2.2 一元二次方程的解法 课时4（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的因式分解法，通过小球竖直上抛运动问题导入，对比小颖（公式法）、小明（错误约简）、小亮（因式分解法）的解法，衔接已学知识，构建从实际问题到新解法的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过解法对比发展推理意识，总结解法选择思路强化模型意识。如小球运动方程、三角形周长应用题等实例，帮助学生理解方法本质与应用，教师可借助清晰流程提升教学效率。

2.2 一元二次方程的解法 课时4 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.理解用因式分解法解方程的依据。 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程。 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程。 学习目标 2 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h (单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 课堂导入 3 问题1 一个小球从地面以15 m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中运动的高度h(单位：m)与运动的时间t(单位：s)满足关系：h=15t-5t²。小球从弹出到落回地面，经过了几秒? 设小球经过t s落回地面，此时h=0，于是可得方程 15t-5t²=0。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小颖的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 因此 t=， 所以 t1=0，t2=3。 小颖的解法是正确的，她运用了公式法解方程。 新知讲解 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小明的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²=15t。 两边都约去 5t， 得 t=3。 小明的解法是错误的，他进行的方程变形不是同解变形。同解变形要求方程两边同时除以同一个不为0的数，他的做法漏掉了根为0的情况。 新知讲解 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 这样做的依据是什么？ 如果a · b=0，那么 a=0或 b=0. 小亮让方程一边为0，另一边分解成两个一次因式乘积的形式。 新知讲解 15t-5t²=0。 小颖、小明、小亮都求出了这个方程的解，但他们的解法各不相同。 分析他们的求解过程，他们分别运用了怎样的方法?他们的结果正确吗? 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 小亮的解法： 由方程 15t-5t²=0， 得 5t²-15t=0。 即 5t(t-3)=0。 于是t=0，或t-3=0。 所以 t1=0，t2=3。 小亮的解法是正确的，他用的是本节要学的因式分解法。 新知讲解 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 适用范围：一元二次方程的一边为 0 ，另一边易于分解成两个一次因式的乘积。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 解方程： (1)5x²=4x； 解：(1)原方程可变形为 5x²-4x=0， x(5x-4)=0。 x=0，5x-4=0。 所以 x1=0，x2=。 例1 (2)原方程可变形为 x(x-2)-(x-2)=0， (x-2)(x-1)=0。 x-2=0，或x-1=0。 所以 x1=2，x2=1。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 (2)x(x-2)=x-2。 新知讲解 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²-4=0，因式分解，得(x+2)(x-2)=0， 所以x+2=0，或x-2=0， 所以x1=-2，x2=2。 (x+1)²-25=0，因式分解，得(x+6)(x-4)=0， 所以x+6=0，或x-4=0， 所以x1=-6，x2=4。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 思考：这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 还可以用直接开平方法解方程。 新知讲解 思考 (1)解方程：x²-4=0，(x+1)²-25=0，x²+2x-3=0，x²+6x-8=0。 x²+2x-3=0，配方，得x²+2x+1-1-3=0， 即(x+1)²=4， 开平方，得x+1=±2， 所以x1=1，x2=-3。 x²+6x-8=0，配方，得x²+6x+9-9-8=0， 即(x+3)²=17，开平方，得x+3=±， 所以x1=-3+，x2=-3-。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 思考 (2)你用了哪些方法求解(1)中的方程? 用到了因式分解法、配方法。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解?   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 新知讲解 知识点1 用因式分解法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 新知讲解 1.经计算，整式x+1与x-4的积为x2-3x-4，则一元二次方程x2-3x-4=0的根为(　　) A. x1=-1，x2=-4　  B. x1=-1，x2=4 C. x1=1，x2=4　   D. x1=1，x2=-4 B 随堂练习 2.用因式分解法解方程： (1) (x+2)(x-4)=0； (2) 4x(2x+1)=3(2x+1)。 . . 解：(1) (x+2)(x-4)=0， ∴x+2=0，或x-4=0， ∴x1=-2，x2=4。 (2) 4x(2x+1)=3(2x+1)， 移项，得4x(2x+1)-3(2x+1)=0， ∴(2x+1)(4x-3)=0， ∴2x+1=0，或4x-3=0， ∴x1=-，x2=。 随堂练习 3.用适当的方法解下列方程： (1) 2(x-1)2-18=0 ； (2) x2+4x-1=0。 . . 解：(1) 整理，得(x-1)2= 9， 开平方，得x-1=±3， 即x-1=3 或x-1= -3， ∴ x1=4，x2=-2。 (2) 原方程变形为x2+4x=1， 配方，得x2+4x+22 =1+22， 即 (x+2)2 =5 。 可得x+2=±， ∴ x1=-2+，x2=-2- 随堂练习 3.用适当的方法解下列方程： (3) (3x+2)2-4x2＝0； (4) 2(x -3)2＝x2-9 。 . . 解：(3)因式分解， 得(3x+2+2x)(3x+2-2x)＝0， (5x+2)(x+2)＝0， ∴5x+2=0，或x+2=0， ∴x1＝-，x2＝-2。 (4) 2(x-3)2＝(x+3)(x-3)， (x-3)[2(x-3)-(x+3)]＝0， (x-3)(x-9)＝0， ∴x-3=0，或x-9=0， ∴x1＝3，x2＝9。 随堂练习 4.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数。 . . 解：设这个数为x。 根据题意，得 2x²=7x。 移项，得 2x²-7x=0， 所以 x(2x-7)=0， 所以 x=0，或2x-7=0， 所以 x1=0，x2=， 所以这个数是0。 随堂练习 5.已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程x(x-7)-10(x-7)＝0的一个根，求这个三角形的周长。 . . 解：x(x-7)-10(x-7)＝0， (x-7)(x-10)＝0， 解得 x1＝7，x2＝10。 当x＝10时，3+7＝10，不符合三角形三边关系， ∴x2＝10不合题意，舍去。 当x＝7时，3+7>7，符合三角形三边关系， ∴这个三角形的周长为3+7+7＝17。 随堂练习 因式分解法 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 课堂小结 $