2.3 一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的根与系数的关系”，通过解方程填表引导学生观察特殊方程两根之和、之积与系数的关系，再拓展至一般形式ax²+bx+c=0，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接已学的解方程和求根公式知识。 其亮点在于以探究活动为主线，通过情境问题让学生验证方程因式分解与根的关系，结合求根公式分Δ>0和Δ=0严谨证明，培养抽象能力和推理意识。应用环节设计例题、变式及综合检测，涵盖求代数式值、参数求解等，强化模型意识。学生能深化知识理解，教师可提升课堂效率。

第二章 一元二次方程 3 一元二次方程的根与系数的关系 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测 解下表中的方程,并完成填空: 知识关联 方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-2x-3=0 x2-3x+2=0 x2+5x+6=0 3 -1 2 -3 1 2 3 2 -2 -3 5 6 观察、思考一元二次方程两根之和与两根之积与系数有何关系,你能从中发现什么规律? 两根之和等于一次项系数的相反数,两根之积等于常数项 对于一元二次方程ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,其两根之和与两根之积与各项系数之间有怎样的关系呢? 韵 (authorId_273335559) - 学生通过计算、观察、分析,发现一元二次方程中根与系数的关系,发展学生的感性认识,体会由特殊到一般的认识过程. 【探究】一元二次方程的根与系数的关系 【情境问题】 如果ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1,x2是实数),那么一元二次方程ax2+bx+c=0必有两个实数根x=x1,x=x2. 反过来,如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)一定成立吗? (1)2x2-3x+1=0的两个根为x1=,x2=1,那么2x2-3x+1与2(x-)(x-1)相等吗?换几个一元二次方程再试一试. (2)你认为ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)是否一定成立?与同伴进行交流. 探究与应用 成立 【探究】一元二次方程的根与系数的关系 【概括新知】 如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根,那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2). 探究与应用 【探究】一元二次方程的根与系数的关系 【思考·交流】 根据上面的结论,你能发现一元二次方程ax2+bx+c=0的系数与它的两个根x1,x2之间有怎样的关系吗?与同伴进行交流. 探究与应用 当x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根时,根据上面的结论有ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), 所以ax2+bx+c=ax2-a(x1+x2)x+ax1x2. 所以, 于是 你能证明它们为什么成立吗？ 韵 (authorId_273335559) - 让学生根据上面得到的结论加以证明,并在组内进行交流,然后教师指名回答,并进行适当讲评. 【探究】一元二次方程的根与系数的关系 探究与应用 证明:当Δ>0时,由求根公式得 　　x1=,x2=, 所以x1+x2=+==-, x1x2=·==; 当Δ=0时,x1=x2=-, 所以x1+x2=- ,x1x2=. 【探究】一元二次方程的根与系数的关系 探究与应用 【概括新知】 如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,那么x1+x2=-,x1x2=. 通常也称其为韦达定理 【理解应用】 探究与应用 例 　利用根与系数的关系,求下列方程的两根之和、两根之积: (1)x2+7x+6=0; (2)2x2-3x-2=0. 解:(1)这里a=1,b=7,c=6. Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0, 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=-7,x1x2=6. (2)这里a=2,b=-3,c=-2. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0, 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1,x2,那么 x1+x2=,x1x2=-1. 注意: 方程不是一般式的,要先把一元二次方程整理为一般形式,确定a,b,c的值,然后比较b2-4ac与0的大小,最后利用根与系数的关系代入求值. 【理解应用】 探究与应用 变式 1.若x1,x2为方程x2-2x-1=0的两个实数根,求x1+x2-x1x2的值. 解：由根与系数的关系,可知x1+x2=2,x1x2=-1, 所以x1+x2-x1x2=2-(-1)=3. 2.已知方程x2-x-7=0的一个根是3,求它另一个根. 解:设方程的另一个根为x1, 则由根与系数的关系得3+x1=,解得x1=-. 所以它另一个根是-. 当c为负值时，一元二次方程必有实根 探究与应用 【拓展提升】 1.解答下列问题: (1)已知方程x2-3x+c=0的一个根为2,求另一个根和c的值. (2)关于x的方程2x2+5x+m-1=0的两根互为倒数,求m的值. 解：（1）将x=2代入方程x²-3x+c=0，得2²-3×2+c=0，解得c=2. 设另一个根为x1，则有2+x1=3，解得x1=1. 答：另一个根为1，c的值为2. (2)设方程的两根为x1和x₂， 因为两根互为倒数，所以x1x₂=1. =1，解得m=3. 当m=3时，原方程为2x²+5x+2=0, ∆=5²-4×2×2=9>0，符合题意. 答：m的值为3. 探究与应用 2.若一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x1,x2,求+的值. 解：由题意得x1+x2=1，x1x2=-1， 所以+===-1, 所以+=-1. 【拓展提升】 由两根和与积，还可以求（x1±x2)2，x12+x22，（x1+1)(x2+1)等代数式的值 韵 (authorId_273335559) - 师生活动:教师引导学生进行交流、讨论,确定出解决问题的方法,适时点拨,提示能否用多种方法进行解答. 【小结】 课堂小结与检测 求代数式的值，求另一根，或求参数的值 【达标检测】 1.设x1,x2是方程x2-4x+1=0的两个根,则 x1+x2=　　　 　,x1x2=　 　　　,  x12+x22=(x1+x2)2-　　　 　=　　　 　,  (x1-x2)2=(　　　 )2-4x1x2=　 　 　　.  2.已知方程x2+ax+b=0的两个根分别为2和3,则a=　　　　,b=　　　　.  3.已知方程x2-2x-c=0的一个根是3,求方程的另一个根及c的值. 4 课堂小结与检测 1 2x1x2 14 x1+x2 12 -5 6 解：将x=3代入方程x²-2x-c=0，得3²-2×3-c=0，解得c=3. 设另一个根为x1，3+x1=2，解得x1=-1. 答：另一个根为-1，c的值为3. 4.已知方程2x2-4x-5=0的两个根分别为x1和x2,求下列式子的值. (1)(x1+2)(x2+2); (2)x12x2+x1x22. 解：由根与系数的关系可知：x1+x2=2，x1x2=-， （1）(x1+2)(x2+2) =x1x2+2(x1+x2)+4 =+4+4 =. （2）x12x2+x1x22 =x1x2(x1+x2) =2 =-5. 课堂小结与检测 【达标检测】 5.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0. (1)若方程有实数根,求实数m的取值范围; (2)若方程两根x1,x2满足|x1-x2|=1,求m的值. 解：（1）∵一元二次方程mx2-2mx+m-2=0有两个实数根， ∴b2-4ac≥0且m≠0， 即4m2-4m（m-2）≥0，且m≠0， 解得m＞0. （2）根据根与系数的关系得：x1+x2=2，x1x2=， ∵|x1-x2|=1，∴（x1-x2）2=1， ∴（x1+x2）2-4x1x2=1， ∴4-4×=1，解得m=8， 经检验m=8是方程的解且满足m＞0， ∴m的值为8． 课堂小结与检测 【达标检测】 $