2.1 认识一元二次方程课时2（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程解的意义、实际问题列方程及估算解，通过幼儿园铺地毯问题导入，以分析x取值范围、表格试值为支架，连接实际情境与方程解的探究，帮助学生逐步理解知识脉络。 其亮点是以铺地毯、梯子滑动等实际问题为载体，用“夹逼法”估算解，培养数学眼光、思维与语言。采用问题链引导、表格对比教学，小结清晰列步骤，助力学生提升应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

2.1 认识一元二次方程 课时2 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.理解一元二次方程的解的意义，能利用方程的解求代数式的值。 2.能根据实际问题列出一元二次方程，会估算一元二次方程的解。 学习目标 2 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同， 你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x (单位：m) 吗? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m 思考：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢? 课堂导入 3 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解的方法：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 新知讲解 跟踪训练 以-2为解的方程是(     ) A. x2+2x-2＝0   　　　　　           B. x2-x-2＝0    C. x2+x+2＝0   　　　         　 D. x2+x-2＝0 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 D 新知讲解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 都不可能。因为x表示四周未铺地毯的条形区域的宽度， 所以x不可能小于0。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 新知讲解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 根据题意，知8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽， 所以8-2x>0，5-2x>0， 所以x<2.5， 所以x不可能大于4，也不可能大于2.5。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 新知讲解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (2)你能确定x的大致范围吗? 能。 由(1)分析，得x的大致范围是0<x<2.5。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 新知讲解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (3)填写下表。 (4)你知道所求宽度 x (单位：m) 是多少吗? 因为所求宽度x的大致范围是0<x<2.5， 所以所求宽度是1m时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立。 x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 新知讲解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (5) 还有其他求解方法吗? 还可以将18分解因数为6×3， 用8-2x=6和5-2x=3的方法求出其解为x=1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 依题意可得： (x+6)²+7²=10²， 一般形式： x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (1)小明认为底端也滑动了1m， 他的说法正确吗?为什么? 不正确。 因为x=1不满足方程x²+12x-15=0， 所以他的说法不正确。 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不可能是2m，也不可能是3m。 因为x=2和x=3同样都不满足方程x²+12x-15=0，所以二者都不可能。 新知讲解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (3)你能猜出滑动距离x(单位：m)的大致范围吗? x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1<x<1.5。 新知讲解 x²+12x-15=0。 思考 (4) x的整数部分是几?十分位是几?为什么? 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 因此x的整数部分是1，十分位是1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 新知讲解 你明白估算一元二次方程的解的想法吗? 通过两端不断逼近的方法估算一元二次方程的解。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x²+12x-15=0。 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 新知讲解 如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢? 在1.1和1.2之间再取值，并进行计算，计算结果最接近0的那个对应取值就是把x的小数部分精确到百分位的近似值。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 新知讲解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； (2)设——设出合适的未知数； (3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。 新知讲解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 新知讲解 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步? 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D. 2[x+(x+60)]=864 例1 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 A 新知讲解 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 解：将方程x(60-x)=864转化为x²-60x+864=0。 因为30×30=900，900接近864， 所以x的值应该在30附近。 列表并计算： 由表格可知20<x<30，或30<x<40。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 20 30 40 x²-60x+864 64 -36 64 新知讲解 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 进一步列表并计算： 所以当x=24或36时满足x²-60x+864=0， 所以x²-60x+864=0的解为x=24或x=36(不符合题意，舍去)。 所以矩形田地的宽为24步，长为60-24=36(步)。 因为36-24=12(步)， 所以这块矩形田地的长比宽多12步。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 21 22 23 24 25 … 35 36 37 38 39 x²-60x+864 45 28 13 0 -11 … -11 0 13 28 45 新知讲解 1.已知关于x的一元二次方程x2+3x+a＝0有一个根是-2，那么a的值是(　　)。 A.2　       　 B.-1          C.-2           D.10 A 随堂练习 2.根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解x的范围是(　　)。 A.3＜x＜3.2 B.3.23＜x＜3.24 C.3.24＜x＜3.25 D.3.25＜x＜3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 随堂练习 3.下列关于x的一元二次方程(a-2)x2+x+a2-4＝0的一个根是0，则a的值为(　　)。A.2             B.-2          C.2或-2          D.14 B 随堂练习 4.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和。这五个整数分别是多少? 解：设这五个连续整数的第一个数为x，则另外四个数分别为x+1，x+2，x+3，x+4。 根据题意，得(x+1)²+(x+2)²+x²=(x+3)²+(x+ 4)²。整理， 得 x²-8x-20=0。 列表： ∴x=-2或x=10， ∴这五个连续整数依次为-2，-1，0，1，2或10，11，12，13，14。 x -3 -2 -1 … 9 10 11 x²-8x-20 13 0 -11 … -11 0 13 随堂练习 一元二次方程 实际问题 从实际问题中抽象出一元二次方程模型 夹逼法 解的估算 课堂小结 $