精品解析：第三十一届YMO青少年数学思维研学交流活动四年级复选试卷

第三十一届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学四年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ ）。 【答案】100 【解析】 【分析】1和19分成一组，和是20，3和17分成一组，和是20，5和15分成一组，和是20，7和13分成一组，和是20，9和11分成一组，和是20，总共有5个20。 【详解】 【点睛】从1开始的连续的n个奇数相加的和，可以用来表示。 2. 计算：－＋－＋－＋－＋－＋－（ ）（备注：A2＝A×A）。 【答案】78 【解析】 【分析】观察算式发现题目求的是多个平方差（如 ）的和， 因此可以利用平方差公式）将原式转换为：，继续化简即为：，最后再根据等差数列求和公式即可完成计算。 【详解】 3. 计算：（1＋2＋3＋…＋10＋11＋12＋11＋10＋…＋2＋1）÷6＝（ ）。 【答案】 24 【解析】 【分析】观察数列，从1增加到12再减少到1，可以根据等差数列求和公式进行计算求出这一列数的和，然后除以6，得到结果。 【详解】（1＋2＋3＋…＋10＋11＋12＋11＋10＋…＋2＋1）÷6 ＝[（1＋12）×12÷2＋（11＋1）×11÷2]÷6 ＝（13×12÷2＋12×11÷2）÷6 ＝（156÷2＋132÷2）÷6 ＝（78＋66）÷6 ＝144÷6 ＝24 4. 计算：1234－234＝（ ）。 【答案】 1468000 【解析】 【分析】此题利用平方差公式  进行简便计算。 【详解】 5. 计算：＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝（ ）（备注：A3＝A×A×A）。 【答案】4356 【解析】 【分析】这道题先计算从  到  的和（即 ），根据立方和求和公式即可求解。 【详解】 6. 规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝（ ）。 【答案】 2023 【解析】 【分析】根据题意得，A〇B表示A和B中较大的数，A△B表示A和B中较小的数，根据这个规定和运算顺序，先计算括号内的表结果再相乘，据此即可求出最后答案。 【详解】（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70） ＝（25－8）×（53＋66） ＝17×119 ＝2023 7. 用3种颜色给下图中的6个格子染色，每个格子只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色，一共有（ ）种不同的染色方法。 【答案】96 【解析】 【分析】本题运用乘法原理，根据每个格子的染色选择情况来计算总的染色方法数。乘法原理为：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种 不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3 ×…×mn种不同的方法。 【详解】A有3种颜色可选，其它都有2种颜色可选， （种） 因此一共有96种不同的染色方法。 8. 两个自然数之和等于99，那么它们的乘积最大是（ ）。 【答案】 2450 【解析】 【分析】两个自然数的和固定时，它们的乘积在两者最接近时达到最大。由于和为99是奇数，因此取最接近的两个数49和50，相乘即可求出最大的乘积。 【详解】 当乘积要最大时，则这两位数分别为49和50。 最大乘积为： 9. 根据下图规律，空白方框应该是（ ）。 【答案】3594 【解析】 【分析】通过观察前两个方框中数字的规律，来确定第三个方框中空白处的数字。规律为：下面方框的第一个数字是上面方框左边数的十位数，第二个数字是上面两个方框中十位数相加的和，第三个数字是上面两个方框中个位数相加的和，第四个数字是上面方框右边数的个位数。 【详解】空白方框第一位数字为：3； 第二位数字为：3＋2＝ 5； 第三位数字为：5＋4＝ 9； 第四位数字为：4； 因此空白方框应该是 3594。 10. 请将4，5，6，7，8，9这六个数分别填入算式□□□×□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大，最大的结果是（ ）。 【答案】843500 【解析】 【分析】因为要让三位数乘三位数的结果最大，所以首先要确定两个三位数的百位数字，需选择六个数中最大的两个数字，是8和9。 确定百位后，要让两个数的差尽可能小，所以接下来要将剩余数字中较大的搭配较小的百位，较小的搭配较大的百位，组成两个三位数的十位和个位。 最后通过乘法运算验证组合的合理性，可利用“两个数和一定时，差越小乘积越大”的原理来推导。 【详解】六个数字中，最大的两个是8和9，因为三位数的百位数字确定为8和9； 剩余数字为4、5、6、7，需分配给两个数的十位和个位。 可能的组合有：975×864＝842400 974×865＝842510 965×874＝843410 964×875＝843500 842400＜842510＜843410＜843500， 故符合题意算式为：964×875＝843500。 则最大的结果是843500。 11. 用六种颜色对下图中的A、B、C、D四个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，一共有（ ）种不同的染色方法。 【答案】630 【解析】 【分析】根据各区域相邻关系，按照特定顺序利用分步乘法计数原理计算染色方法数。 【详解】先给A上色，有6种选法， 若B与D颜色相同， 则染色方法有：（种） 若B与D颜色不同， 则染色方法有：（种） 一共：（种） 一共有630种不同的染色方法。 12. 甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车。会开A的只有甲和乙，会开E的只有甲、乙、丙。一共有（ ）种不同的安排方案。 【答案】 24 【解析】 【分析】车A只能由甲或乙驾驶，车E只能由甲、乙或丙驾驶。需要根据限制条件，逐步分析车A和车E的驾驶选择，再计算剩余车辆和人员的安排方案。 【详解】车A只能由甲或乙驾驶，因此有2种选择。 若甲驾驶车A，则车E只能由乙或丙驾驶，有2种选择，剩余三辆车B、C、D由剩余三人驾驶， 安排方案数为：2×3×2×1＝12（种）； 若乙驾驶车A，则车E只能由甲或丙驾驶，有2种选择，剩余三辆车B、C、D由剩余三人驾驶， 安排方案数为：2×3×2×1＝12（种）； 总安排方案数为：12＋12＝24（种） 【点睛】本题考查的是在限制条件下的排列组合问题。 13. 如图，四边形ABCD和AEFG分别是长方形和正方形。已知正方形的边长是17厘米，长方形ABCD的面积是215平方厘米，那么△DFG的面积是（ ）平方厘米。 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要运用三角形面积公式，通过将图形面积进行合理转化，利用长方形和正方形的面积关系来求解△DFG的面积。 【详解】如图所示，连接DE，过D点作HI∥AE交AG于点I，交EF于点 H。 （平方厘米） 因为△ADE的面积等于长方形AEHI的一半， 所以（平方厘米）。 因为正方形的边长是17厘米， 所以（平方厘米）， （平方厘米）。 因为△DFG的面积等于长方形IHFG的一半， 所以（平方厘米） 14. 如图，不包含星星的长方形一共有（ ）个。 【答案】255 【解析】 【分析】先计算出图中所有长方形的个数，再分别计算出含每个星星以及同时含两个星星的长方形个数，通过容斥原理算出至少含一个星星的长方形个数，最后用所有长方形个数减去至少含一个星星的长方形个数，得到不包含星星的长方形个数。 【详解】长方形总数： （个） 含有上方☆的长方形个数： （个） 含有下方☆的长方形个数： （个） 同时含有两个☆的长方形个数： （个） 至少含有一个☆的长方形个数：（个） 不包含星星的长方形个数：（个） 因此不包含星星的长方形一共有255个。 15. 九个不同自然数的和是315，当最小的数取到最大值时，这个最小数是（ ）。 【答案】 31 【解析】 【分析】为了使得九个不同自然数中的最小值尽可能大，应让这些数尽可能接近，即取连续的自然数。设最小数为x，则九个数分别为x， x＋1， x＋2， …… ，x＋8，其和为9x＋36，然后再根据这九个不同自然数的和是315进行求解。 【详解】设九个不同自然数中的最小数为x。 由于自然数互不相同，则这九个数至少为x， x＋1， x＋2， ...， x＋8， 其和为： 已知九个数之和为315，因此：， 但为了最小数最大，需使和尽可能小，故取等号。 即 因此这个最小数是31。 16. 如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积为17平方厘米，三角形BQC的面积为26平方厘米，那么阴影的面积是（ ）平方厘米。 【答案】43 【解析】 【分析】如图、连接EF，根据蝴蝶模型的结论即可知道三角形APD的面积等于三角形PEF的面积，三角形BCQ的面积等于三角形QEF的面积，因此即可知道阴影的面积是三角形APD与三角形BCQ的面积之和。 【详解】连接EF，三角形APD的面积等于三角形PEF的面积，三角形BCQ的面积等于三角形QEF的面积。 阴影部分的面积＝三角形PEF的面积＋三角形QEF的面积 ＝三角形APD的面积＋三角形BCQ的面积 ＝17＋26 ＝43（平方厘米） 因此阴影的面积是43平方厘米。 17. 十一级台阶，小铭从下往上走，若每次只能跨过一级或两级台阶，那么他走上去一共有（ ）种不同的方法。 【答案】 144 【解析】 【分析】通过分析较小台阶数的走法，发现走法数存在规律：从第3级台阶开始，每级台阶的走法数等于前两级台阶走法数之和。因此，可以通过递推的方法计算出11级台阶的走法数。 【详解】走上去一级的方法：1种； 走上去两级的方法：2种； 走上去三级的方法：1＋2＝3（种）； 走上去四级的方法：2＋3＝5（种）； 走上去五级的方法：3＋5＝8（种）； 走上去六级的方法：5＋8＝13（种）； 走上去七级的方法：8＋13＝21（种）； 走上去八级的方法：13＋21＝34（种）； 走上去九级的方法：21＋34＝55（种）； 走上去十级的方法：34＋55＝89（种）； 走上去十一级的方法：55＋89＝144（种）； 因此他走上去一共有144种不同的方法。 18. 如图，已知梯形的面积是366平方厘米，又知图中给出的数据，那么梯形的下底是（ ）厘米。 【答案】36 【解析】 【分析】先根据勾股定理，求出直角三角形的斜边长，也就是梯形的上底长。再用两个直角边的长度求出直角三角形的面积，用“三角形面积×2÷斜边长度”求出直角三角形斜边上的高，由于直角三角形与梯形同高，所以这个高也是梯形的高。最后根据“梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2”，推导出“下底＝梯形面积×2÷高－上底” 【详解】假设梯形上底长度为a厘米，下底长度为b厘米，高为h厘米。 根据勾股定理：a2＝202＋152， a2＝625， a＝25 直角三角形的面积：20×15÷2＝150（平方厘米） 直角三角形斜边上的高h＝150×2÷25＝12（厘米） 梯形的下底： 366×2÷12－25 ＝732÷12－25 ＝61－25 ＝36（厘米） 19. 有两列火车，一列长240米，每秒行18米，另一列长204米，每秒行30米。两车同向而行，快车赶超慢车（从追上到完全超过）需要（ ）秒。 【答案】37 【解析】 【分析】两车同向而行时，快车赶超慢车的过程中，相对速度是快车速度减去慢车速度，而赶超的路程是两车的长度之和。通过相对速度和总路程可以计算所需时间。 【详解】30－18＝12（米/秒） 240＋204＝444（米） 444÷12＝37（秒） 20. 小M在铁路旁以每秒2米的速度步行，一列长220米的火车从他后面开来，从他身边通过用了10秒。请问：火车每秒钟行（ ）米。 【答案】24 【解析】 【分析】火车从身后追上并通过小M，行驶的相对路程就是火车自身长度，相对时间已知，先求出火车与小M的速度差，再用速度差加上小M的速度，即可得到火车速度。 速度差：因为火车和小M是同向的，那么每秒走的路程会抵消一部分，用火车的速度减去小M的速度，剩下的就是每秒火车追赶小M走的路程。 【详解】速度差： 220÷10＝22（米/秒） 火车速度：22＋2＝24（米/秒） 21. 爷爷要用长24米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，养鸡场面积最大是（ ）平方米。 【答案】72 【解析】 【分析】爷爷要用长24米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，靠墙的是斜边，所以篱笆只围了两条直角边，那么两条直角边相加的和等于24米，而且两条直角边都是整数米，所以两条直角边可能是1米和23米、2米和22米、3米和21米、4米和20米、5米和19米、6米和18米、7米和17米、8米和16米、9米和15米、10米和14米、11米和13米或12米和12米，再根据三角形的面积＝底×高÷2求出养鸡场的面积，把所有的面积进行比较，找出最大的面积。 【详解】1×23÷2＝11.5（平方米） 2×22÷2＝22（平方米） 3×21÷2＝31.5（平方米） 4×20÷2＝40（平方米） 5×19÷2＝47.5（平方米） 6×18÷2＝54（平方米） 7×17÷2＝59.5（平方米） 8×16÷2＝64（平方米） 9×15÷2＝67.5（平方米） 10×14÷2＝70（平方米） 11×13÷2＝71.5（平方米） 12×12÷2＝72（平方米） 72＞71.5＞70＞67.5＞64＞59.5＞54＞47.5＞40＞31.5＞22＞11.5 所以当两条直角边都是12米的时候，养鸡场的面积最大，是72平方米。 22. 如图所示把一个长方形分成九个小长方形，已知这些小长方形周长总和是240厘米，则原来的大长方形的周长是（ ）厘米。 【答案】80 【解析】 【分析】观察题干中的图，可以发现把大长方形分成9个小长方形后，所有小长方形的周长总和，等于大长方形的周长加上4条内部分割线长度和的2倍（因为每条分割线会被左右/上下两个小长方形各算一次周长）。先算出小长方形周长总和相当于大长方形长、宽的总倍数，用小长方形周长总和除以倍数，即可再求出大长方形的周长。 【详解】大长方形的上下两条长：各被计算1次，共2次； 大长方形的左右两条宽：各被计算1次，共2次； 内部横向分割线（平行于长）：共 2 条，其中每条被上下两个小长方形各算 1 次，相当于每条被算2次，共2×2＝4（次）； 内部纵向分割线（平行于宽）：共 2 条，其中每条被左右两个小长方形各算 1 次，相当于每条被算2次，共2×2＝4（次）； 那么，在所有小长方形的周长中，大长方形的长计算次数：2＋4＝6（次），大长方形的宽计算次数：2＋4＝6（次）； 所以小正方形的总周长相当于大长方形的6条长和6条宽，即（长＋宽）×6； 而大长方形的周长＝（长＋宽）×2， 这里，由于6是2的3倍，所以小长方形的总周长相当于大长方形周长的3倍，用小长方形周长总和除以倍数就可以得到大长方形的周长。 列式：240÷3＝80（厘米） 所以原来的大长方形的周长是80厘米 23. 恰好有2025个不超过m的正整数n，满足1n＋2n＋3n＋4n的结果的个位为0，那么m最小（ ）。 【答案】2699 【解析】 【分析】先分别探究、、、的个位数字的周期性规律。 的个位永远是1； 的个位每4个为一个循环，依次为2、4、8、6； 的个位每4个为一个循环，依次为3、9、7、1； 的个位每2个为一个循环，依次为4、6； 当n＝1时，个位相加，即1＋2＋3＋4＝10，个位是0； 当n＝2时，个位相加，即1＋4＋9＋6＝20，个位是0； 当n＝3时，个位相加，即1＋8＋7＋4＝20，个位是0； 当n＝4时，个位相加，即1＋6＋1＋6＝14，个位是4，不满足； 则1n＋2n＋3n＋4n的个位每四组中，有三组满足和的个位为0一个循环，则2025个中恰好有675个完整的周期满足条件，每一个周期对应4个连续正整数，最小的m出现在第675个周期的最后一个不满足条件的数处。 【详解】2025÷3＝675 675×4－1 ＝2700－1 ＝2699 则m最小2699。 24. 定义新运算a△b＝（b2＋3a）÷（a＋33b），那么（1△2△3…△99△100）×3303＝（ ）。 【答案】10009 【解析】 【分析】设“1△2△3……△98的结果”为x，根据定义运算新计算出x △ 99 的值，再进一步计算“这个值△100”，最后再计算括号外的乘法，即可求得。 【详解】解：设1△2△3……△98的结果为x。 x△99＝＝＝＝＝3 再计算3△100＝＝＝ 最后计算×3303＝10009 【点睛】通过设未知数x，结合乘法分配律的逆运算，计算出x△99的结果是解题的关键，省去了前面繁琐的运算。 25. 对于任意非0自然数n，令f（n）表示1＋2＋3＋…＋n的末位数字。如：f（1）＝1，f（4）＝0，等等f（2）＋f（4）＋f（6）＋…＋f（2024）＝（ ）。 【答案】3538 【解析】 【分析】通过计算确定周期规律，按周期分组，用一个周期的和与组数相乘再加上剩余项的和求得即可。 【详解】f（2）＝3，f（4）＝0，f（6）＝1，f（8）＝6，f（10）＝5，f（12）＝8，f（14）＝5，f（16）＝6，f（18）＝1，f（20）＝0，f（22）＝3，f（24）＝0，f（26）＝1，f（28）＝6，f（30）＝5，f（32）＝8，f（34）＝5，f（36）＝6，f（38）＝1，f（40）＝0…… 可以发现末位数字依次为：3、0、1、6、5、8、5、6、1、0 即以10个数为一个周期，2024÷2＝1012（个），1012÷10＝101（组）……2（个）。 101×（3＋0＋1＋6＋5＋8＋5＋6＋1＋0）＋（3＋0） ＝101×35＋3 ＝3535＋3 ＝3538。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三十一届“YMO”青少年数学思维研学交流活动复选试卷小学四年级 一、填空题。（把正确的答案填在括号内，每题4分，共100分） 1. 计算：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ ）。 2. 计算：－＋－＋－＋－＋－＋－（ ）（备注：A2＝A×A）。 3. 计算：（1＋2＋3＋…＋10＋11＋12＋11＋10＋…＋2＋1）÷6＝（ ）。 4. 计算：1234－234＝（ ）。 5. 计算：＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝（ ）（备注：A3＝A×A×A）。 6. 规定：A〇B表示A，B中较大的数，A△B表示A，B中较小的数。则（100△25－7〇8）×（51〇53＋66△70）＝（ ）。 7. 用3种颜色给下图中的6个格子染色，每个格子只能染一种颜色，并且相邻的两个不能同色，一共有（ ）种不同的染色方法。 8. 两个自然数之和等于99，那么它们的乘积最大是（ ）。 9. 根据下图规律，空白方框应该是（ ）。 10. 请将4，5，6，7，8，9这六个数分别填入算式□□□×□□□的方格中，使这个乘法算式的结果最大，最大的结果是（ ）。 11. 用六种颜色对下图中的A、B、C、D四个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，一共有（ ）种不同的染色方法。 12. 甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E这五辆不同型号的汽车。会开A的只有甲和乙，会开E的只有甲、乙、丙。一共有（ ）种不同的安排方案。 13. 如图，四边形ABCD和AEFG分别是长方形和正方形。已知正方形的边长是17厘米，长方形ABCD的面积是215平方厘米，那么△DFG的面积是（ ）平方厘米。 14. 如图，不包含星星的长方形一共有（ ）个。 15. 九个不同自然数的和是315，当最小的数取到最大值时，这个最小数是（ ）。 16. 如图所示，长方形ABCD中，三角形APD的面积为17平方厘米，三角形BQC的面积为26平方厘米，那么阴影的面积是（ ）平方厘米。 17. 十一级台阶，小铭从下往上走，若每次只能跨过一级或两级台阶，那么他走上去一共有（ ）种不同的方法。 18. 如图，已知梯形的面积是366平方厘米，又知图中给出的数据，那么梯形的下底是（ ）厘米。 19. 有两列火车，一列长240米，每秒行18米，另一列长204米，每秒行30米。两车同向而行，快车赶超慢车（从追上到完全超过）需要（ ）秒。 20. 小M在铁路旁以每秒2米的速度步行，一列长220米的火车从他后面开来，从他身边通过用了10秒。请问：火车每秒钟行（ ）米。 21. 爷爷要用长24米的篱笆围成一个靠墙的直角三角形养鸡场，已知靠墙的恰好为三角形斜边，两条直角边长均为整数米，养鸡场面积最大是（ ）平方米。 22. 如图所示把一个长方形分成九个小长方形，已知这些小长方形周长总和是240厘米，则原来的大长方形的周长是（ ）厘米。 23. 恰好有2025个不超过m的正整数n，满足1n＋2n＋3n＋4n的结果的个位为0，那么m最小（ ）。 24. 定义新运算a△b＝（b2＋3a）÷（a＋33b），那么（1△2△3…△99△100）×3303＝（ ）。 25. 对于任意非0自然数n，令f（n）表示1＋2＋3＋…＋n的末位数字。如：f（1）＝1，f（4）＝0，等等f（2）＋f（4）＋f（6）＋…＋f（2024）＝（ ）。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $