第06讲 两条异面直线所成的角（3种题型）-【暑假预习】2023年新高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

第06讲 两条异面直线所成的角（3种题型） 【知识梳理】 1．两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的 锐角（或直角） 叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． （1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上． （2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路． 2．异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为_____． 3．两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是__直角__，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b． 4．构造异面直线所成角的方法 （1）过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点）作另一条直线的平行线； （2）当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； （3）构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．注意，若求得的角为钝角，则两异面直线所成的角应为其补角． 5．求两条异面直线所成的角的步骤 （1）平移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线； （2）证明：证明作出的角就是要求的角； （3）计算：求角度（常利用三角形的有关知识）； （4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角． 【考点剖析】 题型一：异面直线所成角的概念及辨析 一、填空题 例1．（2021秋·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期中）空间两条异面直线与所成的角的取值范围是______________. 【变式1】（2021秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）空间内，两异面直线所成角的取值范围是______.（用区间表示） 【变式2】（2022·上海·高二专题练习）异面直线a与b成60°角，若，则c与b所成的角等于__________ 【变式3】（2023春·全国·高一专题练习）已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则_________. 【变式4】（2022秋·上海静安·高二校考期中）将正方体的表面的对角线称为面对角线.若a，b是任意两条面对角线，则a，b所成角的大小为______（写出所有可能的值） 题型二:求异面直线所成的角 例2．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______． 【变式1】（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小为________. 【变式2】（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a，b是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________ 【变式3】．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线与这三条直线所成的角的大小都是，则______． 【变式4】（2021·上海浦东新·高二期中）在三棱锥中，，分别是，的中点，已知，，求异面直线，所成角的大小. 题型三：由异面直线所成的角求其他量 例3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形中，，､分别是对角线､的中点，若异面直线､所成角的大小为，则的长为___________. 【变式1】（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________. 【变式2】（2019·上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABCD，AB=CD=8，M､N､P分别为BD､AC､BC的中点，若异面直线AB和CD所成的角为60°，则线段MN的长为___________. 【变式3】（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABCD的对角线AC=BD=8，M、N分别为AB、CD的中点，且，则MN等于_____________ 【变式4】．（2021·上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________. 【变式5】（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对. 【过关检测】 一、单选题 1．（2021·