第10讲 圆的对称性12大题型（暑假预习讲义）新九年级数学新教材苏科版

第10讲 圆的对称性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 垂径定理的概念辨析 题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长） 题型3 利用垂径定理求平行弦问题 题型4 利用垂径定理求同心圆问题 题型5 利用垂径定理求解其他问题 题型6 垂径定理的推论 题型7 垂径定理的实际应用 题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10 利用垂径定理求最值（压轴） 题型11 垂径定理求半径综合（压轴） 题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂径定理 垂径定理的推论 1. 理解垂径定理的推导过程，熟记定理核心内容与几何表述。 2. 掌握垂直于弦的直径平分弦及对应两条弧的核心性质。 3. 能够熟练运用垂径定理进行线段、弧长的计算与求解。 4. 学会构造直角三角形，结合勾股定理解决圆的计算问题。 5. 培养几何识图建模能力，提升圆的几何推理应用素养。 学习重点：掌握垂径定理内容及几何语言，运用定理进行线段和弧的相关计算。 学习难点：构造直角三角形结合勾股定理解题，灵活运用定理解决变式问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 即时即练 1．垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 【答案】 平分 两条弧 【分析】根据垂径定理的概念即可求解． 【详解】解：垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 故答案为：平分；两条弧． 【点睛】本题主要考查垂径定理的概念，掌握垂径定理的概念是解题的关键． 2．下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．大小不相等的两个圆中不存在等弧 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直径也必平分弦 【答案】C 【分析】本题考查圆的对称性(既是轴对称又是中心对称图形)、等弧的定义：同圆或等圆中能重合的弧，大小不等的圆无等弧；以及垂径定理及其推论(垂直于弦的直径平分弦，平分非直径的弦的直径垂直于弦且平分弦所对弧)，核心是对圆的这些基础性质的理解与辨析．根据相关定义和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、圆沿着任意一条直径所在的直线对折后两部分都能完全重合，所以圆是轴对称图形；绕着圆心旋转后能与原图重合，所以圆也是中心对称图形，正确，故本选项不符合题意； B、等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。大小不相等的两个圆，半径不同，所以不存在等弧，正确，故本选项不符合题意； C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，如果这条弦是直径，那么任意一条直径都可以平分它，但不一定垂直，错误，故本选项符合题意； D、根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，设圆的半径长是r，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径的长． 【详解】解：设圆的半径长是r， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的直径． 故答案为：10． 知识点02 垂径定理拓展 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 即时即练 4．下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______． 【答案】①④ 【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念． 根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆心角和半径的关系，判断各语句的正确性． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确； ②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误； ③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误； ④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确； ⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误． 故答案为①④． 5．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为_______________    【答案】4 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是：根据垂径定理的推论得，再根据勾股定理得，即可求出答案． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 故答案为：4． 6．如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且． (1)证明：E是的中点； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证明，再证明，可得是等边三角形，则，可得，从而可得结论； （2）先求解，，再利用勾股定理求解的长，再利用垂径定理可得答案. 【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接， ∴， ∴， ∵过圆心O的直线， ∴，即是的中垂线， ∴， ∴． 即：是等边三角形， ∴， 在中，有， ∴， ∴点E为的中点； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，掌握“垂径定理及其推论”是解题的关键. 知识点03 垂径定理常见辅助线 常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 即时即练 7．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）过点C作于点H，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ， ∵， ， ∴， ， ∴的度数为； （2）解：过点C作于点H，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∴． 8．如图，为的直径，弦于E，已知，．求的直径． 【答案】15 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 连接，设圆O的半径为r，则，然后根据垂径定理得出，然后在中利用勾股定理进一步求解即可. 【详解】解：连接，设半径为r， ∵为的直径，弦于E，，． ∴，， 在中， ∵， 即， 解得， ∴． 9．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据垂径定理得，再利用勾股定理得，进而可求出，然后利用勾股定理求解即可．熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵为直径，且，， ∴， 在中，，根据勾股定理得： ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型1 垂径定理的概念辨析 1．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 【答案】A 【分析】根据垂径定理及其推论求解即可． 【详解】解：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，因此命题①是真命题； 对于命题②，当被平分的弦是直径时，任意两条直径互相平分，但不一定垂直，该命题缺少“被平分的弦不是直径”的条件，因此命题②是假命题， 综上，①是真命题，②是假命题． 2．下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦 【答案】A 【分析】根据圆的相关定义和定理逐一判断，解答即可． 本题考查圆的基本概念，包括弧、弦、等弧和垂径定理，熟练掌握相关定理和定义是解题的关键． 【详解】解：A：∵半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意； B：∵弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，∴弦不一定是直径，错误，不符合题意； C：∵等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意； D：∵垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意； 故选：A． 3．如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理，由于于点，是的直径，得到，，，即可得到答案． 【详解】解：∵于点，是的直径， ∴，，， 无法证明， ∴C不正确，符合题意；A、B、D正确，不符合题意； 故选：C． 4．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理；垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，据此解答即可. 【详解】解：根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧，可知： A、不符合题意； B、符合题意； C、不符合题意； D、不符合题意． 故选：B. 5．下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．根据垂径定理和垂径定理的推论进行判断即可． 【详解】解：A、平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦，符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，故原说法错误，不符合题意； C、平分弦的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； D、平分弦不是直径的直径必平分弦所对的两条弧，故原说法错误，不符合题意； 故选：A． 题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长） 6．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 7．如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，，若，，则的半径长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题考查垂径定理及勾股定理，理解题意是解决本题的关键． 设的半径是，由垂径定理得，根据勾股定理列得，即，求出即可． 【详解】解：设的半径是， 弦， ， ， ， ， ， ， 的半径长为5． 故选：A． 8．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 9．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 【答案】4 【分析】利用垂径定理平分弦，算出；利用直角三角形内角和、等边对等角逐步推导；依托直角三角形性质和勾股定理列方程，求解半径． 【详解】解：连接，设直径与弦交于垂足． 是直径，， 垂直平分， ． ， ， 在中，， ． ， ， ． 在中，，， ． 设半径，则． 由勾股定理：， 代入得： ， ． 的半径长为4． 10．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接． ∵是的弦，半径， ∴D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即D为的中点； (2)的半径为． 【分析】（1）连接，根据垂径定理推出，根据直角三角形的性质及等腰三角形的判定推出，等量代换即可得解； （2）连接，根据垂径定理推出，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理，据此求解即可． 【详解】（1）证明：略； （2）解：如图，连接． ∵半径，垂足为H，， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 即的半径为． 【易错警示】 运用垂径定理计算弦长、半径时，常忽略作垂直辅助线构造直角三角形。部分学生直接套用公式，记错半弦、弦心距与半径的勾股关系，混淆线段对应关系。解题漏解、不分类讨论，忽略题意隐含条件，最终导致计算结果出错。 题型3 利用垂径定理求平行弦问题 11．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 12．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 13．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 【答案】7或 【分析】过圆心作两条平行线的垂线，根据垂径定理分别在直角三角形中计算即可． 【详解】如图，当两条弦在圆心两侧时： AB、CD是⊙O的两条平行弦， 过圆心作MN分别垂直于AB、CD， 则根据垂径定理可得：，， 在中，； 同理在中，； 则， 同理可得：当两条弦位于圆心同侧时，， 故答案为：7或． 【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理解直角三角形，熟练掌握垂径定理并仔细计算是解题关键． 14．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 如图，即即为所求 【分析】本题考查了垂径定理，角平分线的定义； （1）连接并延长，交于点，连接，即可求解； （2）连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求． 【详解】（1）如图所示，连接并延长，交于点，连接，则即为所求； ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即即为所求 ∵ ∴ ∴ ∴， 连接， ∴垂直平分 ∴ ∴ 15．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型4 利用垂径定理求同心圆问题 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 17．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 18．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 19．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． （1）过点O作于点E，根据垂径定理，垂直平分和，即，，进而即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理计算和的长度，进而求的长度． 【详解】（1）证明：如图，过点 O 作于点E． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接． ∵， ∵， 题型5 利用垂径定理求解其他问题 21．如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 故选：B ． 22．如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 【答案】A 【分析】由垂径定理得垂直平分，进而推导出，，，，再根据三角形外角定理判断出，从而得到射门角越来越大的结论． 【详解】解：∵的圆心在上， ∴线段是的直径， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得：，，， ∵， ∴， 即， ∴射门角的变化情况是越来越大． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外角定理，解题关键是根据三角形外角定理判断角的大小关系． 23．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 24．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，垂径定理的应用，作于点，于点，利用垂径定理得到，，且易得四边形为矩形，进而得到，再利用等量代换即可得到． 【详解】解：作于点，于点， ，，， ， 易得四边形为矩形， ， ， ， 故答案为：． 25．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1) 如图，点O即为所求．    (2)圆片的半径是 【分析】（1）分别作弦的垂直平分线，交于点O，即为所求； （2）连接交于点D，连接，，则有，，再利用勾股定理构造方程求半径R即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于点D，连接，．    ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴，． 在中，， ∴． 在中，， ∴， 解得． ∴圆片的半径是． 题型6 垂径定理的推论 26．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查网格中圆弧所在圆的半径计算，解题核心是利用垂径定理的推论确定圆心，再结合勾股定理计算半径． 【详解】解：圆弧经过，，三点，连接，， 圆心在和垂直平分线的交点， 半径． 27．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理可得、 ，，无法得到，，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接、， ∵是的直径，为弦，于点， ∴，，， ∴，， ∴B选项结论成立，符合题意；A选项结论不成立，不符合题意； 证明缺少条件，即C选项结论不成立，不符合题意， 无法判断，即D选项结论不成立，不符合题意． 故选：B． 28．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 29．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 【答案】2 【分析】连接，根据垂径定理推论可得，，勾股定理求出，即可得． 【详解】解：连接， ∵点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，弦的长为8， ∴，， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴． 30．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 【易错警示】 运用垂径定理推论时，极易忽略“弦不为直径”这一前提条件，盲目套用结论。不能正确区分定理与推论的适用场景，误判垂直、平分弦、平分弧的对应关系，缺少分类讨论，造成几何判断和解题推理出现错误。 题型7 垂径定理的实际应用 31．如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为C是弧的最高点且垂直，所以根据垂径定理所在直线必然经过弧对应圆的圆心，且D为的中点．设圆的半径为r，那么圆心到弦的距离可表示为()，的长度为的一半即．连接圆心与点A，得到直角三角形，直角边分别为弦长的一半和圆心到弦的距离，斜边为半径，因此可根据勾股定理建立关于r的一元二次方程，求解得到半径． 【详解】 解：设圆心为O，连接， ∵是弧的最高点到的距离， ∴，， ∴， ∴O、D、C三点共线， 设圆的半径为， ∵，为， ∴，． 在中，由勾股定理得： ， 代入得： ， 解得． ∴所在圆的半径为． 32．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，连接，根据矩形的性质和垂径定理求得的值，通过构建直角三角形，利用勾股定理进行计算即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接，如图： 根据题意可得：四边形是矩形，， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴，， 设的半径为，则， 在中，， 即， 解得， ∴拱门最高点到地面的距离是． 33．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 【答案】 【分析】作辅助线构造直角三角形，设圆心到其中一条弦的距离为未知数，利用勾股定理建立方程求出半径，进而求得直径． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为，半径为过点作于点，交于点，连接，， 纸条上下边沿平行，且， ， 由垂径定理可知，为中点，为中点， ，， 由题意及图形可知，圆心在弦，之间，且为纸条宽度， ，即， 设，则， 在中，，即， 在中，，即， ， 解得， ， 水杯杯口的直径为． 34．项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 【答案】25 【分析】本题考查垂径定理的推论，勾股定理，求圆的周长，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 连接，设喷泉的半径为，根据垂径定理和勾股定理进行求出半径，根据喷泉的半径求出防护栏的半径，进而求出防护栏的周长，进而求解即可． 【详解】解：连接，设喷泉的半径为，则：， ∴， ∵D是弦的中点， ∴，， ∴， ∴， 解得：米， ∴（米）， ∴（盏）． 答：大约需要安装25盏景观灯． 35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 【答案】(1)50分米 (2)10分米 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理得分米，设圆的半径为r分米，则分米，分米，利用勾股定理得，即，解方程即可得解； （2）设水面升到如图的位置，则，与相交于点G，根据垂径定理得分米，由勾股定理求出，再根据即可得解． 【详解】（1）解：如图，由题意可知，分米，分米， ∵分米，， ∴分米， 设圆的半径为r分米，则分米，分米， 在中，，即， 解得， 即该圆的半径为50分米； （2）解：设水面升到如图的位置，则，与相交于点G， ∵，且经过圆心， ∴（分米）， 连接， 在中，分米，分米， ∴（分米）， ∴（分米）， 即水面上涨的高度为10分米． 【易错警示】 垂径定理实际应用中，常忘记作垂线构造直角三角形解题。容易混淆弦长、半弦、弦心距与半径的关系，误用勾股定理。部分题目存在双解，学生常遗漏分类讨论，忽略图形位置变化，导致答案不完整而出错。 题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解 36．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 37．如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 39．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 40．如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据三线合一得到，再根据等弧所对圆心角相等得到，推出，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质以及线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证 41．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了“弧，弦，圆心角”的关系，全等三角形的性质和判定， 根据“弧，弦，圆心角”的关系得，即可说明A，C；再证明解答D即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则A正确，C正确； ∵， ∴， ∴，则D正确． 不一定相等，则B不正确 故选：B． 42．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴O到的距离相等， 由题意，不一定成立， 结合选项可知，选项B、C、D结论成立，不符合题意；选项A结论不一定成立，符合题意； 故选：A． 43．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 44．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 45．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 题型10 利用垂径定理求最值（压轴） 46．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作点关于的对称点，连接，交于点，连接，由轴对称性可得，则，故当三点共线时，最小，最小值为，由弧和圆心角的关系可求，进而求出，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，交于点，连接， ∵点与点关于对称， ， ， 则当三点共线时，最小，最小值为， ∵是的直径，，点是的中点， ， ， 又， ， ∴的最小值为2． 47．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆，由勾股定理得：，为的中位线，当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：，如图2：此时，即的最大值为4，由此即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，以点为圆心，以为半径作圆， ∵为的直径， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴为的中位线， ∴，即弦的弦心距， ∵点为的中点， ∴为弦的弦心距， ∵， ∴， ∴当点，在上运动时，点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点在的延长线上时，为最大， 如图2：此时，即的最大值为4， 故选：B． 48．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于两点，与轴交于两点，为上一动点，于点，则点在上运动的过程中，线段的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】连接，过点作于点，连接，根据斜边中线得到，根据垂径定理和勾股定理得到，再根据得到当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 【详解】解：连接，过点作于点，连接， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵中， ， ， ， ， ∵， ∴当点在的延长线上时，的长最小，最小值为． 故选C． 49．如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 【答案】// 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到． 【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最小时，最大，即最大， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 50．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称、垂径定理、勾股定理和圆的有关知识，解题的关键是通过作辅助线，根据三角形三边关系确定的取值范围． 把所在的圆补全为，可知点与点关于对称，求出，长，的最小值为． 【详解】解：如图，把所在的圆补全为，连接，，，，交于点，可知点与点关于对称，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型11 垂径定理求半径综合（压轴） 51．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先取 的中点 ，利用弧长关系得出 ，然后通过垂径定理和勾股定理建立关于半径的方程求解即可． 【详解】解： 如图，取 的中点 ，连接 ， ． ， ， ． 过点 作 于点 ，连接 ， ，且 ，， 三点共线 ． 在 中，． 设 的半径为 ，则 ， ， 在 中，， 解得 ． 52．如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【分析】本题考查了圆的弦长性质与勾股定理的应用，解题关键是通过作弦的垂线构造矩形和直角三角形，利用弦长、距离与半径的关系列方程求解． 过圆心作的垂线，利用垂径定理得弦的一半为，结合知四边形为矩形，再通过勾股定理先求弦心距的平方，最终求出圆的半径即可． 【详解】如图：过点O作，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设，，半径， 在中，由勾股定理得 即 ①， 在中，由勾股定理得 即 ②， 由①②可知 ， 在中，，由勾股定理得 即， ， ， 解得， ， ， ． 故选C． 53．如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________． 【答案】 【分析】连接交于点，根据矩形的性质和中点的定义可得，，，由圆的对称性可知圆心在直线上，设半径为，在中利用勾股定理构建关于的方程求解. 【详解】解：连接交于点， 四边形是矩形，分别是的中点， 则：互相垂直平分， ， ∵点在上， 圆心在弦的垂直平分线上， 且平分， 圆心在直线上， 设的半径为，则， 由图可知点在的延长线上， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得. 54．如图，内接于，，若，，则的半径是______． 【答案】 【分析】过点作交于点，交于点，连接，，由垂径定理可得的长，，结合已知可得，从而可得的长，在中，由勾股定理可得的长，设的半径为，在中，由勾股定理列方程求解即可得解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， 设的半径为，则， ， 在中，， ， 解得， 即的半径为． 55．如图，在中，、为弦，为直径，于点E，于点F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明：连接， ∵为直径，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，则，再根据垂直得到，结合对顶角相等得到，则，最后根据等腰三角形三线合一的性质得到； （2）连接，设的半径为，即，由，，得到，再根据垂径定理得到，最后在中根据列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 设的半径为，即， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径，，， ∴， ∵中， ∴， 解得或（舍去）． ∴的半径为． 题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴） 56．如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．如图，连接，过点O作交于T，连接．证明是等边三角形，设，再利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作交于T，连接． 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 设，则， 在中，， ，由勾股定理，得 在中， ， ， ， ， 故答案为；6． 57．如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则________．    【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可． 【详解】如图，连接，交于点N，过点B作， 将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， ，， ， ， ， ∵在中，，即 ∴， ， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， 故答案： 58．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 【答案】或或2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：为直径，为弦， ， 当的长为正整数时，或2， 当时，即为直径， 将沿翻折交直线于点F，此时与点重合， 故； 当时，且在点在线段之间， 如图，连接， 此时， ， ， ， ， ； 当时，且点在线段之间，连接， 同理可得， ， 综上，可得线段的长为或或2， 故答案为：或或2． 59．如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先作好辅助线，利用翻折性质得出△OBF为等边三角形，进而得出OB，再利用过直径的三角形是直角三角形得出OE=EB=，进而即可得解. 【详解】当BD过圆心时最大，连接OA，作OE⊥AB，还原劣弧，设与点O对应的点为F，连接FB、FC、OF，OF交BC于G，如图所示： 由翻折的性质，得 OB=BF，∠OBC=∠FBC ∵翻折后刚好经过圆心 ∴OB=OF ∴△OBF为等边三角形，即∠OBC=30° ∵OF⊥BC ∴ ∵ ∴BG=CG=1.5 ∴ ∵，OE⊥AB，OA=OB ∴∠ABD=∠ADB=45° ∴OE=EB= ∴ 故选：A. 【点睛】此题主要考查折叠的性质以及圆性质的综合应用，解题关键是作辅助线，利用特殊角三角函数进行求解. 60．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 【答案】B 【分析】连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，则AD＝4，先利用折叠的性质和圆周角定理得到 ，再利用弧、弦、圆心角的关系得到AC＝CD＝DE，则AF＝DF＝2，然后利用勾股定理计算出CF，接着再计算出CD即可． 【详解】解：连接CA、CD、OC，作CF⊥OA于F，如图， ∵⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E， ∴为等圆中的弧， ∵它们所对的圆周角为∠ABC， ∴， ∴AC＝CD＝DE， ∴AF＝DF＝2， 在Rt△OCF中，CF＝＝4， 在Rt△CDF中，CD＝＝ ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系，掌握圆周角定理及弧，弦，圆心角之间的关系是解题的关键． 1．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】连接，由垂径定理得出，由勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接， ∵是的弦，半径， ∴， 在中， ， ∴． 2．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据垂径定理得到，在中利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ∴在中，， ∴． 3．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 设的半径为，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列出方程，求解半径，从而求出直径长度． 【详解】解：设的半径为， 、、， 为的直径，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 寸． 4．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考了垂径定理，连接，过点P作于点，由垂径定理可得，根据坐标可得，从而得到即可求出点A的坐标． 【详解】解：连接，过点P作于点D， ∴， ∵点P的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∴点A的坐标为． 故选：C． 5．如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 延长交于E点，连接，根据垂径定理可得，构造直角三角形，然后再根据勾股定理求出其长度即可． 【详解】解：延长交于E点，连接， ∵， ∴E为的中点， ∵的半径长为4，恰好经过的中点， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选：B． 6．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 7．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则长为（    ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理的综合应用．设圆的半径为，利用垂径定理得到，再结合勾股定理分别在和中建立方程，求出半径后计算弦长． 【详解】解：如图，连接． 设的半径为，则． ∵， ∴，． ∵，根据垂径定理，得． 在中，由勾股定理得：， 即，化简得， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得(舍去负根)， ∴，． ∵， ∴； 故选：C． 8．如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键；延长交于点，连接，构造直角三角形， 然后根据勾股定理求出的长． 【详解】解：延长交于点，交于点F，连接， ， 为的中点， ，， ， 由折叠的性质可知：， ， 在中，由勾股定理可得：， ． 故选：B． 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 作，，作，设，先说明四边形是矩形，得到，再利用“”说明，得到，根据勾股定理列出方程，求出，，最后根据垂径定理，计算即可求解． 【详解】解：如图，作、交于点、，作于点， 设， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 点到水面的距离为， ，则， 圆形轮盘分布了12个水斗，水斗A和B中间还有2个水斗， ， ， 又，即， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 则，即，解得，， 或， ， 点是的中点，即， 或． 故选：D． 10．如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 先证，进而得出，，由垂径定理得，再用勾股定理解即可． 【详解】解：点D是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，连接，设的半径为r，设， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 故选：A． 11．如图，是的直径，弦于点，，，连接．则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，熟悉垂径定理，勾股定理是解题的关键．根据题意，再在，利用勾股定理求得，再根据，求出结果即可． 【详解】解：是的直径，弦于点E，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 即， 解得：，负值舍去， ． 故答案为：1． 12．如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，掌握垂径定理是关键． 如图所示，连接，设，由圆的基础知识，垂径定理得到，根据勾股定理列式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴的半径长为5， 故答案为：5 ． 13．如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 15．往直径为的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为____________． 【答案】/1米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，过点作于点，交于点，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， 在中，， ∴， 即水的最大深度为． 故答案为：． 16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理列式计算，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，，    根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 故答案为： 17．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 【答案】 【分析】连接，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，进而可知，再根据“弧、弦和圆心角的关系”可得，然后在中，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．如图，将一块等腰的直角顶点C放在上，绕点C旋转三角形，使边经过圆心O，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为_____． 【答案】6 【分析】连接，作，根据垂径定理得到，用表示，在等腰中求，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，过O点作， ∴， 设，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：（舍去）或． 故的长为6． 19．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为___________． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，，过圆心O，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：5． 20．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的折叠问题，涉及垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点，由折叠可得，运用勾股定理可求，再由垂径定理即可求解． 【详解】解：将半圆沿弦所在的直线折叠，半圆上的点与点重合，连接交于点， 是的直径，且， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ，， ， 是的半径，是的弦，且于点， ， ， 故答案为： 21．如图，是的直径，，．求的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【详解】解：∵，， ∴，而为直径， ∴ 答：的度数为. 22．如图，的直径，是的弦，，垂足为E，． (1)线段的长为多少？ (2)弦的长为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． （1）根据的直径，则的半径为，再由，即可求解； （2）连接，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】（1）解：∵的直径， ∴的半径为， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的弦，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由得出，即，即可得证； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 24．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系． （1）连接，求出和度数，求出，即可求出度数，即可求出答案； （2）根据得出，求出，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到． 【详解】（1）解：连接，如图， ，， ， ， ， 连接， ， ， ， 的度数是， 的度数是； （2）证明：， ， ， ． 25．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 26．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图， 设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为． 27．如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径长为 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用、垂直平分线的性质和平行四边形的性质，灵活运用知识点是解决本题的关键． （1）连接并延长交于点F，根据切线的定义可得，再根据平行四边形的性质和垂径定理可得垂直平分，进而即可求证； （2）设的半径为r，连接，则，根据平行线的性质可得，则，进而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 证明：如图，连接并延长交于点F， ∵与相切， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴； （2）解：设的半径为r，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， 解得． ∴的半径长为． 28．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可得出答案； （2）过点 C 作于点 H ，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用等面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：过点作于点，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 29．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的弧、弦关系及垂径定理的应用，解题的关键是利用弧与弦的对应关系、垂径定理结合勾股定理计算线段长度． （1）通过直径与弦垂直的性质、弧的等量关系，推导弦的相等关系； （2）连接、，利用垂径定理得，结合勾股定理列方程求半径，再计算的长度． 【详解】（1）证明：∵是的直径，， ， ， ， ， ； （2）解：连接、， 则， ∵且， ∴， ∵是的直径，是的弦，于点 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 即的长是． 30．如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 【答案】(1)6 (2)2 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）连接，根据三线合一的性质得出，，在中，根据勾股定理可得出，求出，即可求解； （2）由（1）可求出，根据勾股定理求出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，D为的中点， ∴，， ∴， 又，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，， 又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆的对称性 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 垂径定理的概念辨析 题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长） 题型3 利用垂径定理求平行弦问题 题型4 利用垂径定理求同心圆问题 题型5 利用垂径定理求解其他问题 题型6 垂径定理的推论 题型7 垂径定理的实际应用 题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证 题型10 利用垂径定理求最值（压轴） 题型11 垂径定理求半径综合（压轴） 题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 垂径定理 垂径定理的推论 1. 理解垂径定理的推导过程，熟记定理核心内容与几何表述。 2. 掌握垂直于弦的直径平分弦及对应两条弧的核心性质。 3. 能够熟练运用垂径定理进行线段、弧长的计算与求解。 4. 学会构造直角三角形，结合勾股定理解决圆的计算问题。 5. 培养几何识图建模能力，提升圆的几何推理应用素养。 学习重点：掌握垂径定理内容及几何语言，运用定理进行线段和弧的相关计算。 学习难点：构造直角三角形结合勾股定理解题，灵活运用定理解决变式问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE CD是直径 CD⊥AB 推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 即时即练 1．垂径定理 垂直于弦的直径_____这条弦，并且平分弦所对的_____． 2．下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．大小不相等的两个圆中不存在等弧 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直径也必平分弦 3．如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为__． 知识点02 垂径定理拓展 垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 即时即练 4．下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号是______． 5．如图，都是的半径，交于点D．若，则的长为_______________    6．如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且． (1)证明：E是的中点； (2)若，求的长． 知识点03 垂径定理常见辅助线 常见辅助线做法： ⑴过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 即时即练 7．如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 8．如图，为的直径，弦于E，已知，．求的直径． 9．如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则的长为 ___________． 题型1 垂径定理的概念辨析 1．已知命题：①垂直于弦的直径平分这条弦；②平分弦的直径垂直于这条弦，下列对这两个命题的判断，正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 2．下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦 3．如图，是的直径，是弦但不是直径，于点，连接，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，是的直径，CD为弦，于点E，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列命题正确的是（ ） A．平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦 B．垂直于弦的直线平分弦 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 题型2 利用垂径定理求值（半径、弦长） 6．如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 7．如图，为的直径，弦，垂足为点，连接，，若，，则的半径长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 9．如图，AB是的直径，，，，则的半径长为___________． 10．如图，是的弦，半径，垂足为H，，交延长线于点C． (1)求证：D是的中点； (2)若，，求的半径． 【易错警示】 运用垂径定理计算弦长、半径时，常忽略作垂直辅助线构造直角三角形。部分学生直接套用公式，记错半弦、弦心距与半径的勾股关系，混淆线段对应关系。解题漏解、不分类讨论，忽略题意隐含条件，最终导致计算结果出错。 题型3 利用垂径定理求平行弦问题 11．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 12．已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 13．已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的半径为17cm，，，则AB、CD间的距离为________． 14．如图，已知点，，均在上，请用无刻度的直尺作图． (1)如图1，若点是的中点，试画出的平分线； (2)如图2，若，试画出的平分线． 15．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 题型4 利用垂径定理求同心圆问题 16．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 17．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 18．如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 19．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 20．如图，在以点O为圆心的两个同心圆（两圆的圆心均为点O）中，大圆的弦交小圆于点C，D． (1) 求证：． (2) 若大圆的半径，小圆的半径，且圆心 O 到直线的距离为 3，求的长． 题型5 利用垂径定理求解其他问题 21．如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 22．如图，为球门边框的两端点，为的外接圆，．当运动员带球沿运动时，射门角的变化情况是（    ） A．越来越大 B．越来越小 C．不变 D．无法确定 23．如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 24．如图，和相交于和，过点作的平行线交两圆于，已知，则________． 25．在历史长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能利用自身所拥有的专业知识去修复文物，使其重获新生．相信同学们也能成为小小文物修复师．如图，要把残破的圆形文物片复制完整．已知弧上的三点A，B，C．    (1)用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法） (2)设是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 题型6 垂径定理的推论 26．如图，网格中的每个小正方形的边长都为1，一条圆弧经过，，三点，则这条圆弧所在圆的半径长为（     ） A． B． C．2 D． 27．如图，是的直径，为弦，于点，连接，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 28．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 29．如图，的半径为5，弦的长为8，点C是上一点，且，连接并延长，交于点D，交于点E，则的长为________． 30．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【易错警示】 运用垂径定理推论时，极易忽略“弦不为直径”这一前提条件，盲目套用结论。不能正确区分定理与推论的适用场景，误判垂直、平分弦、平分弧的对应关系，缺少分类讨论，造成几何判断和解题推理出现错误。 题型7 垂径定理的实际应用 31．如图，有一个圆弧形的门洞，，上的最高点到水平地面的距离为，则所在圆的半径为（   ） A． B． C． D． 在中，由勾股定理得： ， 32．花都岭南园，坐落于风景秀丽的花都湖国家湿地公园内，融合了广东地区独特的建筑风格与自然景观，展现了岭南文化的深厚底蕴和精湛技艺．园内亭台楼榭错落有致，有一处“月影通楼”的拱门建筑，外观可以看作圆形．如图，圆形拱门下端是一个长方形，拱门所在的与长方形的边相切于点，点为拱门的最高点，经测量，，，则拱门最高点到地面的距离是（     ） A． B． C． D． 33．一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量水杯杯口的直径？学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，，则该水杯杯口的直径为________． 34．项目学习 项目背景：“音乐喷泉”是某市民广场的一个打卡点，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏．现在对喷泉进行测量和规划，综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何对音乐喷泉进行测量和规划 活动内容 利用三角形与圆等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 示意图如图所示，点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以点为圆心，为半径作防护栏所在圆（图中虚线所在的圆）． 数据 米，米．图中防护栏的厚度忽略不计． 计算 … 交流展示 … 根据上述数据，若要在防护栏上至少每隔1.5米安装一盏景观灯，最多需要安装多少盏景观灯？（结果取整数，取3.14） 35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为60分米，过点作，交于点，交AB于点，水面下盛水筒的最大深度为10分米（即分米）． (1)求的半径； (2)若水面上涨，导致被水面截得的弦从原来的60分米变为80分米，且圆心仍在水面上方时，求水面上涨了多少分米？ 【易错警示】 垂径定理实际应用中，常忘记作垂线构造直角三角形解题。容易混淆弦长、半弦、弦心距与半径的关系，误用勾股定理。部分题目存在双解，学生常遗漏分类讨论，忽略图形位置变化，导致答案不完整而出错。 题型8 利用弧、弦、圆心角的关系求解 36．如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 37．如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 38．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 39．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 40．如图，已知是的直径，弦与弦交于点E，且，垂足为点F．若点C是的中点． (1)求的度数； (2)若，求的值； 题型9 利用弧、弦、圆心角的关系求证 41．如图，在中，下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 42．如图，在中，是直径，．下列结论不一定成立的是（　　） A． B． C． D．O到的距离相等 43．如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 44．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 45．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 题型10 利用垂径定理求最值（压轴） 46．如图，是的直径，，点B是的中点，点P是直径上一动点．连接，，．若，则的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 47．如图，内接于为的直径，点D，E分别为上的动点（不与点A，点B，点C重合），且，F为的中点，分别连接，若，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 48．如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为2的圆与轴交于两点，与轴交于两点，为上一动点，于点，则点在上运动的过程中，线段的长的最小值为（　　） A． B．1 C． D． 49．如图，在平面直角坐标系中，、，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于、，则线段的最大值为_____． 50．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是弧的中点．连接，则的最小值为 _______． 题型11 垂径定理求半径综合（压轴） 51．某中学数学兴趣小组探究圆内接四边形性质时，遇到如下问题：如图，四边形内接于，．若，，则的半径是（     ） A． B． C． D． 52．如图，⊙O中，弦，若于点P，且，则的半径为（    ） A．cm B．cm C．5cm D．6cm 53．如图，矩形是长方体玻璃片的截面，已知．现将长方体玻璃片打磨成一个凸透镜（截面如图中的阴影部分所示），透镜的边缘经过矩形各边的中点E，F，G，H，若点E，F，G在以点O为圆心的圆上，则的半径为________． 54．如图，内接于，，若，，则的半径是______． 55．如图，在中，、为弦，为直径，于点E，于点F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 题型12 利用垂径定理解决翻折圆问题（压轴） 56．如图，在中将弧沿弦翻折经过圆心交弦于点，则长为_____． 57．如图，在中，点为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点与圆心重合．点为优弧上一点，连接、、．若，，则________．    58．如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为______． 59．如图，四边形内接于，，．劣弧沿弦翻折，刚好经过圆心．当对角线最大时，则弦的长为（    ） A． B． C． D． 60．如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连结DE．若AB＝10，OD＝1，则线段DE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．+1 1．如图，是的弦，半径，垂足为点，设的半径为，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 3．“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：如图所示，为的直径，，垂足为E，寸，寸，则直径长度是（    ） A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸 4．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A、B两点，点P的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 5．如图，的半径长为4，将沿折叠，恰好经过的中点，且，则折痕长为（    ） A． B． C．4 D． 6．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则长为（    ） A．4 B． C．8 D．9 8．如图，将半径为6的沿折叠，与垂直的半径交于点D且，则折痕的长为（　　） A． B． C．6 D． 9．水车是中国古代重要的灌溉工具，图1是某种型号水车的示意图，其外围部件是绕中心轴旋转的圆形轮盘，它的边缘平均分布了12个水斗，这些水斗随轮盘转动而升降．如图2，在水车顺时针转动时，其中的1个水斗在点处放空水，同时有1个水斗刚好在点处接触水面，中间还有2个水斗，已知外围轮盘半径为，点到水面的距离为，则水面宽度为（    ） A． B． C．或 D．或 10．如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，交于另一点F．若，，则的半径是（   ） A． B． C．6 D．10 11．如图，是的直径，弦于点，，，连接．则的长为______． 12．如图，为的弦，，交于点，垂足为，，则的半径长为_____． 13．如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 14．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 15．往直径为的圆柱形容器内装入一些水后，截面如图所示．若水面宽，则水的最大深度为____________． 16．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，则该门洞的半径是_____． 17．如图，，为的直径，点为的中点，连接，，若，则的度数为_________． 18．如图，将一块等腰的直角顶点C放在上，绕点C旋转三角形，使边经过圆心O，某一时刻，斜边在上截得的线段，且，则的长为_____． 19．某数学兴趣小组仅用一张矩形纸条和一把刻度尺，测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则纸杯杯底的半径为___________． 20．如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则弦的长是________． 21．如图，是的直径，，．求的度数 ． 22．如图，的直径，是的弦，，垂足为E，． (1)线段的长为多少？ (2)弦的长为多少？ 23．如图，在中，． 求证： (1)； (2)． 24．如图，在中，；，以为直径作，分别交、于、． (1)求的度数； (2)求证：． 25．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 26．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 27．如图，在平行四边形中，过A，B，C三点的交于点E，且与相切． (1)求证：； (2)若，求的半径． 28．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 29．如图，是的直径，是的弦，于点E，点F在上且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 30．如图，是半圆O的直径，，点C在半圆O上，D为的中点，连接并延长交半圆O于点E． (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，过点E作，垂足为F，若，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $