28.2 中心对称-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

28.2 中心对称 新知解读， 前面，我们研究了旋转及其性质，现在来研究一类特殊的旋转一中心 对称. 28.2.1中心对称及其性质 草思考 (1)如图28.2-1，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 图28.2-1 图28.2-2 (2)如图28.2-2，线段AC,BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.把 △OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 可以发现，在图28.2-1中，一个图案旋转后与另一个图案重合；在图 28.2-2中，旋转后的△OCD与△OAB重合 像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转 后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 你还能指出其他 于这个点对称或中心对称（central symmetry),这个点 对称点吗？ 叫作对称中心（简称中心)，这两个图形在旋转后能重 : 合的点叫作对称点.例如，在图28.2-2中，△OCD和 点D与点B是对称点 △OAB关于点O对称，点C与点A是对称点 作为特殊的旋转，中心对称具有旋转的性质.除此之外，中心对称还有什么 特殊的性质呢？注意：(1)中心对称是指两个图形间的位置关系； (2)中心对称是特殊的旋转，其特殊在旋转角为180°； (3)成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在 图形的外部，也可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心 的两侧或与对称中心重合. 102教材笔记数学九年级上册BJ Q探究 如图28.2-3，△ABC和△AB'C关 A B 于点O对称，我们仍考虑它们的对称点 ○ 之间的关系. 对称中心O与对称点的连线AA'有 图28.2-3 什么关系？点O与BB,CC呢？ 因为点！是点A绕点O旋转180°后得到的，所以点O是线段A的中点. 同样地，点O也是线段BB和CC的中点. 由此，中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心 平分. 易酷：成中心对称的两个图形一定是全等的， 但是全等的两个图形不一定成中心对称， 给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形， 与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关 于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形 例1如图28.2-4，选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称 的△A'B'C' 对应线段互相平行（或在同一条直线上）且相等 ⊙ 图28.2-4 图28.2-5 分析：关键是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点· 解：如图28.2-5，连接AO.在AO的延长线上截取OA=OA,即可以得到 点A关于点O的对称点A'.以同样的方法分别作出点B,C关于点O的对称点 B',C',依次连接AB',BC',CA',就得到与△ABC关于点O对称的△AB'C 确定对称中心的方法：(1)连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该 点为对称中心；（2)连接任意两对对称点，这两条线段的交点即对称中心. 第二十八章旋转103 练习 1.图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心.1.如图所示，点O 即为对称中心. (第1题) (第2题) 2.分别作出已知图形关于点O对称的图形.2.如图所示 28.2.2中心对称图形 一个图形 在轴对称的学习中，我们既学习了两个图形成轴对称，也学习了轴对称图形 类似地，有两个图形关于某个点中心对称，是不是也有中心对称图形呢？ 思考 (1)如图28.2-6，将线段AB绕它的中点O旋转180°，你有什么发现？ 0 B B 图28.2-6 图28.2-7 (2)如图28.2-7，将□ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你 有什么发现？ 可以发现，线段AB绕它的中点O旋转180°后与 利用中心对称的性 它本身重合.口ABCD绕它的两条对角线的交点O旋 质，如何确定一个中心 转180°后与它本身重合.像这样，把一个图形绕着 对称图形的对称中心？ 某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的 线段、平行四边形的对 称中心分别是什么？ 图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点 线段的中点· 两条对角线的 就是它的对称中心。 交点 由上可得，线段、平行四边形都是中心对称图形 必须同时满足下列三个条件：(1)围绕某点旋转； (2)旋转180°；(3)旋转后与自身完全重合 104教材笔记数学九年级上册RJ 矩形、菱形、正方形不仅是轴对称图形，也是中心对称图形，它们的对称轴 的交点就是其对称中心（图28.2-8). 图28.2-8 中心对称图形的形状通常匀称美观，在自然界中可以看到许多美丽的中心对 称图形（图28.2-9（1))，在很多建筑物和工艺品中也常采用中心对称图形作装 饰图案（图28.2-9（2)).另外，由于具有中心对称图形形状的物体，能够在其 所在平面内绕对称中心平稳地旋转，所以常将各种机器中需要旋转的零部件的形 状设计成中心对称图形，如水泵叶轮（图28.2-9(3）). （1) (2) (3) 图28.2-9 中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是指两个图形的（位置）关系， 且对称点在两个图形上；中心对称图形是指具有中心对称性质的一个图形， 练习 且对称点在一个图形上 1.是，圆绕其圆心旋转180°后，与自 1.圆是中心对称图形吗？为什么？ 身完全重合 2.在以下交通标志图案中，哪些是中心对称图形？再举出几个自然界以及 生活、生产中的中心对称图形实例 略，《 H )是 少不是.（第2题） )是 》是 第二十八章旋转 105 28.2.3关于原点对称的点的坐标 我们已经学习了关于坐标轴对称的点的坐标之间的关系，类似地，下面来研 究关于原点对称的点的坐标之间的关系. Q探究 y 如图28.2-10，在平面直角坐标系中，作出下 3 列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标. D. A(4,0),B(0,-3),C(2,1),D(-1,2), 3 -913A主 E(-3,-4) 这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ -3B E 拓展：若点(x,片)，B(:,2)关于点P(x,y)对称，图28.2-10 则点P是线段PB的中点，即x=当十3，y=乃十五 急归纳 2 2 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x,y)关于原点 的对称点为P(-x,-y). 利用上述规律，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图 形.对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类 似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点 的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的图形 例2如图28.2-11，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与 △ABC关于原点对称的图形， y y 4 C(-3,2) C-3,2)2 A(-4,1) A(-4,1) B'(1,1) -5-4-3效1012345龙 方-4-3210 12 345 B(-1,-)-1 -1,i2 >A'(4,-1) 2 C3,-2) 图28.2-11 图28.2-12 解：点P(x,y)关于原点的对称点为P(-x,-y),因此△ABC的三个顶 点A(-4,1),B(-1,-1),C(-3,2)关于原点的对称点分别为A'(4,-1),B(1,1), 106教材笔记数学九年级上册RJ C'(3,-2),依次连接AB',B'C',CA,就可得到与△ABC关于原点对称的 △A'B'C'(图28.2-12). 练习 1.下列各点中，哪两个点关于原点对称？ 1.C(2,-1)和F(-2,1) A(-5,0),B(0,2),C(2,-1),D(2,0),关于原点对称. E(0,5),F(-2,1),G(-2,-1) 4 2.写出下列各，点关于原点的对称，点A,B, 3 A(-2,2) C,D'的坐标： >A-3-1). 2B2,3 >C1,2). A(3,1,B(-2,3),C(-1,-2), -4-3-2 -10 D(2,-3)→D(-2,3 3.如图，□ABCD的对角线相交于原点， B(-1,-3)-3 其顶点A,B的坐标分别为(-2,2)和 -4 (-1,-3).求其顶点C,D的坐标 (第3题) 3.C2,-2),D(1,3) )点C与点A关于原点对称， 点D与点B关于原点对称 习题28.20 复习巩固 1.分别作出与下列图形关于点O对称的图形： (第1题)》 2.下列图形是中心对称图形吗？如果是，指出其对称中心.图中点0 “禁止”标志 三叶风扇 蜂巢图案 〉是 (第2题)>不是 >是 第二十八章旋转 107 >各对称点坐标分别是A(-5,0),B(2,-3),C(3,0),D(1,5) 3.四边形ABCD各顶点坐标分别为A(5,0),B(-2,3),C(-3,0),D(-1,-5),作 出与四边形ABCD关于原点对称的图形.3.图略. 4.已知点A(a,1)与点A'(5,b)关于原点对称，求a,b的值.4.a=-5,b=-1. 综合运用 5.如图，点O,O2分别是两个半圆的圆心，这个图形是中心对称图形吗？如果 是，指出对称中心；如果不是，说明理由. 5是.对称中心是线段0,02的中点. 6.能.如图，将△ABC绕BC中 点O旋转180°，得△DCB,则 (第5题) (第6题) △ABC与△DCB拼成一个以AC AB为外边的平行四边形 6.如图，已知△ABC,能否通过平移、轴对称或旋转，得到另一个三角形，使得 这两个三角形能够拼成一个以AC,AB为邻边的平行四边形？ 7.如图，说明如何通过平移、轴对称或旋转，由 △ABC得到△DEC. 7.方法不难一.如在左图中，以点C为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转90°，即可得到△DEC,在右图中，以点C为旋 B D B 转中心，先将△ABC顺时针旋转90°，再以CE所在直线为 对称轴，作轴对称图形，即可得到△DEC (第7题) 8.有一块邻边长分别为10m,6m的矩形园地，要在园地上开辟一个花坛，使花 坛面积是园地面积的一半，并且花坛形状是中心对称图形，该如何设计（提供 两种设计方案)？ 8.答案不唯一.方案1：在矩形园地的中心位置，开辟一个长 10m,宽3m的矩形花坛，该矩形的中心与原矩形的中心重合 方案2：以矩形园地的中心为圆心，作一个面积为302的圆. 9.在平面直角坐标系中，作点A(-3,2)关于x轴的对称点B,再作点B关于y轴 >B(-3,-2 的对称点C,写出点C的坐标，点A与点C有何关系？由此，你能发现什么？ C3,-2) )关于原点中心对称← 拓广探索 10.如图，过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成了两个梯形，这两个梯形全 等吗？为什么？ 10.全等.因为这两个梯形关于菱形对角线的交点成中心对称 108教材笔记数学九年级上册RJ 11.证明略.提示：如图，连 接AC,BD,相交于点O, 连接OE,OF通过证三角 A B 形全等得点E和点F关于点 (第10题) (第11题) 0对称. 11.如图，△ADE和△CBF是口ABCD外的两个等边三角形，用旋转的知识说明 △ADE和△CBF成中心对称 ★阅读与思考大 旋转对称图形 观察图1中的几幅图案，你能发现其对应的图形有什么共同特点吗？ 米★ 图1 可以发现，分别将这些图形绕着某点旋转一定的角度，得到的新图 形与原图形完全重合.像这样，一个平面图形绕着平面上某点O旋转角 α(0°<<360°)，如果得到的新图形与原图形完全重合，那么称这个图形是 旋转对称图形，它关于旋转中心具有角α的旋转对称性.中心对称图形就是 一种特殊的旋转对称图形，它关于对称中心有180°的旋转对称性边数意多， 旋转角越小 想一想，正多边形都是旋转对称图形吗？它们具有怎样的旋转对称性？ 都是.利用旋转对称，可以设计出美丽的图案.例如图2中的风车图案是一个 以120°角为旋转角的旋转对称图形；在我国香港特别行政区区徽（图3）中， 紫荆花图案是一个以72°角为旋转角的旋转对称图形， 120 ONG KONG 图2 图3 在所有旋转对称图形中，圆是最特殊的，它关于圆心有任意角的旋转对 称性.应用圆的这个性质，给我们的生活和生产带来了很多的方便，许多物 体设计成圆形就是应用了这个性质.学习了圆的更多知识后，你会对圆的这 个性质有更加深刻的认识.圆上所有点到圆心的距离相等，绕圆心旋转任意 角度后，每一点都能与圆上另一点重合 第二十八章旋转109 ★信息技术应用上 探索反比例函数图象的对称性 信息技术工具不仅可以帮助我们便捷、迅速地绘制各种函数图象，而且 能帮助我们研究函数的性质.例如，双曲线y=有怎样的对称性？如何描述 它的对称性？ 利用信息技术工具画出反比例函数y=1的图象，在图象上任意取一点A, 作点A关于原点的对称点4，拖动点A,可以看出点4在图象的另一分支上 随之运动（图1.由此发现，反比例函数y=二的图象关于原点中心对称. 利用信息技术工具画出y=《的图象，改 A:(0.50,2.00) 变k的大小，分别得到两簇双曲线（图2，图3）. 41:(0.50,-2.00) 由图2和图3，可以猜想：双曲线y=是中心 -10 对称图形，它的对称中心是平面直角坐标系的原点。 这个猜想可以由函数解析式证明，请你试一试. 图1 6 V- 4 y= 3 2 43 1 2 6龙 -6-5-4-3-2-10 123 k件5 5 6 图2 图3 除了中心对称，根据图2和图3，你还可以尝试探究以下问题：双曲 线y=上是不是轴对称图形？你还能发现和提出一些问题，并分析和解决它 们吗？ 110 教材笔记数学九年级上册RJ