辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（三）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高一数学期末复习卷，以《九章算术》“阳马”、勖艾亭建筑等文化与现实情境为载体，融合复数、立体几何、解三角形等知识，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、函数图像变换、立体几何|基础巩固，如正方体与球相切（4题）| |多选题|3/18|圆台、解三角形、向量|能力提升，如锐角三角形边角关系（10题）| |填空题|3/15|向量夹角、正四棱台外接球|知识综合，如向量钝角条件（12题）| |解答题|5/77|三棱柱证明与体积、三角函数、秦九韶公式|创新应用，如“三斜求积”公式证明与应用（19题）|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【详解】由复数对应的点关于虚轴对称，且，得， 所以. 2．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换求解即可. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 3．设m，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【难度】0.72 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，若，，设， 只有时，才能得到，故D错误. 4．已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【详解】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 5．已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【详解】因为， ， 所以， ，当且仅当，即时取等号，最小值为． 6．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【难度】0.65 【分析】利用反证法可判断A；当移动到点时，可得，进而可判断B；利用反证法可得，进而可判断C；利用线线垂直可证得底面，进而可证平面平面成立，可判断D. 【详解】若，又平面，平面，所以平面， 这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误； 当移动到点时，可得，平面，平面， 所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误； 由正方形，可得， 又侧棱底面，底面，所以， 又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 7．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【分析】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为，可得该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且,由几何关系可得,解方程即可求解. 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上，且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 8．在中，，，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【难度】0.45 【分析】记单位向量，利用单位向量模长求出角，再利用正弦定理化简，利用向量数量积证明，进而判断三角形的形状． 【详解】记单位向量，则， ，解得， ，，由正弦定理，则，，故，， 则，故，即，故是等腰三角形， 又，故是等边三角形． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【难度】0.65 【分析】利用圆台表面积公式，代入已知半径和母线计算可判断A；由轴截面几何关系求出高，再代入圆台体积公式计算可判断B；圆台侧面展开图的圆心角可由底面半径差与母线长关系求得，从而判断C；设外接球心在轴线上，根据勾股定理列方程解得半径平方，再求表面积即可判断D. 【详解】如图所示，为轴截面，点在下底面的投影分别为， 由题意可知：设上底面半径为，下底面半径为，母线为， ，则， 对于A选项，圆台的表面积， 所以A正确； 对于B选项，设圆台的高为，由图可知，，则圆台的体积，所以B正确； 对于C选项，圆台侧面展开图所在扇形的圆心角（或者，此圆台是由底面半径为2，母线长为6的圆锥截得的，所以圆台侧面展开图所在扇形的圆心角），所以C错误； 对于D选项，圆台的外接球的球心O一定在上，如图所示，连接OA，OD，则，则，设外接球半径为R，即，所以， 解得，所以外接球的表面积，所以D正确． 10．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 【答案】ABD 【难度】0.42 【分析】先通过正弦定理将边化为角，利用和差角公式对已知条件进行三角恒等变形，推导出核心关系 ；再结合锐角三角形的条件，列出三个角的不等式组，求出角 的取值范围，选项A直接验证关系；选项B通过正弦定理将边的比值转化为关于的函数，结合函数单调性求值域；选项C根据的范围判断的取值范围；选项D利用角平分线的面积关系建立等式，结合半角公式进行计算即可判断. 【详解】选项A：由正弦定理 ，得 ， 代入得： ， 所以， 所以， 由，得 ，故 ， 于是 ，在三角形中，解得 ，即 ，故选项A正确； 选项C：因为△ABC为锐角三角形，所以 ，解得：，故 ，故选项C错误； 选项B： ， 因为，令 ，则 ， 函数 在该区间单调递增， ，，所以，故选项B正确； 选项D：因为，且为锐角，得： 由 ，得：，所以， 因为 AD是的平分线，由面积关系，得： 所以， 因为，代入得：，两边同除以：， 由三角恒等式，得： 又因为 ，所以 ，故选项D正确. 11．如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【分析】选项A ，利用中点向量公式；选项B，直接计算数量积；选项C，先化简为 ，再用圆中弦长的最大值判断；选项D，将 两边平方，利用基本不等式得到，又，从而得到的最大值. 【详解】对于A：因为是的中点，所以即所以A正确； 对于B：因为是边长为2的等边三角形，所以， 因为为的中点，所以，， ，所以B错误； 对于 C：因为所以 而点在以为直径所在圆的右半圆弧上运动， 所以的最大值为故C正确； 对于 D：因为，， 所以， 因为， 所以 ， ，所以， 又因为,所以，解得， 所以的最大值为故D正确. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题考查向量夹角为钝角的条件，即两向量数量积小于0且两向量不共线，分别列出不等式求解，最后取交集得到t的取值范围。 【详解】向量，可得。 由, 得，所以或， 若两向量共线，可得，即，解得或, 因为夹角为钝角时两向量不能共线，所以且， 所以的取值范围是. 综上，的取值范围是. 13．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【难度】0.55 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 14．已知中内角A、B、C满足，若在边AB，BC，CA上各取一点M、N、P，满足，则的面积的最大值是______. 【答案】/ 【难度】0.4 【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式和正弦函数的值域推得，即得，进而推得为等边三角形，再由余弦定理求出，推出，设，利用正弦定理求出，最后借助于辅助角公式推得，最后应用面积公式求解最大值. 【详解】由和正弦定理可得， 又由余弦定理，代入上式得， 整理可得，因 所以，当且仅当时，等号成立， 又因，所以， 由，可得，即， 又因，则为等边三角形. 如图，在中，由余弦定理得， 所以，所以，从而， 设，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 所以， 其中，所以AC的最大值为，当时取得最大值， 所以. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)连接，交于点，连接， 由三棱柱可知，四边形为平行四边形，则，又， 所以为中位线，则， 又平面，不在平面内， 所以平面； (2) 【难度】0.65 【分析】（1）连接，可得线线平行，进而根据线面平行的判定定理即可得出证明； （2）将求三棱锥的体积转化为求三棱锥的体积，即可解决问题. 【详解】（1）略 （2）因为，， 取中点，连接，由底面，且，则平面， 又平面，所以， 又因为为正边的中点，所以， 因为，且平面， 所以平面， 取中点，连接，则，可得平面， 即为三棱锥的高，则， 所以. 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求；(2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.56 【分析】（1）利用向量共线条件得到边角关系，再通过正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与，直接求出，得； （2）用余弦定理结合基本不等式，将转化为关于的不等式，求出最大值，进而得周长最大值； （3）先由锐角三角形条件确定A的取值范围，再用正弦定理将b表示为关于A的函数，结合tanA的范围求出b的范围，最后代入面积公式，得到面积范围. 【详解】【小题1】在中，， 与共线，， 由正弦定理可得 ， ， ，又，所以． 【小题2】由（1）知，又，由余弦定理， 得， 即，因为，当且仅当时等号成立， 所以， 即，则，所以周长的最大值为12． 【小题3】为锐角三角形，且角，所以，故， 由正弦定理得，   ，所以，所以， 即，面积的取值范围为． 17．（15分）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，若不等式在区间有解，求实数的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.53 【分析】（1）先化简，将代入即可求出，令 即可求出的单调递增区间； （2）由题意先求出，选①，由求出，不等式在区间内有解，可得，解不等式即可得出实数的取值范围；选②，由可知求出，以下同选条件①；选③求出或， 函数不唯一确定，故③不符合条件. 【详解】（1） 若，则，所以，． 因为的单调增区间为 ， 所以 ，所以 ． 所以的单调递增区间为 ． （2）选条件①． 因为，在区间上单调递增，,则，所以 解得． 因为 ， 所以 ，即， 所以，或 即，或 又，所以， 因为，所以． 因为不等式在区间内有解，即在区间内有解， 因为 ，，所以，即． 所以的取值范围是． 选条件②． 因为，,则，由于在区间上单调递增，所以 解得． 因为，所以， 所以 ，即 ， 又，所以，以下同选条件①． 选条件③． 因为，,则，由于在区间上单调递增，所以 解得． 是的一个零点，所以， 解得： ，因为又，所以或， 函数不唯一确定，故③不符合条件. 18．（17分）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段即为点的轨迹，理由见解析 【难度】0.48 【分析】（1）过作，交于，可证四边形为平行四边形，得到，即，再由线面平面的判定即可证明； （2）法一：连接，根据，结合锥体体积公式计算；法二：由等体积法可知即可求解； （3）根据题意，，进而得到点到平面的距离是点到平面的距离的两倍，再得到轨迹即可． 【详解】（1）证明：在平面中，过作，交于， 因为为的中点，所以为的中点，则，， 又，，所以且， 则四边形为平行四边形，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． （2）法一：连接，则， ． 法二：（等体积法）由知， 因为，所以， 因为，所以． （3）四棱锥和三棱锥中含有相同的字母，，， 保留这三个字母，将其他字母统一化．， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的三倍， 即平面经过线段的一个四等分点（靠近点）， ， 所以点到平面的距离是点到平面的距离的两倍， 即平面经过线段的一个三等分点（靠近点）， 又平面与平面相交于一条直线，点，确定该直线， 因此，线段即为点的轨迹． 19．（17分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为. (1)用”三斜求积"公式证明； (2)若，且，求面积的最大值； (3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值. 提示：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【分析】（1）直接由余弦定理、平方关系即可得证； （2）由余弦定理或者正弦定理得到，结合“三斜求积”公式得，由此即可得解； （3）由补形法可得，再由正弦定理，进一步可得的表达式，取倒数，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得，所以， 所以 . （2）由，， 根据正弦定理，得， 则，即， 由正弦定理，得，所以 ， 当时，面积的最大值为. （3）由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，如图， 设长方体的长，宽，高分别为，则，，， 设等腰四面体的外接球半径为，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， ， 所以， 设的外接圆半径为， 由正弦定理得，所以， 所以， 因为， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 又，所以， 所以，即， 所以，则的最小值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷（三） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在复平面内，复数，对应的点关于虚轴对称，且，则（     ） A． B． C． D． 2．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．设m，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，满足，设与的夹角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 7．图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． B． C． D． 8．在中，，，则为（     ） A．等边三角形 B．等腰非等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为3，则（    ） A．圆台的表面积为 B．圆台的体积为 C．圆台的侧面展开图所在扇形的圆心角为 D．圆台的外接球的表面积为 10．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（    ） A． B．的取值范围为 C．取值范围为 D．若的平分线交于，，，则 11．如图，是边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上（包含点）的一个动点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最大值为2 D．若，则的最大值为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为___________． 13．已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 14．已知中内角A、B、C满足，若在边AB，BC，CA上各取一点M、N、P，满足，则的面积的最大值是______. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知三棱柱，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 16．（15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且与共线． (1)求；(2)若，求周长的最大值； (3)若，且为锐角三角形，求面积的取值范围． 17．（15分）已知函数． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，若不等式在区间有解，求实数的取值范围． 条件①：；条件②：；条件③：是的一个零点． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（17分）如图所示的几何体，在底面中，，与交于点，，，垂直于平面，，且． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在内部（包括边界）的动点满足四棱锥的体积和三棱锥的体积相等，请找出点的轨迹，并说明理由． 19．（17分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角所对的边分别为，面积为，则”三斜求积“公式为. (1)用”三斜求积"公式证明； (2)若，且，求面积的最大值； (3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为，求的最小值. 提示：. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $