2.2 一元二次方程的解法课时3（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法解法及根的判别式，从配方法的通用步骤切入，引导学生推导一般形式方程的求根公式，搭建从已有知识到新知识的学习支架，帮助学生理解公式来源与应用前提。 其亮点在于通过完整推导过程培养学生推理意识，用表格清晰呈现解题步骤强化数学语言规范性，结合实例与跟踪训练提升应用意识。学生能掌握公式法本质，教师可依托结构化内容高效开展教学，促进知识理解与能力培养。

2.2 一元二次方程的解法 课时3 第二章 一元二次方程 1.经历求根公式的推导过程。 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式。 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。 2 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。 一化；二配；三移；四开；五解。 如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多。 3 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a， 得 x²+x+=0。 配方，得 x²+x+()² - ()²+=0， ()² - =0。 移项，得 ()²=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为a≠0，所以4a²>0。当b²-4ac≥0时， 是一个非负数， 此时两边开平方，得 =±， 即 =±， =。 知识点1 用公式法解一元二次方程 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 =。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18。 因为 b²-4ac=(-7)²-4×1×(-18)=121>0， 所以 x= = 即x1=9，x2=-2。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(2)将原方程化成一般形式，得 4x²-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 因为b²-4ac=(-4)²-4×4×1=0， 所以 x= = 即 x1=x2=。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 示例(2x²+x=2) 一化 二定   三算 四解   b²-4ac=1²-4×2×(-2)= 17>0。 a=2，b=1，c=-2。 2x²+x-2=0。 x=，即x1=，x2= 将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 计算b²-4ac的值。 确定a，b，c的值。 若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 跟踪训练 一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是( ) A. B. C. D. 知识点1 用公式法解一元二次方程 A 思考 你能解一元二次方程x²-2x+3=0吗? 这里的a=1，b=-2，c=3。 因为b²-4ac=(-2)²-4×1×3=-8<0， 所以原方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 思考 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac<0时，它的根的情况是怎样的? 方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 对于一元二次方程ax²+bx+c=0， 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b²-4ac<0时，方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况可由b²-4ac来判定。 我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示（即 Δ=b2-4ac）。 知识点1 用公式法解一元二次方程 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A.x²+1=0 B.x²-2x+1=0 C.x²+x+1=0 D.x²+x=1 解析：选项A，这里a=1，b=0，c=1，故Δ =b²-4ac=0²-4×1×1=-4<0， 所以该方程无实数根； 选项B，这里a=1，b=-2，c=1，故Δ =b²-4ac=(-2)²-4×1×1=0， 所以该方程有两个相等的实数根； 选项C，这里a=1，b=1，c=1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×1=-3<0， 所以该方程无实数根； 选项D，移项，得x²+x-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×(-1)=5>0，所以该方程有两个不相等的实数根。 例2 知识点1 用公式法解一元二次方程 D 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x²+5=7x； (2)4x(x-1)+3=0； (3)4(y²+0.09)=2.4y。 . . 解：(1)原方程可变形为2x²-7x+5=0。 这里a=2，b=-7，c=5。 ∵b²-4ac=(-7)²-4×2×5=9>0， ∴原方程有两个不相等的实数根。 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x²+5=7x； (2)4x(x-1)+3=0； (3)4(y²+0.09)=2.4y。 . . 解：(2)原方程可变形为4x²-4x+3=0。 这里a=4，b=-4，c=3。 ∵b²-4ac=(-4)²-4×4×3=-32<0， ∴原方程没有实数根。 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x²+5=7x； (2)4x(x-1)+3=0； (3)4(y²+0.09)=2.4y。 . . 解：(3)原方程可变形为4y²-2.4y+0.36=0。 这里a=4，b=-2.4，c=0.36。 ∵b²-4ac=(-2.4)²-4×4×0.36=0， ∴原方程有两个相等的实数根。 2.关于x的一元二次方程(m－1)x2－2x－1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是( ) A.m≥0 B.m＞0 C.m≥0且m≠1 D.m＞0且m≠1 C 3. 若|b－1|＋＝0，且一元二次方程kx2＋ax＋b＝0有实数根，则k的取值范围是 。 k≤4且k≠0 4.用公式法解方程： (1)2x²-9x+8=0； (2)9x²+6x+1=0； (3)16x²+8x=3； (4)x(x-3)+5=0。 . . 解：(1)这里a=2，b=-9，c=8。 ∵b²-4ac=(-9)²-4×2×8=17>0， ∴x= = ， ∴x1= ，x2= (2)这里a=9，b=6，c=1。 ∵b²-4ac=6²-4×9×1=0， ∴x= = -， ∴x1=x2= 4.用公式法解方程： (1)2x²-9x+8=0； (2)9x²+6x+1=0； (3)16x²+8x=3； (4)x(x-3)+5=0。 . . 解：(3)移项，得16x²+8x-3=0。 这里a=16，b=8，c=-3。 ∵b²-4ac=8²-4×16×(-3)=256>0， ∴x= = ， ∴x1=，x2= - (4)去括号，得x²-3x+5=0。 这里a=1，b=-3，c=5。 ∵b²-4ac=(-3)²-4×1×5=-11<0， ∴原方程没有实数根。 5.一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形三条边的长。 . . 解：设较长的直角边长为x，则较短的直角边长与斜边长分别为x-2，x+2。 根据题意，得 x²+(x-2)²=(x+2)²， 即 x²-8x=0。 解得x1=0( 不合题意，舍去)，x2=8。 故 x-2=6，x+2=10。 答：这个三角形三条边的长分别为6，8，10。 6.已知关于x的方程x2+ax+a-2=0。 求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 . . 证明：∵在x2+ax+a-2=0中， Δ=a2-4(a-2)=a2-4a+8＝(a-2)2+4>0 ， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 一元二次方程的解法 根的判别式Δ=b²-4ac Δ>0，方程有两个不相等的实数根 Δ=0，方程有两个相等的实数根 Δ<0，方程没有实数根 公式法 = $