2.4 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题(1) 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用一元二次方程解决几何问题”，课堂导入先复习解方程方法及列方程步骤，再以“梯子滑动问题”情境衔接，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是通过问题链驱动合作探究，结合几何直观与推理意识，如梯子滑动变式、矩形动点分类讨论，培养模型意识与应用能力。小结归纳解题要点，助力学生结构化学习，教师可高效开展教学。

2.4 一元二次方程的应用 第1课时 用一元二次方程解决实际应用问题(1) 1.掌握列一元二次方程解决几何问题、数学问题,并能根据具体问题的实际意义,检验结果的合理性.（重点、难点） 2.理解将实际问题抽象为方程模型的过程,并能运用所学的知识解决问题． 学 习 目 标 想一想：通过前面的学习你知道解一元二次方程有哪些方法吗？ 配方法（直接开平方法）、公式法、因式分解法 列一元一次方程解应用题分几步呢？应注意哪些？ ①审题 ②设出未知数 ③找等量关系 ④列方程 ⑤解方程 ⑥作答 复 习 导 入 PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 还记得本章开始时梯子滑动的问题吗？ 如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为.如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端滑动多少米？ 复 习 导 入 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑时，梯子底端滑动的距离大于，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ x x 设梯子顶端下滑，底端滑动. （舍），. 合 作 探 究 （2）如果梯子的长度是，梯子顶端与地面的垂直距离为，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？ 设梯子顶端下滑，底端滑动. （舍），. 合 作 探 究 例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200处有一重要目标B,在B的正东方向200处有一重要目标C. 小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛F位于 BC的中点.一艘军舰沿A出发,经B到C匀速巡航,一艘 补给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行, 欲将一批物品送达军舰. 北 东 A B C 典 例 精 析 (1)小岛D与小岛F相距多少海里? 东 北 A B C D F 解：连接DF.∵AD=CD , BF=CF, ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF= AB， ∵AB⊥BC, AB = BC =200, ∴DF⊥BC, DF =100. 典 例 精 析 （2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1） 东 北 A B C D F E 解: 设相遇时补给船航行了,那么 DE =, AE + BE =, EF=AB +BF-(AB + BE)=. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 . 整理得： , 解得(不合题意，舍去). 典 例 精 析 几何问题 ①解题时注意联系图形中有关的几何定理、面积和体积公式; ②不容易直接解决的问题可考虑添加辅助线; ③重视数形结合的思想方法 ☀归纳 新 知 小 结 例2 如图，在矩形中，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以 的速度移动，如果分别从同时出发，那么几秒后五边形的面积为？ A B C D Q P 典 例 精 析 解：设所需时间为，根据题意，得 . 整理得 . 解方程，得 . 答：在第 2 s和第 4 s是五边形面积是. A B C D Q P (6 - t) 2t 典 例 精 析 例3 如图，在矩形中，,分别从出发，沿方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若,则，,. A P N D B Q M C 典 例 精 析 （1）当为何值时，点重合？ 分析 当点重合时，可得，列出方程并求解. 解：（1）∵点重合， ∴， ∴. 解这个方程，得 （舍去）， ∴当时，点重合. A P N D B Q M C 典 例 精 析 （2）当为何值时，以为顶点的四边形是平行四边形？ A P N D B Q M C 分析 由于当点到达点时，，此时点和点还未相遇，故点只能在点的左侧.以为顶点的四边形是平行四边形时分两种情况： ①当点在点的左侧时； ②当点在点的右侧时. 由此列出关于的方程，解之即可. 典 例 精 析 A P N D B Q M C （2）∵当点N到达点A时，，此时点M和点Q还未相遇， ∴点Q只能在点M的左侧. ①当点P在点N的左侧时，， 依题意得， 解得（舍去），， ∴当时，四边形PQMN是平行四边形； 典 例 精 析 ②当点在点的右侧时，， 依题意得， 解得（舍去），， ∴当时，四边形是平行四边形. ∴当或时，以为顶点的四边形是平行四边形. ☀点拨 解动点问题时要注意验根，舍去不符合实际意义的解.如果所解方程没有实根，就说明某个运动过程不存在. 典 例 精 析 从正方形铁片的边截去宽的一个长方形，余下的面积是，则原来的正方形铁片的面积是（ ） A. B. C. D. D 2.已知一元二次方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________. 14或16 随 堂 检 测 3. 在长方形钢片上裁掉一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框 .已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm, 要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的边框宽. 解：设长方形框的边框宽为 . 依题意得，. 整理，得, 解得(舍去) . ∴. 答：这个长方形框的边框宽为 . 随 堂 检 测 4.如图，A，B，C，D是矩形的四个顶点，AB=，BC=，动点P从点A出发，以3的速度向点B运动，直到点B为止；动点Q同时从点C出发，以2的速度向点D运动.何时点P和点Q之间的距离是10？ H 解：如图,过点Q作QH⊥AB于点H. 设时,点P和点Q之间的距离是10, 则AP=,CQ=. 随 堂 检 测 H ∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°. ∵∠QHB=90°,∴四边形QHBC是矩形. ∴BH=CQ=,HQ=BC=. ∴PH=AB-AP-BH=. 在Rt△PHQ中,∵PQ²=PH²+HQ²， ∴当PQ=10时,. 解得.经检验,都符合题意. 答：经过或时，点P和点Q之间的距离是10. 随 堂 检 测 利用一元二次方程解决实际问题 一审；二设；三列； 四解；五检；六答. 步骤 应用 几何问题、动点问题 课 堂 总 结 $