是长方体①、②、③的重心， 根据预备知识2、3可知，在不倾倒的前提下，当积木①②③组合的延伸长度最远时，与长方体①的右边缘对齐；是长方体组合①②的重心，且与长方体③的右边缘对齐；是长方体组合①②③的重心，且与长方体④的右边缘对齐， 设此时长方体①相对于长方体②的延伸长度为，长方体②相对于长方体③的延伸长度为，长方体③相对于长方体④的延伸长度为， 则， 此时和的水平距离为， 则由预备知识1，得和的水平距离为， ∴； 此时和的水平距离为；和的水平距离为， 则由预备知识1，得和的水平距离为， ∴， ∴在不倾倒的前提下，积木①②③组合的最远延伸长度是． 三、简答题（本大题共7题，第19、20、21题5分，第22题6分，第23题7分、第24题8分、第25题10分，满分46分） 19. 解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】；． 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示见答案． 20. 根据篮球赛的规则，在三分线外投篮命中可得3分，在三分线内投篮命中可得2分．某球队在一场篮球赛中不算罚篮共投中34个球，罚篮得14分，并且总分超过90分．该球队至少投中了多少个三分球？ 【答案】该球队至少投中9个三分球． 【解析】 【详解】解：设球队投中了x个三分球， 则根据题意可得：， 解得：， 答：该球队至少投中9个三分球． 21. 如图，已知：点F、B、D、E在同一直线上，，，．求证：． 把以下证明过程补完整． 证明：∵， ∴ ， ∴． 在与中， ∴（ ）． ∴ ． ∴．（ ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． ∴.（内错角相等，两直线平行）． 22. 如图，已知，请根据下列要求作图并回答问题． （1）点D在边上，请你用直尺和圆规在图中作出点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，，求证：． 【答案】（1）所作图形如图： ； （2）由作图知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点D，则，则； （2）求得，，推出，即． 【小问1详解】 解：作图略 【小问2详解】 解：略 23. 如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 24. 如图，的两条高、相交于点F，． （1）求证：； （2）连接，过点F作，交边于点G，求证：． 【答案】（1）证明：∵、分别是、边上的高， ∴； ∵，， ∴， 在与中 ，． ∴ ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． 【解析】 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，再利用“”证明全等即可； （2）利用等腰三角形的判定和性质，得出，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． （1）如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； （2）如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． （3）探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 （4）如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】（1）1； （2）4； （3）； （4）解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【解析】 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【小问1详解】 解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $