河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（十）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高二期末数学模拟卷，以高考全部内容为范围，通过立体几何（线面平行证明、空间角计算）、概率统计（次品数分布列与期望）、圆锥曲线（定点问题）等综合性解答题，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，适配高二期末复习与高考衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、二项式定理等基础|注重概念辨析，如复数实部求解| |多项选择|3/18|数列（等差与等比综合）、函数性质|选项分层，如递增数列判断| |填空|3/15|取整函数、奇函数不等式、双曲线离心率|创新情境，如取整数列求和| |解答题|5/77|立体几何（空间观念）、概率（数据意识）、圆锥曲线（模型观念）、导数（推理能力）|梯度设计，如概率题结合交换产品实际情境，导数题探究存在性与变化趋势|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【详解】因为全集，，， 所以，故. 2．若，则的实部为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【详解】由于， 所以， 故的实部为 3．展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二项展开式的第k项、求指定项的系数 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，求出答案. 【详解】在的展开式中，通项， 令，即，解得，由题意，得． 4．已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】求点到直线的距离、直线与抛物线交点相关问题、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】先求出抛物线：的焦点，将与联立并消去，由题意可知判别式为0，可求出的值得到直线的方程，然后利用点到直线的距离公式可求得结果 【详解】抛物线的焦点为. 直线与抛物线只有一个公共点，说明该直线为抛物线的切线. 将代入，得. 整理得. 只有一个公共点，故判别式为0，即. 化简得， 所以. 此时直线为，即. 点到该直线的距离为. 5．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】求线面角 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，， 取的中点，连接， 是中点，是中点， ， 底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，， . 底面，底面， ，即是直角三角形， ． 6．已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【详解】由题意得，， 则， ， 则在向量上的投影向量为. 7．设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数图象变换得到，对于的任意取值，在上有唯一解，关键是转化得到在上有唯一解，画出图形，由数形结合即可顺利得解． 【详解】由题意得， 当时，有，此时， 令，则， 因为时，所以， 因为对于的任意取值，在上有唯一解， 即在上有唯一解，如图所示： 因为，所以， 由图可知，，所以． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．［多选］已知数列和各项均为正数的等比数列满足： ，，是与的等差中项，数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列是递增数列 D． 【答案】ABC 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】设等比数列的公比为，求出的值，可求得数列的通项公式，根据已知条件可求得，利用与的关系可求得数列的通项公式，进而可判断各选项的正误. 【详解】选项A，设的公比为,由题知，故， 当， ， ，，； 当， ，满足， 故数列的通项公式为，则，故为等差数列，A正确； 选项B，，B正确； 选项C，，故是递增数列，C正确； 选项D，当时，， ，矛盾，D错误． 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题设条件可得在上的单调性，结合其奇偶性可求不等式的解，从而可得正确的选项. 【详解】令，由题意知在上为减函数． 因为为上的偶函数，为上的奇函数，所以为上的奇函数． 又在上为减函数，，所以为上的减函数． ①当 时，即， 所以，所以，所以，解得； ②当 时，即， 所以，所以，所以，解得． 综上，或． 11．已知圆台形状的容器的上､下底面半径分别为1，2，母线长为2.若容器壁厚度忽略不计，则（    ） A．该容器的侧面积为 B．该容器的容积为 C．该容器可以整体放入表面积为的球形容器内 D．能将7个半径为的球平铺放入该容器内 【答案】ACD 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆台表面积的有关计算、台体体积的有关计算、球的表面积的有关计算 【分析】对于A，B选项，利用圆台的侧面积公式和体积公式求解；对于C，求出球形容器的半径，再判断圆台形容器能否放入；对于D选项，求出当球与圆台相切时球的半径，再判断能否放入. 【详解】对于A，该容器的侧面积为，A正确； 对于B，该容器的高为， 所以该容器的容积为，B错误； 对于C，设表面积为的球形容器半径为， 则，所以，将圆台形状的容器按照如图所示放置， 假设，则圆台上底面半径，又， 所以该容器可以整体放入表面积为的球形容器内，C正确； 对于D，这7个球按如下方式放入该容器，当球与圆台相切时，过点A，B，C作圆台的轴截面， 易知圆台的母线与下底面的夹角为，则， 此时，故能将7个半径为的球平铺放入该容器，D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．记为不大于实数的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2026项的和_________． 【答案】4971 【知识点】分组（并项）法求和、数列新定义 【详解】根据题意知： 因此． 13．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、由奇偶性求参数 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 14．已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义，直角三角形内切圆半径公式，勾股定理以及双曲线离心率的计算公式，联立方程求出离心率. 【详解】双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，； ， 的内切圆半径为， ，. ，. ，即； ，即，解得或； 由，得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点为棱的中点，点为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； (2) (3) 【知识点】线面角的向量求法、面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，根据向量共面定理证明线面平行； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解； （3）首先求平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系．则，，，，． 因为，分别为，的中点，所以，． ，，， ，且平面， 所以平面； （2）因为，，所以． 平面的一个法向量为， 设与平面的夹角为， 则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为． （3）平面的一个法向量为． 平面中，，． 取平面的一个法向量为， 则，得，令，得 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为，则． 16．在中，，，，为的中点，，分别在边，上，. (1)若，，求的值； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理求出，由勾股定理可得是直角三角形，从而求出，，在中利用正弦定理求出，所以，从而得出，则在中可计算得出； （2）设，，在，中分别利用正弦定理得出，，然后利用面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 解得，所以，则，， 在中，由正弦定理得，所以， 即，则， 因为，所以， 在中，，则． 又，所以．     （2）设，， 则，，， 在中，由正弦定理得，整理得， 在中，由正弦定理得，整理得，     则， 又，， 所以，     所以． 17．，两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. (1)在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. (2)若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 【答案】(1)则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 (2) (3) 【知识点】均值的实际应用、超几何分布的均值、超几何分布的分布列、求超几何分布的概率 【分析】（1）根据不放回抽样的特点，确定随机变量的取值，并用组合数计算各取值对应的概率，再由分布列求数学期望． （2）固定产品交换后的结果，设两盒中的次品数分别为和．分别求从两盒中抽出的次品数的期望，再利用+=9求总期望． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止．分别设甲、乙一轮的期望得分，利用有放回抽取后概率不变列方程，再根据前10轮中甲、乙各进行5轮求期望差． 【详解】（1）由题意得服从超几何分布，的取值可能为， 则， ， 则随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 则. （2）固定一次交换后的结果，设交换后A盒、B盒中的次品数分别为和． 交换产品不会改变两盒中次品的总数，所以． 设从A盒、B盒中各取2件产品时，所取次品数分别为和，则． 在上述固定的交换结果下，从含有件次品的10件产品中随机取2件， 所取次品数的期望为；同理，． 因此，无论交换后两盒中的次品如何分配， 都有．故． （3）按题意，一轮是某人从开始抽取到抽到正品为止；抽到正品后，本轮结束并换另一人开始下一轮． 由于甲先开始，所以前10轮中甲进行第1，3，5，7，9轮，乙进行第2，4，6，8，10轮，即甲、乙各进行5轮． 甲从A盒抽取时，抽到次品的概率为，抽到正品的概率为． 设甲一轮的期望得分为． 若甲第一次抽到正品，本轮得分为0；若第一次抽到次品，甲先得1分， 再继续进行与开始时相同的有放回抽取过程，后续期望得分仍为． 因此．解得． 同理，乙从B盒抽取时，抽到次品和正品的概率均为． 设乙一轮的期望得分为，则，解得． 所以前10轮结束后，甲、乙得分期望值的差为． 18．已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)（i） 不为定值.理由如下. 设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 , 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得 得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ⅱ） 由（i）得 则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 【知识点】椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据题意，列出的方程组求出得解； （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【详解】（1）由题可知：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）略 （ii）略 19．已知函数．对于实数，定义． (1)求，并证明在上单调递增； (2)若存在实数，使得，求实数的取值范围； (3)设，证明：存在唯一实数，使得．并判断随的变化趋势． 【答案】(1)，证明如下： 因为，且在上单调递增，所以在上单调递增． (2) (3)对，有． 若，则，即． 由于，所以，从而． 右边为正数，因此存在唯一实数； 随的变化趋势为随的增大而减小． 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】（1）由，得，． 所以，化简得． 证明略． （2）由及，可得． 当时，；当时，．因此的值域为． 所以实数的取值范围为． （3）证明略．下面判断随的变化趋势． 由，得．分母显然为正． 设，则，． 所以当时，，从而．因此随的增大而减小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（十） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知全集，，，则（     ） A． B． C． D． 2．若，则的实部为（   ） A． B． C． D．0 3．展开式中的常数项为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线：的焦点为.若直线与抛物线只有一个公共点，则点到该直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 5．已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 6．已知，与的夹角为，是与向量方向相同的单位向量，则在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 8．将函数图象所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若对于任意，总存在唯一的．使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．［多选］已知数列和各项均为正数的等比数列满足： ，，是与的等差中项，数列的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等差数列 B． C．数列是递增数列 D． 10．已知函数是定义在上的偶函数，若，且，则下列满足不等式的t的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 11．已知圆台形状的容器的上､下底面半径分别为1，2，母线长为2.若容器壁厚度忽略不计，则（    ） A．该容器的侧面积为 B．该容器的容积为 C．该容器可以整体放入表面积为的球形容器内 D．能将7个半径为的球平铺放入该容器内 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．记为不大于实数的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2026项的和_________． 13．已知是奇函数，则不等式的解集是______. 14．已知双曲线的左、右焦点为，，点在双曲线的右支上，且，的内切圆半径为，则双曲线的离心率为________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面，．点为棱的中点，点为棱的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成二面角的余弦值． 16．在中，，，，为的中点，，分别在边，上，. (1)若，，求的值； (2)求面积的最小值. 17．，两盒中各有10件产品，其中盒中有4件次品，盒中有5件次品. (1)在盒中随机取4件产品，这4件产品中次品数为变量，求变量的概率分布及. (2)若随机交换盒与盒中两件产品后，再从，盒中各随机取2件产品，这4件产品中次品数为变量，求. (3)甲乙两人轮流从A盒中和B盒中有放回地抽取一件产品，规则如下：甲先从A盒中抽取，抽到次品加一分后甲继续抽，若抽到正品换乙从B盒中继续抽，规则一样.求前10轮结束后，甲乙得分期望值的差？ 18．已知椭圆：的离心率为，过点． (1)求的方程； (2)已知点，过点的直线交于，两点（，在轴的下方），直线交直线于点． （ⅰ）设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ⅱ）证明：直线过定点． 19．已知函数．对于实数，定义． (1)求，并证明在上单调递增； (2)若存在实数，使得，求实数的取值范围； (3)设，证明：存在唯一实数，使得．并判断随的变化趋势． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $