精品解析：2023年吉林省长春市力旺实验初级中学九年级下学期3月中考模拟测试数学卷

九年级数学测试 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较各个数的绝对值，绝对值最小的数，表示它离标准最近．本题考查了正、负数和绝对值，理解绝对值表示的意义是解决本题的关键．要注意从轻重的角度看，最接近标准的是绝对值最小的数． 【详解】解：依题意，，，， ∵． 离标准最近． 故选：C． 2. 随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：C． 3. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三视图判断即可； 【详解】的左视图、主视图是三角形，俯视图是圆，故A不符合题意； 的左视图、主视图是长方形，俯视图是三角形，故B不符合题意； 的主视图、左视图、俯视图都是正方形，故C符合题意； 的左视图、主视图是长方形，俯视图是圆，故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何体三视图的判断，准确分析是解题的关键． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 所以不等式组的解集为， 该解集在数轴上表示为： 5. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，则在线段垂直平分线上，由此即可得到答案． 【详解】解：∵，点在线段上， ∴， ∴在线段垂直平分线上， 结合选项可知，C选项的作图为线段垂直平分线，符合题意， 故选C． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质及作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法． 6. 如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树 4 米的点 C 处，用测倾仪测得树顶端的仰角为．若测倾仪离地面高 为米，则树高可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据锐角三角函数直接求解即可． 【详解】如图，在中，， 所以， 故选：C． 【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是用正切值解答． 7. 如图，在中，弦，与相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据圆周角定理即可得到． 【详解】解：∵弦，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作轴于D，则，由线段的比例关系求得，再根据反比例函数的k的几何意义得结果． 【详解】解：过点A作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，△AOB的面积为6， ∴，， ∴， ∴， 根据反比例函数k的几何意义得，， ∴， ∵， ∴． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，先化简二次根式，然后合并即可，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，再求出解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 11. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：9×人数－11=6×人数+16，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设有人共同买鸡，根据题意得： 故答案为： 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2，再利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且BD=4， ∴AC=BD＝4，OA=OC=OB=OD=2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积等知识，正确的识别图形是解题的关键． 13. 如图，一张三角形纸片其中，，．将纸片做两次折叠：第一次使点A落在点B处，得到折痕记为a，然后将纸面展平做第二次折叠，使点B落在点C处，折痕记为b．则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由折叠的性质得是的垂直平分线，即可根据中位线的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据折叠的性质得，接下来说明，即可求出，则此题可解． 【详解】解：如图所示， 由折叠的性质得是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，, ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得，即， ∴． 14. 已知二次函数图象与轴交于点A，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，等腰三角形的性质，等角对等边，正确应用数形结合思想是解题关键． 过点B作于D．根据二次函数的解析式和对称性求出和的长度，再根据等腰三角形的性质和等角对等边求出的长度，最后通过数形结合思想确定，再根据其列出不等式求解即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为：， 令，则， ， 点在二次函数的图象上．且轴， ， ， 过作于，如图， ，， ， 等腰直角三角形的边与轴有两个公共点， ， ， ， ， ， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______． （2）请写出此题的正确解答过程． 【答案】（1）一；根据分式的基本性质，的分子分母应同时乘以 （2） 原式 【解析】 【小问1详解】 解：该同学的解答过程是从第一步开始出错的，其错误原因是根据分式的基本性质，通分时，的分子分母应同时乘以； 【小问2详解】 略 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，概率公式的应用，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． （1）直接由概率公式求解； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：一共有三种可能，小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图： 共有9种等可能结果，小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的结果有5种， ∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 答：小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率是． 17. 2022年10月以来，长春市开始修建某段北部快速路，计划入冬前修建4200米，为了能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果提前14天完成修建任务.问原计划每天修快速路多少米？ 【答案】原计划每天修快速路100米 【解析】 【分析】设原计划每天修快速路x米，则实际每天修快速路米，然后根据题意列分式方程求解即可. 【详解】解：设原计划每天修快速路x米，则实际每天修快速路米 ，解得： 经检验是分式方程的解. 答：原计划每天修快速路100米. 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键. 18. 如图，在平行四边形中，连接，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ∴， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 四边形是矩形； （2）48 【解析】 【分析】（1）四边形是平行四边形，则，，由点是的中点得到，证得，，又，得到四边形是平行四边形，由即可得到结论； （2）由四边形是矩形，得到，，由勾股定理得到，则，四边形是平行四边形，则，，即可得到答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是矩形， ∴，， ∵， ， 则， 四边形是平行四边形， ， ， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画的高CH； （2）在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； （3）在图③中的外部画一点F，使，且． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先观察线段的横向和纵向格数分别为3，3，交换横向和纵向数据后，再在目标点按正确方向画出新线段，其横向和纵向格数分别为3，3． （2）构造相似三角形，其相似比为，即可把分成两段，． （3）将沿水平方向移动两格到处，再在上取点，过点作的垂线交于点，则垂直平分，故． 【小问1详解】 解：如图①，取格点，连接交于点，线段即为所求作． 【小问2详解】 解：如图②，取格点、，，，连接交于点，连接，点即为所求作． 【小问3详解】 解：如图③，连接、，交于，连接，线段即为所求作． 20. 年月7日，中国科学技术发展战略研究院在北京发布《中国区域科技创新评价报告2022》称，2022年，全国综合科技创新水平指数得分（以下简称：综合指数得分）为分，比2012年提高了分。根据年综合指数得分，全国31个地区可以划分为“创新领先地区”、“中等创新地区”和“创新追赶地区”三个梯队：“创新领先地区”为综合指数得分不低于全国平均分的地区；“中等创新地区”为综合指数得分低于全国平均分但不低于50分的地区；“创新追赶地区”为综合指数得分在50分以下的地区． 下面给出了报告中的部分信息： .综合指数得分的频数分布表（数据分成6组）： 综合指数得分 合计 频数 1 3 9 6 5 31 .综合指数得分在这一组数据是： 根据以上信息，回答下列问题： （1）综合指数得分的频数分布表中，________； （2）2022年，全国31个地区综合指数得分的中位数为________； （3）2022年，“中等创新地区”的数量约占全国31个地区的，则“创新领先地区”有________个； （4）从年到年，吉林省从“创新追赶地区”提升为“中等创新地区”，根据上述材料，以下推断一定正确的有_______．（填序号） 从年到年，吉林省综合指数得分在全国排名提升了； 从年到年，吉林省综合指数得分提高了； 年，吉林省综合指数得分超过了全国个地区综合指数得分的中位数． 【答案】（1）7 （2）63.36 （3）6 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频数的和等于总数即可得到答案； （2）根据中位数的定义即可求解； （3）先求出“中等创新地区”的数量，再根据三个梯队的和为31，即可求出答案； （4）根据已知材料及三个梯队的划分标准即可作出判断． 【小问1详解】 解：根据题意可得： 【小问2详解】 解：，，， 全国31个地区综合指数得分的中位数为． 【小问3详解】 解：， ． 【小问4详解】 解：虽然从“创新追赶地区”提升为“中等创新地区”，只能说明综合指数得分提高了，但不能说明综合指数得分在全国排名提升了，故错误，不符合题意； 从“创新追赶地区”提升为“中等创新地区”，综合指数得分肯定提高了，故正确，符合题意； “创新追赶地区”提升为“中等创新地区”，只能说明综合指数得分在低于全国平均分但不低于分的范围内，不一定超过中位数分，故错误，不符合题意． 21. 某小组在做“探究水的沸腾”实验时，实验装置如图①所示．实验中温度y（）和时间x（分钟）变化的数据记录如下表： 时间（分钟） 0 5 10 15 20 温度 25 40 55 70 85 （1）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接： （2）许你根据表中的数据及画出的图象，确定与之间的函数解析式； （3）若温度恰好达到时水开始沸腾，请求出从计时开始多长时间后水开始沸腾． 【答案】（1） 画出图像如图所示： （2） （3）从计时开始25分钟后水开始沸腾 【解析】 【分析】（1）根据画图像的三个基本步骤，落实即可． （2）运用待定系数法计算即可． （3）依据函数的解析式，转化为根据函数值，计算自变量的值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图表可得，该函数是一次函数， 设函数表达式为， 把点，代入得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为． 【小问3详解】 令，则， 解得， ∴从计时开始25分钟后水开始沸腾． 【点睛】本题考查了一次函数图像的画法，解析式的确定，根据解析式求自变量的值，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 22. 如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接． （1）【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明； （2）【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　； （3）【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　． 【答案】（1） 是等腰直角三角形．理由如下： 如图：过点M作于E，于F，则四边形为矩形， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 又∵， ， ， 又， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图：过点M作于E，于F，则四边形为矩形，再说明四边形为正方形可得，进而证得可得即可解答； （2）由是等腰直角三角形可知当时，有最小值，进而求得最小值；再根据题意可知，则即可解答； （3）如图：过点M作于G，延长交于H，则，先证明可得，进而解得，再证可得，进而求得、，最后根据三角形的面公式即可解答 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为等腰直角三角形， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴最小值， 又∵M不与B重合， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：过点M作于G，延长交于H，则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、等腰三角形的判定、动点问题、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键． 23. 如图，在中，是边上的高，，点是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，连结，作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为__________，的最大值为__________． （2）用含的代数式表示的长． （3）当点落在三角形内部时，求的取值范围． （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3） （4）或5 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，，，结合点是的中点，可得，如图，由轴对称的性质可得：，在以为圆心，为半径的圆上，当过圆心时，最大，此时，再进一步求解即可； （2）如图，当在线段上时，即，，可得，如图，当在线段上时，即，可得； （3）如图，当在上时，连接，可得，，延长交于，结合轴对称的性质可得：，求解，可得，当与重合时，，从而可得答案； （4）由（3）可得：当在上时，如图，证明，可得，结合（3）可得：；如图，当在上时，记与的另一个交点为，延长交于，结合轴对称的性质可得：，证明，连接，则，而，，证明四边形为矩形，可得，进一步可得答案． 【小问1详解】 解：如图， ∵，，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图，由轴对称的性质可得：， ∴在以为圆心，为半径的圆上， 当过圆心时，最大，此时， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为：； 【小问2详解】 解：如图，当在线段上时，即，， ∴， 如图，当在线段上时，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当在上时，连接， ∵为直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 延长交于，结合轴对称的性质可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 当与重合时，， ∴当点落在三角形内部时，的取值范围为； 【小问4详解】 解：由（3）可得：当在上时，如图， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 结合（3）可得：； 如图，当在上时，记与的另一个交点为，延长交于，结合轴对称的性质可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 连接，则，而，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 综上：当时，或． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题难度大，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点P为抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为时，求m的值． （3）已知点，点，以为邻边作． ①当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为 （2）m的值为1或 （3）①m的取值范围为或；②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况：①点在对称轴左侧（包括点P），即时，最低点为顶点，②点在对称轴右侧，即，最低点为点； （3）①分点在点的上方，且；点在点的下方，且，共两种情况，分别画图进行解答即可； ②分四种情况分别画图进行解答即可． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为． 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，最低点为顶点， ∴， 解得：； 当时，最低点为点， ∴， 解得：（不合题意舍去），； 综上所述，m的值为1或． 【小问3详解】 ①∵点，点，点，以为邻边作． ∴点， 当时，即抛物线与直线的交点纵坐标为， 设直线解析式为，把点，点代入得， ∴，解得， ∴直线解析式为， 联立得： ， 解得：（舍去）或， 即抛物线与直线交于， ∵抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大， ∴平行四边形在对称轴右侧（包括对称轴）， ∴， ∴， 当点在点的上方，且时，如图1， 则， 解得：， ∴； 当点在点的下方，且时，如图2， 则， 解得：； 综上所述，m的取值范围为或； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，与抛物线相交时，此时，如图3， 抛物线与交点纵坐标为：， 则， 解得：； 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而减小，与抛物线相交时，即交点为， 又∵，故此种情况不存在， 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大，与抛物线相交时，如图4， 则， 解得：； 当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大，与抛物线相交点时，如图5，此时， 则， 解得：或（舍去）； 综上所述，m的值为或或． 【点睛】此题是二次函数综合题，用到了二次函数的图象和性质、一元二次方程的解法、待定系数法、平行四边形的性质、解不等式组等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学测试 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 2022年卡塔尔世界杯比赛用球由中国制造，如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 随着人类基因组测序计划的逐步实施以及分子生物学相关学科的迅猛发展，越来越多的动植物、微生物基因组序列得以测定，已知某种基因芯片每个探针单元的面积为，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) A. B. C. D. 5. 如图，已知，用尺规在上确定一点，使，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量某一垂直于地面的树高，小明站在离树 4 米的点 C 处，用测倾仪测得树顶端的仰角为．若测倾仪离地面高 为米，则树高可表示为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，弦，与相交于点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点A在反比例函数的图象上，点B在x轴负半轴上，直线交y轴于点C，若，的面积为6，则k的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则a的值是______． 11. 我国古代数学著作《九章算术》中有“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？题意是：有若干人一起买鸡．如果每人出9文钱，就多出11钱；如果每人出6文钱；就相差16文钱．买鸡的人数、鸡的价钱各是多少？设有人，可列出方程为______________． 12. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F．若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留π）． 13. 如图，一张三角形纸片其中，，．将纸片做两次折叠：第一次使点A落在点B处，得到折痕记为a，然后将纸面展平做第二次折叠，使点B落在点C处，折痕记为b．则______． 14. 已知二次函数图象与轴交于点A，点在二次函数的图象上，且轴，以为斜边向上作等腰直角三角形，当等腰直角三角形的边与轴有两个公共点时，的取值范围是______． 三、解答题（共10题，共78分） 15. 某学生化简分式出现了错误，解答过程如下： 原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）该同学的解答过程是从第______步开始出错的，其错误原因是______． （2）请写出此题的正确解答过程． 16. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张邮票是“清明”的概率是________________． （2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）． 17. 2022年10月以来，长春市开始修建某段北部快速路，计划入冬前修建4200米，为了能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.5倍，结果提前14天完成修建任务.问原计划每天修快速路多少米？ 18. 如图，在平行四边形中，连接，E为线段的中点，延长与的延长线交于点F，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的面积． 19. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画的高CH； （2）在图②的线段AC上画一点D，连结BD，使得； （3）在图③中的外部画一点F，使，且． 20. 年月7日，中国科学技术发展战略研究院在北京发布《中国区域科技创新评价报告2022》称，2022年，全国综合科技创新水平指数得分（以下简称：综合指数得分）为分，比2012年提高了分。根据年综合指数得分，全国31个地区可以划分为“创新领先地区”、“中等创新地区”和“创新追赶地区”三个梯队：“创新领先地区”为综合指数得分不低于全国平均分的地区；“中等创新地区”为综合指数得分低于全国平均分但不低于50分的地区；“创新追赶地区”为综合指数得分在50分以下的地区． 下面给出了报告中的部分信息： .综合指数得分的频数分布表（数据分成6组）： 综合指数得分 合计 频数 1 3 9 6 5 31 .综合指数得分在这一组数据是： 根据以上信息，回答下列问题： （1）综合指数得分的频数分布表中，________； （2）2022年，全国31个地区综合指数得分的中位数为________； （3）2022年，“中等创新地区”的数量约占全国31个地区的，则“创新领先地区”有________个； （4）从年到年，吉林省从“创新追赶地区”提升为“中等创新地区”，根据上述材料，以下推断一定正确的有_______．（填序号） 从年到年，吉林省综合指数得分在全国排名提升了； 从年到年，吉林省综合指数得分提高了； 年，吉林省综合指数得分超过了全国个地区综合指数得分的中位数． 21. 某小组在做“探究水的沸腾”实验时，实验装置如图①所示．实验中温度y（）和时间x（分钟）变化的数据记录如下表： 时间（分钟） 0 5 10 15 20 温度 25 40 55 70 85 （1）在如图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接： （2）许你根据表中的数据及画出的图象，确定与之间的函数解析式； （3）若温度恰好达到时水开始沸腾，请求出从计时开始多长时间后水开始沸腾． 22. 如图①，在正方形中，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接． （1）【问题发现】在图①中小明想过点M分别作的垂线，发现和有特殊的关系，请你判断的形状，并根据小明的方法给出证明； （2）【问题解决】直接写出图①中的取值范围：　 　； （3）【类比探究】如图②，在矩形中，，M为对角线上一点，且，则　 　． 23. 如图，在中，是边上的高，，点是的中点，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点运动，连结，作点关于直线的对称点．设点的运动时间为秒． （1）线段的长为__________，的最大值为__________． （2）用含的代数式表示的长． （3）当点落在三角形内部时，求的取值范围． （4）当时，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点、，点P为抛物线上一动点，其横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）若此抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为时，求m的值． （3）已知点，点，以为邻边作． ①当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围； ②当抛物线在内部的部分的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，抛物线与的边交点的纵坐标之差为时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $