18.1.1 勾股定理（题型专练，6基础题型+7提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

18.1.1 勾股定理 题型一 利用勾股定理解直角三角形 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 3．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则 ． 4．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 题型二 利用勾股定理证明线段的平方关系 5．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 6．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 7．已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ． 8．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 题型三 求线段的平方和或差 1．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 2．在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A．20 B．100 C．200 D．144 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 5．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值． 题型四 根据直角三角形的三边求面积 1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 2．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为 ． 4．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 题型五 勾股定理与网格问题 1．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为 ． 题型六 证明勾股定理 1．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A．B．C． D． 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简） 4．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    题型一 利用勾股定理解决折叠问题 1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 2．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 4．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 题型二 解决弦图中的计算问题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 3．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 4．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 5．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 题型三 构造直角三角形利用勾股定理解决问题 1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 2．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？ ． 4．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 题型四 利用勾股定理求线段的长 1．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 2．如图，在中，，，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 3．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 4．如图，四边形中，， 且，满足关系，若，则的长为 ． 5．如图，、是线段上的两点，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，发现，则的值为 ． 6．如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点已知，，，求的长． 题型五 勾股定理解决规律类问题 1．如图，，过点作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 2．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（   ） A．2025 B． C． D．2024 3．如图，在中，已知，，，a，b，c…是在内部的长方形，它们的一个顶点在上，一组对边分别在上或与平行，另一组对边分别在上或与平行．若各长方形在上的边长相等，长方形a的一边长是，则这样的长方形a、b、c…的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型六 勾股定理与面积问题 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 2．如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．20 3．如图，在正三角形中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，长3，长4，长为12，则正方形的面积为 ． 5．如图，在中，，，平分交于点D，求的面积． 题型七 勾股定理与三角形全等的综合 1．将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 3．如图，中，，于点D， 平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，，则 的值（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．14 B．20 C．24 D．25 5．如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 6．如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 1．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 2．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 4．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 5．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1.1 勾股定理 题型一 利用勾股定理解直角三角形 1．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么，即． 利用勾股定理直接计算斜边的长度即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴是直角三角形，和为直角边，为斜边， ∴． 故选：B． 2．如图，在中，，，，则的长为（   ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是关键． 直接根据勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ， 故选：B． 3．已知直角三角形的三边长分别为，，（是斜边），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：由勾股定理，得， 去括号，得， 化简，得， 移项得， 合并同类项，得， 解得． 故答案为：． 4．已知中，，为直角边，为斜边． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （）利用勾股定理直接计算即可； （）利用勾股定理直接计算即可； 【详解】（1）解：∵为直角边，为斜边，， ∴； （2）解：∵为直角边，为斜边，， ∴． 题型二 利用勾股定理证明线段的平方关系 5．在中，，，的对边分别是，，，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：，，的对边分别是，，，， 为斜边， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 6．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则下列关系正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设斜边为c，根据勾股定理即可得出，再由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设斜边为c，根据勾股定理即可得出， ， ，即a2b2=a2h2+b2h2， ， 即， 故选A. 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 7．已知直角三角形的三内角、、所对的边分别是、、，是直角，则、、三者之间的关系是 ． 【答案】 【分析】根据在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即可得到答案. 【详解】解：在直角三角形中，是直角， ∴； 故答案为. 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握定理的运用. 8．如图，在中，是的中点，于点D，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查勾股定理，先根据勾股定理得出，，再得出，根据M为中点，得出，进而进行转换可得出结论． 【详解】解：连接． 因为， 所以， 所以，， 因为， 所以． 因为M为中点， 所以， 所以． 题型三 求线段的平方和或差 1．若直角三角形的三边长为，则的值为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 2．在Rt△ABC中，斜边BC=10，则BC2+AB2+AC2等于(　　) A．20 B．100 C．200 D．144 【答案】C 【分析】根据勾股定理得出，AB2＋AC2= BC2，即可求出答案 【详解】∵在Rt△ABC中，斜边BC＝10 ∴AB2＋AC2= BC2=100 ∴BC2＋AB2＋AC2=100+100=200 故答案为C 【点睛】此题考查了勾股定理的基本运用，三边平方关系是解决此题的关键 3．如图，四边形中，对角线，相交于点，且．若，，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，利用勾股定理找到之间的关系即可求解． 【详解】解：因为，所以， 由勾股定理得， ， 所以，所以． 因为，， 所以， 故选：B． 4．如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 5．如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若EF＝10，求CE2 ＋ CF2的值． 【答案】100 【分析】根据角平分线的定义推知∠ECF=90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可． 【详解】解：∵ B、C、D三点在一条直线上，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF＝∠ECA＋∠FCA＝∠ACB＋∠ACD＝×180°＝90°. ∴CE2 ＋ CF2＝EF2 . ∵EF＝10， ∴CE2＋CF2＝102＝100. 【点睛】本题考查勾股定理, 角平分线线的性质. 题型四 根据直角三角形的三边求面积 1．如图，分别以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C，若正方形C的边长为7cm，则A，B两个正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正方形的面积与勾股定理的性质，将勾股定理与正方形的面积结合是解题的关键． 首先将直角三角形的直角边与正方形的边长联系起来，再根据勾股定理将正方形的面积表示，再结合已知斜边的长度，即可得到A，B两个正方形的面积之和． 【详解】解：如图，令直角三角形的三边分别为a，b，c， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵以直角三角形的三条边为边长向外作正方形A，B，C， ∴，， ∴A，B两个正方形的面积之和为49， 故选：C． 2．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：长方形的长为， 长方形的面积是 故选：B 3．如图，在Rt中，，分别以为边在三角形外部作正方形，若以和为边的正方形面积分别为5和3，则以为边的正方形面积的值为 ． 【答案】8 【分析】由勾股定理求得的长度，即可求得正方形面积．本题考查了与勾股定理相关的图形面积问题，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得， ∴， 故答案为：8． 4．如图，所有阴影四边形都是正方形，两个空白三角形均为直角三角形，且三个正方形的面积分别为7、16、3，则正方形D的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟记相关性质定理是解题的关键．由勾股定理结合正方形的面积可知，，再结合三个正方形的面积分别为7、16、3，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由勾股定理结合正方形的面积可知，， 又∵三个正方形的面积分别为7、16、3， ∴， 故答案为：6． 题型五 勾股定理与网格问题 1．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 2．如图是方格中的一个阴影正方形，若每个小方格的边长是1，则该阴影正方形的边长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理即可直接得出答案． 【详解】解：根据题意可得： 该阴影正方形的边长为：， 故选：． 3．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察题图，得， 由勾股定理，得，， ， 故选：D. 4．如图，这是象棋盘的一部分，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走1步后的落点与出发点间的距离为 ． 【答案】 【详解】解：根据勾股定理，走1步后的落点与出发点间的距离为． 故答案为：． 题型六 证明勾股定理 1．下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：由题意知，，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理， 故选：D． 2．新方向模型思想我们在学习勾股定理的第2课时时，如图所示可以用来验证勾股定理的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，根据面积相等验证，可得答案． 【详解】∵， ∴. 所以图1，3符合题意； ∵图形的面积表示为：，， ∴， 所以图2符合题意． 图4不能验证勾股定理． 所以符合题意的有3个． 故选：C． 3．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 4．如图，四边形是直角梯形，点B在上．在和中，．试利用该图形验证勾股定理．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 证明，得出，根据，，的面积分别为，和，梯形的面积为，得出，再化简即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，的面积分别为，和，梯形的面积为， ∴， ∴， 化简，得． 题型一 利用勾股定理解决折叠问题 1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 2．如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 3．如图，在中，，，，将沿折叠，使点与点重合，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．根据折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意得，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴ ， 解得：． ∴． 故答案为：． 4．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 题型二 解决弦图中的计算问题 1．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为7，，则大正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与弦图有关的勾股定理的应用，完全平方公式的应用，根据小正方形面积为7得出，结合，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵小正方形面积为7， ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴得， ∴， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：D． 2．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 3．如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三角形围成的，，．现将4个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长1倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长． 【详解】解：设将延长到点D，连接，如图所示： 根据题意，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：． 4．【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理． 【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展： (1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____； (2)如图②，将长方形的四边、、、分别延长至、、、，使得，，连接、、、． ①求证：； ②若，，则图中阴影部分图形的面积为_____． 【答案】(1)6 (2)①证明见解析；②37 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，可得，可求，即可求解； （2）①由可证，可得； ②由面积的和差关系可求解． 【详解】（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25， ∴， ∴， ∴每个朱实的面积， 故答案为：6； （2）①证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴， ∴阴影部分图形的面积， 故答案为：37． 5．补充填空：完成证明 (1)勾股定理有数百种证法，我国汉代数学家赵爽的“出入相补”无字证明尤为绝妙！其思路是：如图1．把边长为、的两个正方形连在一起，其面积是．把这个图形分割成四个全等的直角三角形和一个正方形如图2，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为__________．由于它们的面积相等，即__________． (2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形的面积并完成上述推理，请你完成推理过程． 【答案】(1)， (2)见详解 【详解】（1）解：依题意，把和．分别旋转到和得到图3位置，就会形成一个以为边长的大正方形如图4，其面积为． 由于它们的面积相等，即． 故答案为：，； （2）解：观察图4：正方形的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积， 或正方形的面积等于边长乘边长， 即． 题型三 构造直角三角形利用勾股定理解决问题 1．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离等于（    ） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．过点D作于点E，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵米，米，米， ∴（米）． 在中，由勾股定理得到：（米）, 故选：B． 2．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边米远的水底，竹竿高出水面米，把竹竿的顶端拉向岸边，竹竿和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题主要考查了勾股定理应用， 河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图， 设河水的深度为x米，由题意得， 解得∶， 故选∶A． 3．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高土素好奇，算出索长有几？”词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？ ． 【答案】尺 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设这个秋千的绳索，得到，求出的值即可． 【详解】解：设这个秋千的绳索， 则， ， ， ∵， ， ， ， 这个秋千的绳索有尺． 故答案为：尺 4．消防云梯主要用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．如图，已知云梯最多能伸长到 ，消防车高．某次任务中，消防车在A处将云梯伸长至最长，消防员从 高的处救人后，消防车需到达B处使消防员从24m高的处救人，求消防车从A处向着火的楼房靠近的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意，易得，，A，B，D三点在同一直线上． ，， ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得 ． 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为． 题型四 利用勾股定理求线段的长 1．如图，于，和都是等腰直角三角形，如果，，那么的长为（   ） A． B． C．7 D．13 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟知等腰三角形两腰相等的性质是解答此题的关键． 根据等腰三角形性质得到，，再结合勾股定理求解，即可解题． 【详解】解： 和都是等腰直角三角形，，， ，， ． 故选：B． 2．如图，在中，，，作的中垂线交于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形的相关性质并灵活运用． 【详解】解：∵直线垂直平分， ． ． ． ， ． ． 故选：C． 3．如图，在中，，的平分线交于点，是的垂直平分线，点是垂足．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：是的垂直平分线， ，． 是的平分线，，， ， 由勾股定理得：． 故答案为：． 4．如图，四边形中，， 且，满足关系，若，则的长为 ． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， 故答案为：1． 5．如图，、是线段上的两点，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，发现，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和作线段等于已知线段， 根据作图可知，，再设，可得，，利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：由作图可知： ，， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∴ 解得：，即的值为1． 故答案为：1． 6．如图，在中，过点作的垂线交的延长线于点已知，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并结合图形确定直角三角形的边长关系是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，再得到的长度，最后在直角三角形中用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵， ∴ 在中，根据勾股定理，得 ∴ 在中，根据勾股定理，得 题型五 勾股定理解决规律类问题 1．如图，，过点作且，再过点，作且，又过点作且，…依此法继续作下去，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，找到图形变化的规律是解题的关键．由勾股定理求出，，的长，依此类推可知，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， …， 依此类推，为正整数， 当时，， 故选：A． 2．图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中，那么的长为（   ） A．2025 B． C． D．2024 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到的规律是解题的关键． ，根据勾股定理可得，，找到的规律，即可计算的长． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理可得， ， …… ， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，已知，，，a，b，c…是在内部的长方形，它们的一个顶点在上，一组对边分别在上或与平行，另一组对边分别在上或与平行．若各长方形在上的边长相等，长方形a的一边长是，则这样的长方形a、b、c…的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理和规律的探索与实际问题相结合，有一定的难度，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 证明；同理，可得，再根据勾股定理求出的长，即可解答． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴， 在和中， ， ∴； 同理，， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， 即， 根据此规律，共有个这样的长方形． 故选：D 题型六 勾股定理与面积问题 1．将两个大小不同的含有角的三角板和按如图所示的方式放置．已知，则四边形的面积为（   ） A．24 B． C．48 D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，掌握以上知识点是解题的关键． 通过两个三角板是含有角的三角板可得到，，，，然后通过勾股定理求出，四边形的面积等于和的面积之和，最后根据三角形的面积公式得到答案． 【详解】解：含有角的三角板和，， ，，，， 设， 由勾股定理可得：，即， 解得：或（舍去）， ， 四边形的面积 ， 故选：A． 2．如图，在中，，的平分线交于D．若，，则的面积为（    ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，三角形面积公式，过点D作于H，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，再由，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点D作于H，如图： ∵，平分， ∴． 由勾股定理得． ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故选：C． 3．如图，在正三角形中，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，三角形的面积，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到的长，应用勾股定理求出的长． 作于，于，交延长线于，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由等边三角形的性质求出的长，得到的长，由三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：作于，于，交延长线于， 是等边三角形， ，， ∵， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ∵，，， ， 的面积． 故选：A． 4．如图，，长3，长4，长为12，则正方形的面积为 ． 【答案】169 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出，再利用勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴正方形的面积为； 故答案为：169． 5．如图，在中，，，平分交于点D，求的面积． 【答案】10 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，根据三线合一结合勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，平分交于点D， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型七 勾股定理与三角形全等的综合 1．将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定， 作，根据“角角边”证明，可得，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，过点A作于点E，若，，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是通过角度关系证明，从而实现线段的转化． 通过角度互余证，用证得、，最后在中用勾股定理求出答案． 【详解】∵， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 在和中 ∴ ∴， ∵，， ∴ 在 中， ． 故选：A． 3．如图，中，，于点D， 平分，交于点E，于点F，且交于点G，若，，则 的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．连接，证明，可得，从而得到，再由勾股定理求出，然后根据，可得，再由勾股定理，即可求出． 【详解】解：如图，连接， 平分 在和中： 即 解得： ∴   故选：B. 4．如图，在中，，，平分，若，则点到的距离为（   ） A．14 B．20 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，过点作于点，过点作于点，由等腰三角形的性质可得，，由勾股定理可得，由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义得出，再证明即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：过点作于点，过点作于点， ， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：C． 5．如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 6．如图，在中，，，，平分交于点，于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． 1．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 2．如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，勾股定理等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点D作于F，根据角平分线的性质定理得，利用三角形面积法计算出，，再利用勾股定理计算出，进而计算出，根据即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作于F， 平分，，， ， ， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 设点E到的距离为h， 则，， ， ， 故选：C． 3．如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得 ， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 4．在中，，． (1)如图1，当点、为边上不同两点，且，求证：； (2)如图2，当点、在边上，，求证：； (3)点、在直线上，，其中，，直接写出长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得； （3）点、在直线上，，共有三种情况，分别画图，同理（2）可得与其他线段的平方关系，再利用方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵，，， ∴，， 设， ①当点、都在边上，如图2， 则，， 由（2）可得：， ∴， 解得：， ②当点在边上，点在左侧时，如图3： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， ②当点在边上，点在右侧时，如图4： ∴，， 将绕点C沿顺时针方向旋转得到，连接， 同理可得：， ∴，解得：， 综上所述：或或. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 5．综合与实践 勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石”．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统（如美国前总统加菲尔德）． 某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动： 探究活动一： （1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于___________或___________、___________（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 探究活动二： （2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼成一个新的图形（如图3），也可以证明．梯形面积，一种等于___________，另一种等于直角三角形和四边形的面积和，即___________（其中四边形的面积用仅含的代数式表示）（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论． 数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，于是想到把赵爽弦图中的四个全等直角三角形中只取其中和拼出四边形（如图4）尝试证明，请你帮助完成证明（简要说理）． 探究活动三： （3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是___________；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出图形并简要说理． 【答案】（1）；或或；（2）；；见解析；（3）两斜边互相垂直；见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形面积的求解，准确作出辅助线，想到图形中面积的关系为解题关键． （1）利用三角形面积表示出图形的面积即可；利用梯形面积，三角形面积以及矩形面积减三角形面积三种方法表示出梯形面积即可； （2）连接，，利用四边形面积的两种表示方法求出最后结果即可； （3）拼成，延长交于H,连接，设，利用三角形面积的两种表示方法得出结论即可． 【详解】解：（1）； 梯形面积为：或或， 故答案为：；或或； （2）一种等于，另一种等于； 如图，连接，， 则或， ，， ， ， 即， ， ，即； （3）两斜边互相垂直，理由如下： 如图，拼成，延长交于H,连接， 设， 则， 又， ， 整理得． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $