精品解析：第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷小学四年级

**基本信息** 小学四年级YMO竞赛初选卷，30题涵盖计算、数论、行程等，以多情境问题考查抽象能力、推理意识与模型意识，凸显竞赛思维深度。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|计算、行程问题、数论|如相遇问题考查模型意识，余数问题培养推理能力| |填空题|20|几何面积、逻辑推理、数阵|如着色问题发展空间观念，页码问题提升应用意识|

第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学四年级 一、选择题。 1. 计算：（ ）。 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【答案】C 【解析】 【分析】括号内为5个连续的自然数，对于连续的自然数，它们的平均数就等于中间的那个数。这组数据的中间数是2019，因此这五个数的和等于中间数乘这五个数的个数，即总和＝中间数×个数。用总和除以5，即可得到最终结果。 【详解】（2021＋2020＋2019＋2018＋2017）÷5 ＝2019×5÷5 ＝2019 2. 由数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的和是（ ）。 A. 666 B. 22200 C. 6660 D. 66660 【答案】D 【解析】 【分析】组成的四位数千位上有4种选择，百位上有3种选择，十位上有2种选择，个位上有1种选择，相乘计算出组成的四位数的个数；每个数字在每个数位上出现的机会是均等的，都是24÷4（次），这四个数字相加就是每个数位上不同数字的和，乘次数就是这个数位上所有的数字之和；千位上的数表示有多少个1000，百位上的数表示有多少个100，十位上的数表示有多少个10，个位上的数表示有多少个1，据此求出每个数位上的数值的和，最后相加即为所有这些四位数的和。 【详解】一共可以组成：4×3×2×1＝24（个） 每个数字在各数位出现的次数： 2÷4＝6（次） 每个数位上的数字之和： 1＋2＋3＋4＝10 每个数位上的数字总和是：10×6＝60 千位上的数值和：60×1000＝60000 百位上的数值和：60×100＝6000 十位上的数值和：60×10＝600 个位上的数值和：60×1＝60 所有四位数的和：60000＋6000＋600＋60＝66660 3. 有4个互不相同的自然数，它们的平均数是10。其中最大的数至少是（ ）。 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的意义，先求出4个自然数的总和。要使最大的数尽可能小，这4个互不相同的自然数应尽量接近平均数。通过假设最大的数是11，计算此时4个数的最大可能总和，与实际情况进行比较，从而确定最大的数至少是多少。 【详解】首先求出4个自然数的总和： 要使最大的数最小，这4个互不相同的自然数应尽量接近平均数10。 假设最大的数是11，因为4个数互不相同，所以其他三个数最大只能是10、9、8。 此时4个数的总和最大是： 因为，所以最大的数不能是11。 假设最大的数是12，剩余三个数的和应为： 可以找到三个互不相同且小于12的自然数，例如8、9、11，它们的和是： 此时4个数为8、9、11、12，满足互不相同且平均数是10的条件。 所以，最大的数至少是12。 4. 客车和货车分别从甲。乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲。乙两站之间的距离为（ ）千米。 A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 【答案】C 【解析】 【分析】比例解行程，关键是探明两车合走的路程与全程的倍数关系。从出发到第一次相遇，两车共行1个全程；从出发到第二次相遇，两车共行3个全程。在速度不变的情况下，客车行驶的路程也相应变为第一次的3倍。根据客车第二次相遇时的总路程与全程的关系，即可求出甲、乙两站之间的距离。 【详解】从出发到第一次相遇，客车和货车共行1个全程，客车行驶40千米。 从出发到第二次相遇，客车和货车共行3个全程。 因为两车速度不变，所以客车行驶的总路程是第一次相遇时行驶路程的3倍。 客车行驶的总路程：40×3＝120（千米） 第二次相遇时，客车到达乙站后返回，离乙站20千米，说明客车行驶的路程比1个全程多20千米。 甲、乙两站之间的距离：120－20＝100（千米） 5. 有一串数：，其中第一个数是2，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2019个数被3除后所得余数是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】找出这串数被3除后余数的规律，找到循环的周期，除以周期后，根据余数是几，计算第2019个数被3除后所得的余数。 【详解】2÷3＝0……2，余数为2 3÷3＝1……0，余数为0 5÷3＝1……2，余数为2 8÷3＝2……2，余数为2 13÷3＝4……1，余数为1 21÷3＝7……0，余数为0 34÷3＝11……1，余数为1 55÷3＝18……1，余数为1 89÷3＝29……2，余数为2 144÷3＝48……0，余数为0 233÷3＝77……2，余数为2 377÷3＝125……2，余数为2 610÷3＝203……1，余数为1 987÷3＝329……0，余数为0 1597÷3＝532……1，余数为1 2584÷3＝861……1，余数为1 … 通过计算可以发现余数数列是以2，0，2，2，1，0，1，1这8个数为一个周期循环出现的。 2019÷8＝252（组）……3（个） 根据余数数列，可知第3个数是2，所以第2019个数被3除后所得的余数是2。 6. 如果从4本不同的语文书、5本不同的数学书、6本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有（ ）种不同的选择。 A. 30 B. 50 C. 74 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】要从三种不同学科的书中选取2本不同学科的书，需要分类讨论。首先确定所选的两本书属于哪两种学科，共有“语文和数学”、“语文和外语”、“数学和外语”三种情况。然后根据乘法原理，分别计算每种情况下书本的搭配数量，最后根据加法原理将三种情况的数量相加即可得出总选择数。 【详解】根据题意，选取2本不同学科的书，可以分为以下三类情况： 第一类：选1本语文书和1本数学书。 语文书有4本，数学书有5本，搭配方法有：4×5＝20（种） 第二类：选1本语文书和1本外语书。 语文书有4本，外语书有6本，搭配方法有：4×6＝24（种） 第三类：选1本数学书和1本外语书。 数学书有5本，外语书有6本，搭配方法有：5×6＝30（种） 共有不同的选择：20＋24＋30＝74（种） 7. 某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米。而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿。问这个人骑车过这座桥，往返的平均速度是每小时（ ）千米。 A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】解题的关键是理解平均速度的定义，即总路程除以总时间，而不是速度的算术平均数。由于题干未给出具体路程，但已知上下桥路程相等，为了便于计算，可以采用设数法，将单程路程设为一个便于计算的具体数值（如速度的倍数），分别求出上桥和下桥的时间，进而求出总路程和总时间，最后利用公式计算平均速度。 【详解】根据平均速度的数量关系式：平均速度＝总路程÷总时间。 设上桥的路程为24千米。 上桥所用时间：24÷12＝2（小时） 下桥所用时间：24÷24＝1（小时） 往返总路程：24×2＝48（千米） 往返总时间：2＋1＝3（小时） 往返平均速度：48÷3＝16（千米/时） 8. 定义，求（ ）。 A. B. 2020！ C. ！ D. 2021！ 【答案】A 【解析】 【分析】根据题干给出的阶乘定义，得到相邻两个阶乘的关系，利用乘法分配律将每一项转化为两个阶乘相减的形式，即，然后通过加减抵消的方法求出最终结果。 【详解】根据分析，相邻两个阶乘的关系：。 对于求和式中的通项，利用乘法分配律进行变形： 将原式中的每一项都按照上述规律进行变形： 原式 去掉括号，调整运算顺序： 中间各项相互抵消，结果为： 因为，结果等于。 9. 甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。甲、乙、丙三人都读过的故事最少有（ ）个。 A. 15 B. 17 C. 32 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】要使三人都读过的故事数量最少，应考虑三人没读过的故事数量尽可能多且互不重叠。先分别求出三人没读过的故事数量，求和得到没读过的故事最多有多少个，再用故事总数减去没读过的最多数量，即可得出三人都读过的最少数量。 【详解】甲没读过的故事数量：100－85＝15（个） 乙没读过的故事数量：100－70＝30（个） 丙没读过的故事数量：100－62＝38（个） 要使三人都读过的故事最少，则没读过的故事尽可能多，即假设三人没读过的故事互不重复。 三人没读过的故事最多数量：15＋30＋38＝83（个） 三人都读过的故事最少数量：100－83＝17（个） 故三人都读过的故事最少有17个。 10. 将非0自然数依照下列形式不断写下去：123456……，第2019个数是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先计算一位数、两位数、三位数分别占有的数位个数，确定第2019位落在几位数范围内，再通过除法计算确定具体的自然数及其对应数位。 【详解】一位数有个（），共占数位：（个） 两位数有个（），共占数位：（个） 三位数有个（），共占数位：（个） （个） （个） ，所以第位数字位于三位数段中。 （个）。 （个） 位数字是第个三位数的最后一位数字。 三位数从开始，第个三位数是： 第位数字是自然数的个位数字，即。 二、填空题。 11. 下面的数阵中，第十二行左起第5个数是_______。 【答案】71 【解析】 【分析】观察数表，是由从1开始的自然数组成，每一行比前一行多一个数，先用等差数列求和来计算前十一行一共有多少个数，然后再数5个数就是第十二行左起第5个数。 【详解】计算前十一行一共有多少个数： 1＋2＋3＋…＋10＋11 ＝（1＋11）×11÷2 ＝12×11÷2 ＝66（个） 那么第十二行开头5个数就是：67、68、69、70、71。 所以第十二行左起第5个数是71。 12. 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到市。那么他的游览路线共有_______种不同的方案。 【答案】6 【解析】 【分析】用分类枚举的方法，画出树形图，列出所有可能的路线，将不符合要求的路线排除后，剩下的就是可能的方案。 【详解】 根据题意画出树形图，排除第四天在A市的情况，可能的路线如下： ①A→B→A→B→A ②A→B→A→C→A ③A→B→C→B→A ④A→C→A→B→A ⑤A→C→A→C→A ⑥A→C→B→C→A 因此他的游览路线共有6种不同的方案。 13. 计算1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋99＋100）＝_______。 【答案】171700 【解析】 【分析】先分析在算式中1~100每个数出现的次数，用每个数乘它出现的次数并相加将算式改写。将每一项的第二个因数改为（101－n），构造等差数列和平方数列，再利用高斯求和公式和平方和公式求出两部分的和，最后将两个和相加求出答案。 【详解】分析题中算式，原式中共100项，其中含1的有100项，含有2的有99项，……，含有100的有1项，所以原式可改写为： 1×100＋2×99＋3×98＋…＋100×1 将每个乘法算式的第二个因数改为（101－n）的形式，然后拆分并分组。 ＝1×（101－1）＋2×（101－2）＋3×（101－3）＋…＋100×（101－100） ＝101×（1＋2＋3＋…＋100）－（12＋22＋32＋…＋1002） 用高斯求和公式和平方和公式求出两部分的和： 101×（1＋2＋3＋…＋100） ＝101×[（1＋100）×100÷2] ＝101×101×100÷2 ＝510050 12＋22＋32＋…＋1002 ＝×100×（100＋1）×（2×100＋1） ＝×100×101×201 ＝338350 原式＝510050－338350＝171700 14. 如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有_______种不同的着色方法。 【答案】96 【解析】 【分析】从A开始确定A部分可选颜色数量，然后根据相邻关系，依次确定B、C、D、E可使用的颜色数量，最后根据乘法原理将各部分可选颜色数量相乘即可。 【详解】1.确定A部分可选颜色数量 因为有四种不同颜色可供使用，且A部分开始着色，所以A有4种颜色可选。 2.确定B部分可选颜色数量 由于B与A相邻，相邻部分不能使用同一种颜色，所以B有3种颜色可选。 3.确定C部分可选颜色数量 C与A、B相邻，所以C有2种颜色可选。 4.确定D部分可选颜色数量 D与B、C相邻，所以D有2种颜色可选。 5.确定E部分可选颜色数量 E与C、D相邻，所以E有2种颜色可选。 不同着色方法共有4×3×2×2×2＝96（种） 15. 在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是_______。 【答案】16 【解析】 【分析】在幻方中，对角线交点的数叫“中心数”，幻和＝中心数×3。将中心数和左上角的数分别设为未知数，将右侧两列所有空格的数用两个未知数表示出来，最后用第一行的和等于3个中心数构造等式，解出左上角的数。 【详解】设中心数为m，左上角的数为x，则幻和＝3m。 那么第一行中间的数＝3m－m－13＝2m－13 右下角的数＝3m－m－x＝2m－x 右上角的数＝3m－（2m－x）－19＝3m－2m＋x－19＝m＋x－19 将第一行的三个数相加：x＋（2m－13）＋（m＋x－19）＝x＋2m－13＋m＋x－19＝2x＋3m－32 因为第一行的三个数和是3m，所以2x＋3m－32＝3m 等号两边同时减去3m得： 2x－32＝0 2x＝32 x＝32÷2 x＝16 图中左上角的数是16。 16. 如下图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是76，右边部分面积是130，那么三角形ADG的面积是_______。 【答案】80 【解析】 【分析】将上下两个三角形的高分别设为未知数，把图形中的四个小三角形的面积表示出来，根据左右两部分的面积列出两个等式，然后两式联立解出上下两个三角形的高，再计算DG的长度，最后求出三角形ADG的面积。 【详解】 如图，给四个小三角形编号，并设△ADG中以DG为底的高为h1，△BCF中以CF为底的高为h2。 表示出四个小三角形的面积： S1＝7×h1÷2＝h1 S2＝（15＋6）×h1÷2＝h1 S3＝（5＋7）×h2÷2＝6h2 S4＝15×h2÷2＝h2 因为S1＋S3＝76，S2＋S4＝130 所以 h1＋6h2＝76 h1＋h2＝130 将两式整理得： 7h1＋12h2＝152 ① 21h1＋15h2＝260 ② 将①式等号两边都乘3并整理得：21h1＝456－36h2 ③ 把②式中的21h1用③式等量代换得：456－36h2＋15h2＝260 整理计算得：h2＝ 将h2代入③式中，计算得h1＝ 三角形ADG的面积： （7＋15＋6）×÷2 ＝28×÷2 ＝80 【点睛】本题的难点一在于理解在图形的上下两部分中，存在等高的三角形；难点二则是用等式的性质和等量代换解含有两个未知数的方程组。 17. 小明在读一本旧书，读着读着发现有几页丢失了。丢的书页的页码数字最小是143，最大的数是把143的各位数字交换了位置。另外，把丢失的所有页码相加，正好是2000。这本书丢失了_______张书页。 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，丢失的页码里，最小的是143，最大的数是把143的数字重新排，但一张书页有正反两页，页码是“奇数在前，偶数在后”，比如一张纸是143和144，下一张是145和146，不能拆开算，因此最大的数是偶数，那么把143的数字重新排，最大的应该是314，那么现在已经有2张4页，页码分别是143、144、313、314，用丢失的所有页码和减去已经有的页码，得到其余丢失的页码和。用其余丢失的页码和除以丢失的第一张页码和得到丢失的最多张数，用其余丢失的页码和除以丢失的最后一张的页码和得到丢失的最少张数，得到张数范围，再枚举出各自范围中页码数，判断是否符合题意。 【详解】根据分析， 其余丢失的页码和：2000－143－144－313－314＝1086 丢失的第一张页码和：143＋144＝287 丢失的最后一张页码和：313＋314＝627 最多张数：1086÷287＝3（张）……225 最少张数：1086÷627＝1（张）……459 张数必须为整数，因此其余丢失的张数要么是2张，要么是3张， 估算平均页码数： 当2张时，2张＝4页，1086÷4＝271……2 往271左右相邻的对应整数进行枚举，枚举时要求左右对应的数和的平均数符合估算的平均页码数；可以发现，这四个页码可以是269、270、273、274（答案不唯一）符合题意。 当3张时，3张＝6页，1086÷6＝181 往181左右相邻的数进行枚举，要求左右对应的数和的平均数符合估算的平均页码数，这六个页码可以是178、179、180、183、184、185，但是其中178和185都不是完整的张书，不合题意； 再继续枚举，177、178、179、184、185、186，其中179和184不是完整的张数，不合题意； 从这里可以发现，当为3张6个页码时，要符合估算的平均值，总有2个页码不是完整的张数，剩余丢失的张数只能是2张。 因此这本书丢失了4张书页。 18. 一个31位的整数，如果把这个整数的每相邻的两个数码组成的整数作为两位数来考虑的话，任何一个这样的两位数都可以被17或23整除。另外，这个31位数的数码中只有一个7。这个31位数的所有数码之和是_______。 【答案】151 【解析】 【分析】先找出所有能被或整除的两位数，，即能被整除的两位数有个，，能被的两位数有个；利用“只有一个”的条件确定数字的结尾；接着从后往前逆推数字序列；再构建完整的位数，最后计算所有数码之和 【详解】能被整除的数： 能被整除的数： 包含数字的数： 这位数的最后两位一定是 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 ，前面是，就要找末尾是的数，即，得到 …… 周期为 所以得到的位数为 31位数的所有数码之和为 【点睛】这是一道数论与逻辑推理结合的数学题，先找问题的突破口，即7的位置，再按规律来解答。 19. 下图中，四边形的对角线与相交于为的中点，三角形的面积为45，三角形的面积为18，三角形的面积为69，则三角形AED的面积是_______。 【答案】75 【解析】 【分析】先根据蝴蝶模型求出△BOC的面积，然后分别求出△ABC和△DBC的面积。再根据E点为BC中点，分别分析△ABE与△ABC的面积关系和△DEC与△DBC的面积关系，求出△ABE和△DBC的面积。最后计算出四边形的总面积，减去△ABE和△DBC的面积，就是△AED的面积。 【详解】根据蝴蝶模型可得： S△BOC＝（S△ABO×S△CDO）÷S△ADO＝（45×69）÷18＝3105÷18＝172.5 S△ABC＝S△ABO＋S△BOC＝45＋172.5＝217.5 S△DBC＝S△CDO＋S△BOC＝69＋172.5＝241.5 因为E为BC的中点，且△ABE与△ABC等高，所以S△ABE＝S△ABC＝×217.5＝108.75，同理S△DEC＝S△DBC＝×241.5＝120.75 四边形ABCD的面积＝45＋18＋69＋172.5＝304.5 三角形AED的面积＝304.5－120.75－108.75＝75 【点睛】本题的关键是找出蝴蝶模型与等高模型的联系点。 20. 一个数减去2000是一个平方数，减去2019也是一个平方数，这个数是_______。 【答案】2100 【解析】 【分析】设这个数和两个平方数设为未知数，根据题意列出两个等式。 两式相减得到两个平方数的差，利用平方差公式分解。因为两个平方数的底数都是整数，根据积的因数得出加、减法算式的得数，然后两式联立求出两个平方数，再反推求出这个数。 【详解】设这个数是x，这个数减2000得到a2，减2019得到b2。 根据两个条件列式为： x－2000＝a2 x－2019＝b2 两式相减得：a2－b2＝19 根据平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝19 因为（a＋b）和（a－b）都是整数，且19只能分解成1×19，所以 a＋b＝19 a－b＝1 两式相加得2a＝20，a＝10，b＝9。 x＝102＋2000＝100＋2000＝2100 这个数是2100。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三届“YMO”青少年数学思维研学交流活动初选试卷 小学四年级 一、选择题。 1. 计算：（ ）。 A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 2. 由数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的和是（ ）。 A. 666 B. 22200 C. 6660 D. 66660 3. 有4个互不相同的自然数，它们的平均数是10。其中最大的数至少是（ ）。 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 客车和货车分别从甲。乙两站同时相向开出，第一次相遇在离甲站40千米的地方，相遇后两车仍以原速度继续前进，客车到达乙站、货车到达甲站后均立即返回，结果它们又在离乙站20千米的地方相遇。求甲。乙两站之间的距离为（ ）千米。 A. 80 B. 90 C. 100 D. 110 5. 有一串数：，其中第一个数是2，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。那么在这串数中，第2019个数被3除后所得余数是（ ）。 A. 1 B. 2 C. 0 D. 不确定 6. 如果从4本不同的语文书、5本不同的数学书、6本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有（ ）种不同的选择。 A. 30 B. 50 C. 74 D. 120 7. 某人骑自行车过一座桥，上桥速度为每小时12千米，下桥速度为每小时24千米。而且上桥与下桥所经过的路程相等，中间也没有停顿。问这个人骑车过这座桥，往返的平均速度是每小时（ ）千米。 A. 15 B. 16 C. 18 D. 20 8. 定义，求（ ）。 A. B. 2020！ C. ！ D. 2021！ 9. 甲、乙、丙三人都在读同一本故事书，书中有100个故事。已知甲读了85个故事，乙读了70个故事，丙读了62个故事。甲、乙、丙三人都读过的故事最少有（ ）个。 A. 15 B. 17 C. 32 D. 62 10. 将非0自然数依照下列形式不断写下去：123456……，第2019个数是（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 9 二、填空题。 11. 下面的数阵中，第十二行左起第5个数是_______。 12. 一个学生假期往A、B、C三个城市游览，他今天在这个城市，明天就到另一个城市。假如他第一天在A市，第五天又回到市。那么他的游览路线共有_______种不同的方案。 13. 计算1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋…＋（1＋2＋3＋…＋99＋100）＝_______。 14. 如图，把A、B、C、D、E这五个部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么，这幅图共有_______种不同的着色方法。 15. 在图中的方格中填入不相同的数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，问图中左上角的数是_______。 16. 如下图，已知，线段将图形分成两部分，左边部分面积是76，右边部分面积是130，那么三角形ADG的面积是_______。 17. 小明在读一本旧书，读着读着发现有几页丢失了。丢的书页的页码数字最小是143，最大的数是把143的各位数字交换了位置。另外，把丢失的所有页码相加，正好是2000。这本书丢失了_______张书页。 18. 一个31位的整数，如果把这个整数的每相邻的两个数码组成的整数作为两位数来考虑的话，任何一个这样的两位数都可以被17或23整除。另外，这个31位数的数码中只有一个7。这个31位数的所有数码之和是_______。 19. 下图中，四边形的对角线与相交于为的中点，三角形的面积为45，三角形的面积为18，三角形的面积为69，则三角形AED的面积是_______。 20. 一个数减去2000是一个平方数，减去2019也是一个平方数，这个数是_______。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $