28.1 图形的旋转-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第仁十八章旋转 在我们的生活中，能看到许多转动着的物体，如车轮、风力发电机、直升 机的螺旋桨、时钟的指针、水车…，我们生活在一个处处能见到旋转现象的世 界中 在数学中，与平移、轴对称一样，旋转也是一种图形变化.我们应该怎样描 述旋转呢？旋转又有什么性质呢？本章我们将应用研究平移、轴对称的方法研究 这些问题.另外，在本章中我们还要学习一类特殊的旋转一中心对称，并综合 应用平移、轴对称和旋转等进行图案设计，由此加深对图形变化的认识 让我们一起来探索旋转的奥秘吧！ 28.1图形的旋转 新知解读 在我们身边，旋转现象随处可见.用数学的眼光观察这些旋转现象，如何描 述它们？如何画出一个图形旋转后的图形？ 思考 如图281-1，钟表的指针在不停地转动，从3时到5时，时针转动了多 少度？60° →顺时针 如图28.1-2，风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置. 如图28.1-3，改变航向时，舵柄绕船舵中间的轴转动. 图28.1-1 图28.1-2 图28.1-3 以上这些运动现象有什么共同特点呢？ 我们可以把上面问题中的指针、叶片、舵柄看作平面图形，这些图形都在平 面内围绕着一个点转动.像这样，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一 >旋转中心既可在图形的外部，电 既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转 (可在图形的内部，还可在图形上 个角度，叫作图形的旋转（rotation),点O叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角. 如果图形上的点P经过旋转后变为点P'，那么这两个点叫作这个旋转的对应点： 例如，在图281-1中，时针在旋转，表盘的中心是旋转中心，旋转角是60°，在 3时的时针端点P与在5时的时针端点P是对应点 下面研究旋转的性质。图形旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 显然，旋转前后，图形的形状、大小未发生变化.也就是说，旋转前、后的 图形全等. 易酷：两个图形全等，不一定是旋转 接下来，类比对平移、轴对称的研究，我们研究图形旋转前、后对应点之间 的关系 第二十八章旋转 95 Q探究 如图28.1-4，利用以下方法或信息技术工具，将 △ABC绕点O旋转一个角度，得到△AB'C, B (1)在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另扎一个小 点0作为旋转中心.>△ABC≌△A'B'C （2)硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖 掉的三角形图案（△ABC),然后围绕旋转中心O转动 硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△ABC'),移开硬 图28.1-4 纸板. 观察OA与O,OB与OB',OC与OC,你有什么发现？∠AOA',∠BOB, ∠COC”'有什么关系？通过测量检验你的发现. 可以发现，OA=OA',OB=OB',OC=OC';∠AOA'=∠BOB'=∠COC'.一般 地，旋转具有性质： 一个图形和其旋转得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与 旋转中心所连线段所成的角相等，都等于旋转角。旋转中心 例1如图28.1-5，将△ABC绕点C顺时针旋转35°，得 到△A'B'C,若∠BCA=100°，求∠B'CA的度数.凌转 方向 旋转角 解：由旋转的性质可知， ∠BCB'=∠ACA'=35°， 又因为∠BCB'+∠B'CA+∠ACA'=∠BCA'=1O0°， 图28.1-5 所以 ∠B'CA=30° 确定旋转中心的方法：绕娜个点旋转，那个点就是旋转中心；若已 知两组对应点，则先分别连接两组对应点，然后分别作出所连的两 练习 线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心. 1.举出一些现实生活、生产中旋转的实例，并指出旋转中心和旋转角.1.略 2.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆 的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？ 2.点O.∠AOA'和∠BOB (第2题) 96 教材笔记数学九年级上册RJ 3.如图，男生坐在秋千上，秋千旋转了80°.在图 中男生身上任意选一，点P，利用旋转的性质，标 出点P的对应点 (1)这两个点到旋转中心的距离有怎样的关系？ (2)这两个点与旋转中心所连线段所成的角是多 (第3题) 少度？ 3.(1)相等.（2)80°. >旋转角 给定一个点和一个图形，可以画出这个图形绕这个点旋转一定角度后得到的 图形 与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形 (如三角形、矩形)，只要画出一些关键点（如三角形、矩形的顶点）的对应点， 连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形 例2如图28.1-6，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋 转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形 B E'B 图28.1-6 图28.1-7 分析：画图的关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 解：因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它 还有其他方法确 本身 定旋转后的图形吗？ 在正方形ABCD中，AD=AB,∠DAB=90°，所以 旋转后点D与点B重合.由∠ABE=90°，AE=AE可知，以点A为圆心，AE为半径 画孤，和CB的延长线的交点即是点E,则△ABE为旋 转后的图形（图略) 设点E的对应点为E.因为旋转后的图形与旋转前的图形全等，所以 ∠ABE'=∠ADE=90°，BE'=DE 因此，在CB的延长线上取点E',使BE=DE,则△ABE'为旋转后的图形 (图28.1-7) 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图28.1-8（1)，将一个等腰三角形绕 第二十八章旋转 97 着它正下方的一点旋转，就可以得到图28.1-8(2)中的五角星图案 4次.←、 想一想，需要旋 转几次，每次的旋转 角是多少？ (1) 2 图28.1-8 当选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案 (图28.1-9)时，会出现不同的效果 在图28.1-10的两个旋转中，旋转中心不变，旋转角改 变了，产生了不同的旋转效果 图28.1-9 图28.1-10 图28.1-11 在图28.1-11的两个旋转中，旋转角不变，旋转中心改变了，产生了不同的 旋转效果。 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案（图28.1-12)。 图28.1-12 练习 。。。。。。。。。。。 1.如图，在△ABC中，AB=AC,P是边BC上一点.以，点A为 旋转中心，取旋转角等于∠BAC,把△ABP逆时针旋转，画 出旋转后的图形.1.略 2.选择一个简单的基本图形，对它进行旋转： B P : (1)选择不同的旋转中心、不同的旋转角，观察旋转后的效果（第1题） (2)改变基本图形的形状，观察旋转后的效果.2.略 98 教材笔记数学九年级上册BJ 习题28.1 复习巩固 1.下列图形是由一个基本的图形经过旋转得到的，分别指出它们的旋转中心和旋 转角： 旋转中心 旋转中心 >旋转角是90° 旋转角是60°.（第1题） 2.把图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转.旋转角至少为多少度时，旋转 >720 后的五角星能与自身重合？对等边三角形进行类似的讨论 ->120° (第2题) (第3题) 3.如图，分别画出△ABC绕点0逆时针旋转90°和180°后得到的图形.3.略 4.任意画一个△ABC,并把它旋转：4.路 (1)以点A为旋转中心，把△ABC逆时针旋转40°； (2)以边BC的中点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转90°； (3)在△ABC内任取一点为旋转中心，把△ABC逆时针旋转180°； (4)在△ABC外任取一点为旋转中心，把△ABC顺时针旋转120° 综合运用 5.如图，△ABC是一个等边三角形，D为边BC的中点，把 △ADC绕点A顺时针旋转60°得到△AEB,求∠ABE, E ∠DAE,∠BED的度数.5.60°，60°，30° B D 6.图中的风车图案，可以由哪个基本的图形、经过什么样的 (第5题) 旋转得到？试着由基本图形，经旋转画出这个图案.6.略 第二十八章旋转 (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠C=90°. 7.(1)略. (2)5N2 (1)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，画出旋转后的三角形； (2)按(1)旋转后，点A的对应点为A',若BC=3,AC=4,求AA的长 拓广探索 D 8.如图，△ABD,△AEC都是等边三角形.BE与DC有 什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由 吗？试提出一个类似的问题.（提示：将等边三角形换成 (第8题) 其他图形.)8.BE=DC.理由：将△EAB顺时针旋转60°就得到 △CAD,由旋转的性质，得BE=DC.提问题略 ★阅读写思考大 全等变换 在数学中，按照某种方法把一个图形变成另一 个图形，叫作图形变换.图形变换在机械工程、航 空制造、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用· 例如在计算机图形学中，经过图形变换，可以由简 单的图形生成复杂的图形，可以用二维图形表示三 维图形，甚至静态图形通过多次变换，可以呈现动 态显示效果等（图1）. 平移、轴对称和旋转都是图形变换，你能发现 图1 它们有什么共性吗？ 100 教材笔记数学九年级上册BJ 可以发现，经过这三种变换，虽然图形位置变化了，但图形的形状、大 小没有改变，即变换前后的图形全等.像这样，只改变图形的位置，而不改 变其形状、大小的图形变换，叫作全等变换.在全等变换中，图形上任意两 点间的距离保持不变，图形上任意三点所成的角保持不变， 下面，我们以三角形的旋转为例，说明线段长度和角的大小经过旋转后 保持不变. 如图2，将△ABC绕点O旋转，得到△A'B'C',由旋 转的性质可知，OA=OA,OB=OB',∠AOA=∠BOB,于是， B △AOB≌△AOB',进而AB=AB'. O 同理可知，AC=AC',BC=B'C',从而△ABC≌△AB'C', 于是∠ABC=∠A'B'C,∠ACB=∠A'CB',∠BAC=∠BA'C 一般地，在旋转过程中，△ABC上任意两点间的距离保持 不变，任意三点所成的角保持不变， 图2 事实上，在平移和轴对称过程中，图形上任意两点间的距离也都是保持 不变的.请以三角形的变换为例，尝试完成其证明过程， 第二十八章旋转 101