辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（七）

**基本信息** 辽宁葫芦岛市高一下学期数学期末复习卷，覆盖立体几何、三角函数、向量等核心知识，解答题设计折叠问题、空间角计算等，突出空间观念与推理能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、解三角形、线面关系|如第4题四棱锥外接球表面积，考查空间想象| |多选题|3/18|函数性质、三棱柱结构|第11题正方体动态点问题，体现探究性| |填空题|3/15|向量共线、折叠二面角|第14题等边三角形折叠，结合空间角计算| |解答题|5/77|立体几何证明、解三角形周长、二面角探究|第19题折叠后二面角存在性问题，综合空间观念与逻辑推理|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.86 【分析】设，由共轭复数以及乘法运算求解即可. 【详解】设，所以，又因为， 所以， 所以，解得. 2．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理得：，所以， 所以. 3．已知直线，，，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 【答案】B 【难度】0.75 【详解】对于选项A，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，例如正方体中交于同一顶点的三条棱两两垂直，但并不都平行，故A错误. 对于选项B，根据空间中平行线的性质，若一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条，故若，则，B正确. 对于选项C，互相平行的三条直线不一定共面，例如三棱柱的三条侧棱互相平行，但它们不共面，故C错误. 对于选项D，若异面，异面，与可能平行、相交或异面，位置关系并不确定，故D错误. 4．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.72 【分析】采取补形法求解，将满足两两垂直棱条件的四面体补成长方体，四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，以此快速得到外接球的直径长度，进而求得球的表面积； 【详解】已知平面，平面， 因此,又因为，可得两两互相垂直， 将四面体补成一个三条棱长度分别为、、的长方体， 四面体的外接球与长方体的外接球完全重合，外接球的直径等于长方体的体对角线长度， 设外接球的半径为，所以， 进而求得球的表面积. 5．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】结合三角形面积公式与余弦定理建立关于角C的三角函数关系，再利用同角三角函数基本关系求解. 【详解】根据三角形面积公式，的面积， 由余弦定理得. 由可得， 化简得 ，两边平方得， 即，整理得， 因为C为三角形内角，即，故，解得. 6．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【详解】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故， 则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长， 取中点，连接，由为等腰三角形可得， 故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角，， 又底面，底面，，是直角三角形， ． 7．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】设正三棱锥的表面积、体积分别为、 ，设正三棱锥的内切球半径为，由三棱锥体积公式 可求内切球半径，从而求解出内切球的表面积. 【详解】正三棱锥的顶点 在底面的投影为底面中心 ，侧棱长 ， , 则， 侧面为全等的等腰三角形，斜高， 正三棱锥的表面积 ， 正三棱锥的体积， 设正三棱锥的内切球半径为， 由三棱锥体积公式，得 ，解得， 所以. 8．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【分析】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点，利用周期求，利用余弦定理求，然后由勾股定理求出． 【详解】过分别作轴的垂线，垂足分别为，过分别作轴、轴的垂线相交于点， 则是钝二面角的平面角，即，连接，则， 由余弦定理得， 由上可知，轴垂直于，又平面， 所以轴垂直于平面，又轴，所以平面， 因为平面，所以， 因为的最小正周期，所以， 由勾股定理得，解得． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 【答案】ABC 【难度】0.68 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 11．在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（    ） A．四面体的体积与点，的位置无关 B．异面直线与所成的角的取值范围为 C．三角形的面积的最大值为 D．若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.25 【分析】A.体积为定值，与 位置无关，A正确；B. 极端法，取 、，此时异面直线与所成的角是， B错误；C.取临界位置：，，此时三角形的面积取得最大值；D.取是线段的中点时，则四面体的外接球半径取得最小值. 【详解】A. 底面 即底面 ，，面积固定， 点 在直线 上，直线 平面 ，因此 到平面 （底面）的距离恒为正方体高 ； ，体积为定值，与 位置无关，A正确； B. 极端法，取 、，将 ，，此时异面直线与所成的角是直线与所成的角，存在夹角小于 ，因此区间不成立， B错误； C. 取临界位置：，，显然此时三角形为等边三角形，面积达到最大值，； 的面积 故三角形的面积的最大值是，C正确； D. 设四面体的外接球的球心为，设在底面的投影为，显然是的外接圆圆心，设，，四面体的外接球的半径为， 显然当是线段的中点时，即三角形是等腰三角形时，四面体的外接球的半径取得最小值，过作， 由，得，得， 在直角中，，即  （1）， 过点作，为靠近的四等分点， 过点作，则， 在直角中，，即  （2）， （1）（2）两式相减得，此时，此时 所以的最小值是，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_______. 【答案】2 【难度】0.82 【详解】由二倍角的正弦、余弦公式，且，所以， 得： . 13．在中，，且三点共线，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】由三点共线，可得，再由题设及平面向量基本定理可得答案. 【详解】因三点共线，则， 又，则（显然不为0），从而，结合，平面向量基本定理， 可得. 14．如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 【答案】2 【难度】0.48 【分析】取线段的中点，逐步求证为二面角的平面角，为二面角的平面角，在中求解. 【详解】取线段的中点，连接， 因为是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，所以， 所以为二面角的平面角， 因为二面角为，所以， 则是边长为的等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，所以二面角的正切值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量 ，，函数 . (1)若 ，且，求满足条件的 取值的集合； (2)若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【分析】（1）运用向量的平行的性质求解；（2）先计算出，再解含绝对值的不等式. 【详解】（1）因为，所以存在，所以，， 即，当时，，，，， 零向量与任何向量平行，故成立 当时，即，故，则， 因为，解得，，综上. （2）由题意可得，即， 故时，单调递增，当时，单调递减， 因此，又因为，故在上， 又因为存在 ，使，所以，解得， 或者，解得，综上. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 【答案】(1)由题意证明如下： 如图，作出符合题意的图形，连接， 在中，，分别为，中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面. (2)距离为1. 【难度】0.64 【分析】（1）通过证明，即可得出结论； （2）方法一：设出，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，得出向量与面的一个法向量的表达式，根据直线与平面所成的角为求出参数，借助几何关系即可求出到面的距离. 方法二：利用直线与平面所成的角为，求出，借助几何关系即可求出到面的距离. 【详解】（1）略 （2）法一：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，设， 四边形与四边形是矩形， ∴，，， 建立空间直角坐标系，如下图所示， 得到，，，，， ∴，面的一个法向量为， ∵直线与平面所成的角为， 设直线与平面所成的角为 ∴ 解得，∴，，，，， ∵面，∴由几何知识得，到面的距离为. 法二：由题意及（1）得， 在直三棱柱中，，， 四边形与四边形是矩形，∴，，， ∵，平面，平面，平面， ∴平面，，∴由几何知识得，即为直线与平面所成的角， 直线与平面所成的角为， 在中，，分别为，中点，， ∴直线与平面所成的角为，即， 在Rt中，，，， ∴， 在Rt中，，， 为等腰直角三角形，过点作， 则点为中点，，， 由几何知识得，到面的距离即为. 17．（15分）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【分析】（1）先由两向量平行的坐标公式建立边和角的等量关系，再结合正弦定理、余弦定理求出角；（2）利用正弦定理，将求周长边的关系问题，转化为利用三角函数求三角函数值的问题，即可求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）（1）由题意知，，， 则， 由正弦定理得，所以， 化简整理得，由余弦定理得， 因为，所以． （2）（2）由（1）知，则由正弦定理得， 所以，， 则 ， 因为为锐角三角形，所以，，解得， 则，，所以， 又，所以，即周长的取值范围为． 18．（17分）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 【答案】(1)证明：为等边三角形， 为中点，故. 由得，则，. 平行四边形中 ，，在中，且， 即，故. 在中，由余弦定理得 已知，则，满足， 故. 又，平面， 因此平面. (2)（i）平面， 平面 ，平面平面， 所以由线面平行的性质定理得. （ii）存在，理由如下： 以 为坐标原点，方向为 轴正方向，过 作的平行线为 轴正方向， 方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 各点坐标为，，，，. 由，， 由得. 由，，取直线的一个方向向量为. ， 设平面的法向量为， 则， 故可设 ，点到平面的距离： 令，则，整理得， 解得（，符合取值范围）. 因此存在，使得点到面的距离为. 【难度】0.46 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证得平面. （2）（i）利用线面平行的性质定理，通过两平面的交线直接推导线线平行. （ii）建立空间直角坐标系，通过平面的法向量，结合点到平面的距离公式列方程，求解得到参数. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 19．（17分）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. (2) (3) 【难度】0.46 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）略 （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足条件，则（   ） A． B． C． D． 2．已知的内角 ，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知直线，，，下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，则，，共面 D．若，异面，，异面，则，异面 4．已知四面体的4个顶点都在球的表面上，若平面，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 5．已知的内角、、的对边分别为、、，若面积，则 （   ） A． B． C． D． 6．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 7．正三棱锥侧棱长为，底面棱长为，该三棱锥内切球表面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，夹角为，此时，两点之间的距离为，则=（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数，则（   ） A． B．的定义域为 C．曲线关于点对称 D． 10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 11．在正方体中，，，分别是线段，上的动点（含端点），则下列选项正确的是（    ） A．四面体的体积与点，的位置无关 B．异面直线与所成的角的取值范围为 C．三角形的面积的最大值为 D．若为靠近的四等分点，则四面体的外接球半径的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则_______. 13．在中，，且三点共线，则___________． 14．如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为，则折叠后二面角的正切值为__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知向量 ，，函数 . (1)若 ，且，求满足条件的 取值的集合； (2)若存在 使得不等式 成立，求实数 的取值范围. 16．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)设，直线与平面所成的角为，求直线到平面的距离． 17．（15分）已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 18．（17分）如图，四棱锥的底面是平行四边形且，，为等边三角形，， 为中点． (1)证明：平面； (2)设 为侧棱 上一点，四边形是过 ， 两点的截面，分别交 ， 于， 两点，平面． （i）证明：； （ii）设，是否存在，使得点到面的距离为． 19．（17分）已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $