2025-2026学年高二下学期期末数学自编复习卷（人教A版）

**基本信息** 以“量子通信模拟”实验为情境，覆盖集合、函数、立体几何等高二核心知识，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、函数奇偶性与周期、向量基底|基础概念辨析，考查抽象能力| |多选题|3/18|复数性质、解三角形、四面体体积与外接球|多维度辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|向量线性运算、数列求和、双曲线离心率|情境化计算，体现数学语言表达| |解答题|5/77|向量与解三角形、导数恒成立、立体几何二面角、概率分布列、轨迹方程|“量子通信”情境融合概率统计，考查数据观念；立体几何证明与计算，发展空间观念|

2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若，则（     ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 4．（本题5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（本题5分）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知的展开式中的系数为5，则（　　） A．4 B．3 C． D． 7．（本题5分）已知函数，若且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）设为数列的前n项和，,则“为递增数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列关于复数的四个命题，其中为真命题的是（   ） A． B．的虚部为 C．在复平面内对应的点在第三象限 D． 10．（本题6分）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若是锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，，，则有两解 11．（本题6分）已知四面体中，，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D．若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 13．（本题5分）已知数列满足，，则数列的前7项和为__________. 14．（本题5分）已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知向量.设. (1)求函数的最小正周期； (2)记的内角所对的边分别是，已知的面积为，求的长. 16．（本题15分）已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 17．（本题15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 18．（本题17分）某兴趣小组设计一种“量子通信模拟”实验：盒中装有大小、形状完全相同的红球4个和白球2个，每次从盒中随机摸出1个球，记录颜色后放回.规定：摸到红球记为发送红球信息，摸到白球记为发送白球信息.发送者甲每次摸球后，随机选择两种编码方式A，B中的一种发送信息；接收者乙收到信息后，也随机选择A，B中的一种方式进行解码，且二者选择A，B的概率均为.已知：若甲、乙采用相同编码方式，则乙正确得到该次球颜色的概率为1；若甲、乙采用不同编码方式，则乙正确得到颜色的概率为. (1)求乙正确得到该次球颜色的概率p； (2)独立进行3次通信，记随机变量X为这3次中乙显示为红球的次数，求X的概率分布列及数学期望； (3)现加入窃听者丙，每次通信时，丙先接收到甲的信息，并随机选择A，B中的一种方式进行“窃听”，再将自己的结果发送给乙；乙仍按原规则随机选择方式解码.设无窃听者时，乙正确得到信息的概率为，有窃听者时为. （i）求，； （ii）为判断通信过程中是否存在窃听，独立重复进行n次通信，记乙正确得到信息的次数为Y.规定统计量，当时，判断通信过程中存在窃听；否则暂不判断存在窃听.现进行了64次通信，乙正确得到信息40次，请根据上述标准判断通信过程中是否存在窃听，并说明理由. 19．（本题17分）在平面直角坐标系中，，以为圆心作半径为4的圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径交于点. (1)当在圆上运动时，求点的轨迹方程； (2)过的直线交曲线交于两点，点关于轴的对称点为. （i）直线与轴的交点为，求点的坐标； （ii）求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期期末数学复习卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D D A ABD ABD 题号 11 答案 ABD 2 12. 13.5 14,1+5 15【详解】(1)由恩意， 问=ai=ssr+5 coim+} sinxcosx+3cos2x 2 血2士告2四2x+微家乙g a-5a引-号.854：.所24昏. 解得 A、π 6 因为5xcs1分x5ex5,所以e4由余弦定理行 g=b2+c2-2hco8A=V5'+4-2x4x5x5=7 2 ,所以a=7 16【详解】()当a=0时，f(冈=(+)e,f()=(x+2)e 设点P的坐标P）,由题意得：代)=(6+2)e=0,解得：=-2 （2)f(四2--4r台(r+l0e-a≥-2-4r台a≤+1)e+r+4 令8()=(x+e+r+4r,则86四)=(x+2)e+2x+4=(x+2e+2列 因为+2>0，所以当<-2时，8)k0,8(单调递减，当>-2时，g)0, g单调递增，所以8)n=8(-2）)-=[(-2)+小e2+(-2+4×(-2)=4,所以 1 a≤-4- e2, 即：a的取值范围是 4司 17.【详解】(1)因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形， AB=AD=2, 取AD的中点O,连接CO, 在菱形ABCD中，∠ADC=60°，所以△ADC是等边三角形，则CO⊥AD, 又因为平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD, COC平面ABCD, 所以PA⊥平面ABCD B (2)由(I)知PA⊥平面ABCD,以A为原点，AD所在直线为x轴，过A作AD的垂线 为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， B E A(0,0,0),P(0,0,2),D(2,0,0) 因为C=+D-W50+亿.00)=(50），所C5.0）,因为i为PD的中点， 所以EL.0,,P=(00,2,正=L0,设平面PE的法向量为=(，，）， AP=22=0 则zA正=x+云=0，取y=1,得元=(0,1,0）AC=(1,5,0),AE=(1,0,1),设平面CAE m,·4C=x+5%=0 的法向量为m=(:,,2)则m,A正=x+,=0，取为=1，得元=(5,1，V5) cos= 4:20x5)+1x1+0x51=万 二面角 为钝角，故 C-AE-P 阿网1x,++77, 万 所以二面角C-AE-P的余弦值为7· 18,【详解】(1)记事件S=“甲、乙采用相同编码方式”，C=“乙正确得到该次球颜 色” 1 因为甲、乙独立随机选择编码方式，且选择A,B的概率均为2， 所以PS)-3,P⑤)-2 又由题意可知PCS=I,P(c1)- 由全概率公式，得P=PC=PS)PCS)+P(S)P(C1S) 1 113 所以卫=。1+ 2224 （2)记事件R=“摸到红球”，H=“乙显示为红球”由慰意可知PR)=4子 63, P 3 31 由第(1)问可知，乙正确得到颜色的概率为，因此乙判断错误的概率为1一44，所以 PUHR=},P(H)=4由全概率公式，符 Pn=AH则+r(国Pa网=号名 而独立进行3次通信， k=0,1,2,3. 概率分布列为： X 0 1 2 3 125 P(X=k) 175 245 343 1728 576 576 1728 数学期望为E(X)=3.7=7 124: 3 (3)(①)无窃听者时，由第(1)问可知P,=4, 有窃听者时，记D=“丙正确得到甲发送的信息”，E=“乙正确得到丙转发的信息”· 白影意可如PD)-子P(8) 3 4,乙最终正确得到甲发送的信息，有两种互斥情形： DOE,DOE. 33,115 3 因此D,=PDnE)+P(DnE)=PD)P(E)+P(D)P(E)F44+448,所以P,=4, 8; (四由题意，n=4,y=40:且R=} 4 40-64×3 代入统计量Z= Y-np, 得之、 40-48 4 31V12 233, p(-p)】 64×× 44 4 因为 <-2,所以根据题中判断标准，应判断通信过程中存在窃听 故结论为通信过程中存在窃听 a. MA A 19.【详解】(1)因为M是圆上任意一点，点C为线段的垂直平分线与半径 的交点， 则MC=C4放C4+CA=C4+wG=4M=4,又因为 4=2,则 CA+CA =4>44 所以C的轨迹是以4， 为两焦点，长轴长为4的椭圆，即a=2c=1,6=V5 x2 y2 故C的轨迹方程为4+3=】 (2)①由已知直线与直线44不重合， 设过4.0的直线DE方程为=m+1,D(,E(5,)D(-）, 父+-1 43 联立x=my+1，化简得(3m2+4)y2+6my-9=0,显然A>0'且 6m 9 y+h=3m2+43h=3m2+4 ogs点+y ,y+y=+(x-x) 又因为-x,则直线DE的方程为x-x ,令y=0,得 x=5+ y+2, 将=m+l,=m+代入上式，可得 9 x=(m+1)+(m+2_2m+y+y_ 2m m3m2+4+1=4」 y+2 y+y2 6m 3m2+4 所以点P的坐标为 4,0) 12(m2+1) 面由)得D-+m0+为-4=3n+4, PD=(k-4}+=(m-3+片=(m2+)-6m+9,同理得， 1PEP=(m2+1)y2-6my2+9 则PD+PE=(m++）-6m(y+)+18 =(m2+1[0y+2}'-2]-6m0y+⅓)+18 6m 将+h=3m+44=3m+4 代入，化简得，Pm+1P-1820m+41m+20 (3m2+4)1 18(20m+41m2+20） PDP+PEP (3m2+4 (4m2+5)(5m2+4) 故 DEP 144(m2+12 8(m2+12 令 ,则 (3m2+42 t=m2+1(t21) m2=t-1 oE.-.m期-期是. IDEP 8t2 1 由≥1，则0<1， PDP+PEP 8 PDP+PEP 当时， IDEP 32,当=1时， DEP /min PDP+PEP [5817 所以|DEP 的取值范围为2'32 D O A2 E