专题28.2 中心对称（举一反三讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学“中心对称”核心知识点，系统梳理中心对称的定义、性质及作图方法，衔接中心对称图形的识别与性质，延伸至平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以14类题型为载体，结合钟面、正方形、非遗纹样等生活实例，通过例题与变式题的梯度设计，培养学生几何直观与空间观念。图案设计题型助力学生用数学语言表达现实，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升推理能力与应用意识。

专题28.2 中心对称（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 成中心对称】 2 【题型2 中心对称的性质判断】 3 【题型3 画已知图形关于原点对称的图形】 4 【题型4 确定两个图形的对称中心】 5 【题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 6 【题型6 中心对称图形的识别】 7 【题型7 判断中心对称图形的对称中心】 8 【题型8 在方格中补画图形使之成为中心对称图形】 9 【题型9 中心对称图形规律问题】 10 【题型10 关于原点对称的点的坐标】 13 【题型11 已知关于原点对称求参数】 14 【题型12 判断两点是否关于原点对称】 14 【题型13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形】 15 【题型14 与中心对称有关的图案设计】 17 考点1 中心对称及其性质 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 【题型1 成中心对称】 【例1】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【题型2 中心对称的性质判断】 【例2】如果与关于点对称，且点的对应点依次为点，那么下列说法不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-1】两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是________（填序号）． 【变式2-2】如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是(  ) A．AB=A′B′，BC=B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′ C．S△ABC=S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′ 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3 画已知图形关于原点对称的图形】 【例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【变式3-1】如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【变式3-2】（24-25九年级上·全国·课堂例题）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．    【变式3-3】（【浙教版课时练习】八年级下册4.3中心对称）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【题型4 确定两个图形的对称中心】 【例4】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【变式4-1】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【变式4-2】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例5】（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【变式5-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【变式5-2】（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 考点2 中心对称图形 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【题型6 中心对称图形的识别】 【例6】（25-26八年级下·湖南永州·期末）观文昌古塔，览浯溪碑刻，赏祁剧风华，品乡土油茶．下列取自祁阳非遗风物的纹样中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】下列标志中，可以看作是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 判断中心对称图形的对称中心】 【例7】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【变式7-1】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【变式7-2】如图，两个“心”形有一个公共点，且点在同一条直线上，，下列说法中：①这两个“心”形关于点成中心对称；②点是以点为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形，正确的有__________．（只填你认为正确的说法的序号） 【变式7-3】如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【题型8 在方格中补画图形使之成为中心对称图形】 【例8】（25-26八年级下·广东深圳·期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【变式8-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 【变式8-2】如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-3】用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ） A．黑，白 B．黑，白 C．黑，白 D．黑，白 【题型9 中心对称图形规律问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【变式9-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【变式9-3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 考点3 关于原点对称的点的坐标 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【题型10 关于原点对称的点的坐标】 【例10】（2026·湖北咸宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式10-1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【题型11 已知关于原点对称求参数】 【例11】已知，点和点关于原点对称，则的值为__________． 【变式11-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型12 判断两点是否关于原点对称】 【例12】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【变式12-1】点与点关于______对称． 【变式12-2】平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【变式12-3】（专题23.2-23.3旋转测试卷二（原卷 解析卷）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 【题型13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形】 【例13】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将向右平移5个单位长度，得到，点，，的对应点分别是，，，请在图中画出，写出点，的坐标； (2)以原点为对称中心，请在图中画出与成中心对称的，点，，的对应点分别是，，． 【变式13-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)写出，，三个点的坐标． 【变式13-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)作出四边形关于原点对称的四边形，并写出对应点的坐标__________． (2)求四边形的面积． 【变式13-3】（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【题型14 与中心对称有关的图案设计】 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【变式14-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列图案中，可以由下边的基本图形通过中心对称变化得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）． 【变式14-3】如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上． （1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点． （2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． （3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2 中心对称（举一反三讲义） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型1 成中心对称】 2 【题型2 中心对称的性质判断】 4 【题型3 画已知图形关于原点对称的图形】 6 【题型4 确定两个图形的对称中心】 9 【题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 11 【题型6 中心对称图形的识别】 14 【题型7 判断中心对称图形的对称中心】 15 【题型8 在方格中补画图形使之成为中心对称图形】 18 【题型9 中心对称图形规律问题】 20 【题型10 关于原点对称的点的坐标】 24 【题型11 已知关于原点对称求参数】 27 【题型12 判断两点是否关于原点对称】 29 【题型13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形】 31 【题型14 与中心对称有关的图案设计】 36 考点1 中心对称及其性质 知识点1 中心对称的定义及性质 1. 中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称．这个点叫做对称中心（简称中心），这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 2. 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形是全等图形； （2）成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分． 知识点2 中心对称作图 作△ABC关于点O成中心对称的△A'B'C'的一般步骤： （1）找：寻找原图形的关键点A，B，C，连接关键点和对称中心O． （2）截：延长AO，在延长线上找出关键点A的对称点A'，使OA'＝OA；重复上述操作，作出点B的对称点B'，点C的对称点C'． （3）连：按原图顺序连接A'，B'，C'，得到△A'B'C'，如图所示． 【题型1 成中心对称】 【例1】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 【变式1-1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 【变式1-2】（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 【变式1-3】如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称． 故选：D． 【题型2 中心对称的性质判断】 【例2】如果与关于点对称，且点的对应点依次为点，那么下列说法不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的知识，解题的关键是掌握中心对称的定义以及性质．根据“中心对称的对称点的连线被对称中心平分，对应线段相等，对应角相等”，可以判断选项A、B、C；由与关于点对称，无法证明，即可判断选项D． 【详解】解：如下图， A.因为与关于点对称，点与点是对称点，所以，故本选项说法正确，不符合题意； B.因为与关于点对称，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，故本选项说法正确，不符合题意； C. 因为与关于点对称，可知与是对应角，所以，故本选项说法正确，不符合题意； D. 由与关于点对称，无法证明，故该说法错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】两个图形关于某一点成中心对称，有下列说法：①这两个图形一定是可以重合的；②对称点的连线一定经过对称中心；③将一个图形绕对称中心旋转任意角度必定与另一个图形重合；④一定存在某直线，使得两个图形沿该直线折叠后重合．其中，正确的是________（填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查了中心对称和轴对称的有关应用，注意：（1）如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称．（2）中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等形，②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，③关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等．根据中心对称的定义和性质判断即可． 【详解】解：若两个图形关于某点成中心对称， 则①这两个图形一定是可以重合的，此结论正确； ②对称点的连线一定经过对称中心，此结论正确； ③将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合；此结论错误； ④可能存在某条直线，沿该直线折叠后的两个图形能互相重合，此结论错误； 故答案为：①②． 【变式2-2】如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是(  ) A．AB=A′B′，BC=B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C′ C．S△ABC=S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′ 【答案】D 【分析】根据成中心对称图形的性质：对应边平行且相等，对应角相等，图形全等，面积相等进行判断. 【详解】解：∵△ABC与△A′BC′是成中心对称的两个图形， ∴AB=A′B′，BC=B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′，S△ABC=S△A′B′C′， 无法得到：△ABC≌△A′OC′．所以选D. 【变式2-3】（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①；②；③和关于点O成中心对称；④将绕点O旋转能与重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键．根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：∵四边形是中心对称图形，对角线与相交于点O， ∴①，正确； ②，，错误； ③和关于点O成中心对称，正确； ④将绕点O旋转能与重合，正确； 所以正确的有3个． 故选：C． 【题型3 画已知图形关于原点对称的图形】 【例3】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）如图，的三个顶点与点O均在正方形网格的格点上． (1)作，使得与关于点O成中心对称； (2)已知网格中小正方形的边长均为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别作出点关于点的对称点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：的面积． 【变式3-1】如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【答案】 解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质画图即可． 【变式3-2】（24-25九年级上·全国·课堂例题）如图，已知四边形和点P，画四边形，使四边形与四边形关于点P成中心对称．    【答案】见解析 【分析】本题考查作中心对称图形，延长到使，同样作出点，从而得到四边形． 【详解】解：如图，四边形为所作．    【变式3-3】（【浙教版课时练习】八年级下册4.3中心对称）如图，已知和点O，作，使与关于点O成中心对称． 【答案】见解析 【分析】根据中心对称的性质，分别作出点A，B，C关于点O成中心对称的对称点，顺次连接即可． 【详解】解：如图． （1）连结并延长到，使，则点即点A关于点O成中心对称的对称点． （2）同理，作出点B，C的对称点，． （3）连结，，． 即为所求作的三角形． 【点睛】本题考查作图——画已知图形关于某点对称的图形，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分． 【题型4 确定两个图形的对称中心】 【例4】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】根据中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，故连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故对称中心是点P． 【变式4-1】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 【变式4-2】如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（　　） A．O1 B．O2 C．O3 D．O4 【答案】A 【分析】连接任意两对对应点，连线的交点即为对称中心. 【详解】如图，连接HC和DE交于O1， 故选A． 【点睛】此题考查了中心对称的知识，解题的关键是了解成中心对称的两个图形的对应点的连线经过对称中心，难度不大． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【题型5 根据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例5】（25-26七年级下·山西晋城·期末）如图，与关于点O成中心对称，已知，，，则的周长为________________． 【答案】21 【分析】根据中心对称的性质可得，，，即可求出的周长． 【详解】解：∵与关于点成中心对称，，，， ∴，，， ∴． 【变式5-1】（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【变式5-2】（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 【变式5-3】（2026·浙江·二模）如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则___________． 【答案】25 【分析】利用菱形的性质得到与互相垂直平分，从而求得的长和的长，再由与关于点D成中心对称，得到，从而求得的值，利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：在菱形中，与互相垂直平分， ∴，， 又∵与关于点D成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， 在中，． 考点2 中心对称图形 知识点3 中心对称图形及性质 1. 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．这个点就是它的对称中心． 2. 中心对称图形的性质 （1）对称点的连线被对称中心平分； （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成全等的两部分． 3. 常见的线段、正方形、菱形、边数是偶数的正多边形、圆既是中心对称图形，又是轴对称图形． 【题型6 中心对称图形的识别】 【例6】（25-26八年级下·湖南永州·期末）观文昌古塔，览浯溪碑刻，赏祁剧风华，品乡土油茶．下列取自祁阳非遗风物的纹样中，属于中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B． 该图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D． 该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 【变式6-1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）下列图形是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，这个图形就是中心对称图形； ：旋转后，线条位置无法与原图重合，不是中心对称图形； ：属于轴对称图形，旋转后不能与原图重合； ：旋转后，折线位置与原图不一致，不是中心对称图形； ：将图案绕中心点旋转，能与自身完全重合，是中心对称图形． 【变式6-3】下列标志中，可以看作是中心对称图形的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的定义：如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形，即可判断． 【详解】解：第一个图形，第三个图形，是中心对称图形， ∴可以看作是中心对称图形的有2个． 【题型7 判断中心对称图形的对称中心】 【例7】（24-25八年级下·河北唐山·期末）如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【变式7-1】如图，与成中心对称，则对称中心是____． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 【变式7-2】如图，两个“心”形有一个公共点，且点在同一条直线上，，下列说法中：①这两个“心”形关于点成中心对称；②点是以点为对称中心的一对对称点；③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点且与直线AB垂直的直线和直线AB；④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形，正确的有__________．（只填你认为正确的说法的序号） 【答案】①②③④ 【分析】根据图形的特点及中心对称的定义即可求解． 【详解】由图可得①这两个“心”形关于点成中心对称，正确； ②点是以点为对称中心的一对对称点，正确； ③这两个“心”形成轴对称，对称轴是过点且与直线AB垂直的直线和直线AB，正确； ④若把这两个“心”形看作一个整体，则它又是一个中心对称图形，正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】此题主要考查中心对称图形的识别与性质，解题的关键是根据图形的特点进行求解． 【变式7-3】如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 【题型8 在方格中补画图形使之成为中心对称图形】 【例8】（25-26八年级下·广东深圳·期末）图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在1，2，3，4四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形，则这个正方形应该添加在（     ） A．区域1处 B．区域2处 C．区域3处 D．区域4处 【答案】C 【详解】解：把正方形添加在区域3处，使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形． 【变式8-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有____个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 【变式8-2】如图是的网格图，将图中标有①、②、③、④的一个小正方形涂灰，使所有的灰色图形构成中心对称图形，则涂灰的小正方形是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】根据中心对称图形的意义解答． 【详解】解：如图， 如果以O为对称中心，则A与B、C与D、E与F分别对应， 从图中可以看出，G应该与③对应， 故选C． 【点睛】本题考查中心对称的应用，熟练掌握中心对称图形及对称中心的意义是解题关键． 【变式8-3】用围棋子在棋盘上摆图案，棋子均放在格点上．如图所示，右下角的白棋所在位置用有序实数对表示．如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放位置正确的是（    ） A．黑，白 B．黑，白 C．黑，白 D．黑，白 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，分别把四个选项代入分析，判断是否满足轴对称和中心对称即可得到答案． 【详解】A．当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项错误； B. 当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形又是中心对称图形，故B项正确； C．当摆放黑，白时，此时图案既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故C项错误 D．当摆放黑，白时，此时图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项错误 故B为答案． 【点睛】本题主要考车了平面直角坐标系的有关概念、图形的轴对称以及图形的中心对称（把一个图形绕着某一点转180°，如果旋转后的图形能够与原来图形重合，那么这个图形叫中心对称图形），熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【题型9 中心对称图形规律问题】 【例9】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【变式9-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ______________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 【详解】解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式9-3】如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 考点3 关于原点对称的点的坐标 知识点4 关于原点对称的点的坐标 如图，点P关于x轴对称的点为P1，关于y轴对称的点为P2，关于原点对称的点为P3，关于直线y＝x 对称的点为P4，关于直线y＝－x 对称的点为P5． 简记口诀：关于谁，谁不变，关于原点都改变． 知识点5 图案设计 一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 1. 利用平移设计图案 确定一个基本图案，按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案． 通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩． 2. 利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案，关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 3. 利用旋转设计图案 利用旋转设计图案，关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心；②旋转方向；③旋转角）设计图案，通过变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转可设计出美丽的图案． 4.几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行（或在一条直线上）且相等．对应点连线平行（或在一条直线上）且相等． （2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（线段）平行，或者相交于对称轴，且这两条直线（线段）的夹角被对称轴平分． （3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 【题型10 关于原点对称的点的坐标】 【例10】（2026·湖北咸宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，以点为直角顶点，为边构造等腰，再将等腰绕原点O旋转，则点A的对应点的坐标可能是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得到点A的两种可能坐标，再利用绕原点旋转的坐标变换规律，即关于原点中心对称，横纵坐标都变为原坐标的相反数，即可求出对应点坐标； 【详解】解：∵原点，点， ，且在轴上， ∵是等腰直角三角形，直角顶点为， ，， 分两种情况讨论： 当点在轴上方时，点横坐标与相同为，纵坐标为，即， 当点在轴下方时，点横坐标为，纵坐标为，即， ∵图形绕原点旋转后，对应点与原点关于原点中心对称，若点坐标为，则对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 当时，对应点坐标为， 因此点的对应点坐标为或． 【变式10-1】（25-26八年级下·四川遂宁·期中）点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”这一性质即可求解。 【详解】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为 ． 【变式10-2】如图，线段与线段关于点对称，若点、、，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出D（m，n），再利用中点坐标公式列出等式，求答案． 【详解】解：设D（m，n）， ∵线段AB与线段CD关于点P对称， 点P为线段AC、BD的中点． ∴， ∴m=-a+2，n=-b， ∴D， 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称，正确运用中点坐标公式是解题的关键． 【变式10-3】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，且点的坐标为． (1)与关于原点成中心对称，请画出； (2)是的边上一点，将平移后，点的对应点是，请画出平移后的； (3)若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据关于原点中心对称的坐标变换规则求出各顶点的对称点，描点连线画出三角形； （2）根据题意得出平移规则：左移、下移，将各顶点按规则平移后连线即可； （3）取一组对应点​、，用中点坐标公式算出中点，该点即为两三角形的对称中心． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，交于点， 则点为和的中心对称点， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，即， 和的中心对称点为． 【题型11 已知关于原点对称求参数】 【例11】已知，点和点关于原点对称，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点坐标的特点，即可得到答案. 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标特点，解题的关键是熟记平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单． 【变式11-1】（2025·四川成都·模拟预测）已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 【变式11-2】在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则a，b的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于原点对称点的坐标特征，解二元一次方程组，根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，列出方程组求解即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 解得：， 故选：A． 【变式11-3】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据原点对称点的坐标特征，结合第四象限点的坐标特征列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵点关于原点对称的点在第四象限， ∴点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标小于，纵坐标大于， ∵点的纵坐标为，已经满足要求， ∴只需满足横坐标小于，即 ， 解得． 【题型12 判断两点是否关于原点对称】 【例12】已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】 ， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 【变式12-1】点与点关于______对称． 【答案】原点 【分析】根据关于原点对称坐标的特征进行判断即可． 【详解】解：由题意得，点与点的横、纵坐标均互为相反数， ∴两点关于原点对称． 【变式12-2】平面直角坐标系中，已知平行四边形的四个顶点坐标分别是，，则m 的值是_________． 【答案】 【分析】由平行四边形的性质和已知条件得出B与D关于原点对称，得出，解出即可． 【详解】解：∵平行四边形的四个顶点坐标分别是， ∴点A与点C关于原点对称， ∴点B与点D关于原点对称， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握平行四边形的性质，坐标与图形性质是解题的关键． 【变式12-3】（专题23.2-23.3旋转测试卷二（原卷 解析卷）-2022-2023学年九年级数学上册《同步考点解读�专题训练》（人教版））如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是________． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【详解】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 【题型13 平面直角坐标系中画关于原点的中心对称图形】 【例13】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，． (1)将向右平移5个单位长度，得到，点，，的对应点分别是，，，请在图中画出，写出点，的坐标； (2)以原点为对称中心，请在图中画出与成中心对称的，点，，的对应点分别是，，． 【答案】(1) 如图所示，点的坐标是，的坐标是 (2) 如上图所示. 【分析】（1）先根据平移的性质确定平移后的，，的坐标，再顺次连接即可； （2）先根据关于原点对称的点的坐标特点得到，，的坐标，再顺次连接即可． 【变式13-1】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点O对称的； (2)写出，，三个点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2)，，． 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化． （1）根据关于原点对称的特征找到A、B、C对应点，，的位置，然后顺次连接，，即可； （2）根据（1）所求写出对应点坐标即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式13-2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，． (1)作出四边形关于原点对称的四边形，并写出对应点的坐标__________． (2)求四边形的面积． 【答案】(1)；； (2)四边形的面积为6 【分析】（1）根据关于原点对称的性质作图即可； （2）利用割补法求出对应四边形面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，四边形的面积为 ． 【变式13-3】（25-26八年级下·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将绕点O逆时针旋转得到，请画出； (3)将进行平移得到，若点的坐标为，则点的坐标为________； (4)若以为顶点的四边形是平行四边形，请写出满足条件的所有点D的坐标________． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 (3) (4)或或 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得点的坐标，据此作图即可； （2）根据旋转的特点作图即可； （3）根据点A和点的坐标可得平移方式，再根据平移方式可得点的坐标； （4）设出点D的坐标，分三种情况：为对角线、为对角线和为对角线，根据平行四边形的两条对角线的中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵将进行平移得到，，点的坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即； （4）解：设点D的坐标为， 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或或． 【题型14 与中心对称有关的图案设计】 【例14】（25-26八年级下·全国·课后作业）画一画： 世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图中都有圆：它们看上去多么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性．    (1)请问图中三个图形中是轴对称图形的有 　　 ，是中心对称图形的有 　 　（分别用三个图的代号、、填空）． (2)请你在图、两个圆中，按要求分别画出与、、图案不重复的图案（草图）（用尺规画或徒手画均可，但要尽可能准确些，美观些）．是轴对称图形但不是中心对称图形；既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)、、；和 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，逐个分析，判断即可求解； （2）根据题意，设计图形，使得d 是轴对称图形但不是中心对称图形； e 既是轴对称图形又是中心对称图形． 【详解】（1）三个图形中轴对称的为、、．是中心对称的为和； （2）解：如图所示    【点睛】本题考查了中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，作图设计，熟练掌握中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义是解题的关键．轴对称图形是一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合的；中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合；是解题的关键． 【变式14-1】（25-26九年级上·四川泸州·期中）下列图案中，可以由下边的基本图形通过中心对称变化得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的特点是解题关键； 图形通过中心对称变换是指这个图形绕某个点旋转 之后组成的图形，据此判断即可． 【详解】解： A和B都是通过平移得到的，故不符合题意； C．是通过绕一点旋转之后组成的图形，故符合题意； D．是通过旋转得到，但是没有，故不符合题意； 故选： C． 【变式14-2】某居民小区搞绿化，小区的居民们把一块矩形垃圾场地清理干净后，准备建几个花坛，老张说：花坛应该有圆有方；老李说：花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案，这样比较漂亮．你能设计一个让大家都满意的方案吗？试试看（将你设计的方案画在下面的矩形方框中）． 【答案】见解析 【分析】根据题目要求画出图形, 注意花坛和整个矩形空地应该成中心对称图案. 【详解】如图所示： 【点睛】此题主要考查了利用旋转设计图案以及中心对称图形定义, 利用中心对称图形的性质设计是解题关键. 【变式14-3】如图，在5×5的正方形网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上． （1）在图①中以AB为边，画出一个是轴对称，但不是中心对称的四边形ABCD，C、D为格点． （2）在图②中以AB为边，画出一个是中心对称，但不是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． （3）在图③中以AB为边，画出一个既是中心对称，又是轴对称的四边形ABCD，C、D为格点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）以AB为一腰，构造一个等腰梯形即可； （2）以AB为一边，构造一个一般的平行四边形即可； （3）以AB为一边，构造一个正方形即可； 【详解】解：（1）如图①,等腰梯形ABCD即为所求； （2）如图②，平行四边形ABCD即为所求； （3）如图③所示，正方形ABCD即为所求； 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的特征，熟悉基本图形的特征是解题的关键，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $