27.3 实际问题与反比例函数-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

27.3 身际问题与反北比例函数 新知解读， 函数是具有广泛应用的数学模型.对于某些实际问题，如果其中两个变量之 间具有反比例关系，那么我们就可以利用反比例函数来研究它， 例1港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载700t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了9h. (1)此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载 速度v(单位：t/h)与卸载完所有货物的总时间t(单位：h) 之间有怎样的函数关系？ (2)由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过6h卸载完毕，那么起重 机平均每小时至少要卸载多少货物？ )小于或等于6h 大于或等于 分析：根据“平均装载速度×装载总时间=货物总量”，可以求出轮船装载 货物的总量；再根据“平均卸载速度=货物总量÷卸载总时间”，得到y关于t 的函数解析式. 解：（1)轮船上的货物总量为700×9=6300(t),所以v关于t的函数解析 式为 用反比例函数解决实际问题的一 y=6300 般步骤： 一审、二设、三列、四写、五解. 当题目未直接指出变量间的反比 (2)把t=6代入v=6300 得 例函数关系时，需通过分析实际 t 问题中的基本数量关系，推导得 v=6300 出变量之间的反比例关系 =1050(t/h). 6 从结果可以看出，如果全部货物恰好用6h卸载完，那么平均每小时卸载 1050t.对于函数v=6300 1, 当t>0时，t越小，v越大.因此，若货物不超过6 小时卸载完，则平均每小时至少要卸载1050t货物 反比例函数的性质 第二十七章反比例函数 77 古希腊科学家阿基米德（公元前287一前212)发现：若杠杆上的两物体与 支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为“杠杆原 理”.杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂（图27.3-1). 阻力 支点 动力 阻力臂 动力臂 图27.3-1 例21 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N 和0.5m. (1)动力F(单位：N)与动力臂1（单位：）有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过(1)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多 少？ 解：（1)根据“杠杆原理”，得 Fl=1200×0.5, 所以F关于1的函数解析式为 F= 600 当1=1.5m时， F=600 1.5 400(N). 对于函数F=600 ,当1=1.5m时，F=400N,此时杠杆平衡.因此，撬云 石头至少需要400N的力. )说明动力臂越长就越省力 (2)对于函数F=600, 60°，当1>0时，F随1的增大而减小因此，只要求出 F=200N时对应的1的值，就能确定动力臂1至少应加长的量. 将F=400x20代入F=600 得 1 200= 600 用反比例函数的知识解 释：在使用撬棍时，为什么 I= 600 动力臂越长就越省力？ =3(m). 200 78教材笔记数学九年级上册RJ 因此，若想用力不超过400N的一半，动力臂的长度就应该不小于3m,则 动力臂至少要加长3-1.5=1.5(m). 练习 1如图，某玻璃器皿制造公司要制造容积为120cm3(不计直 玻璃管部分)的圆锥形漏斗， 通维体软公太：r号功 (1)漏斗口的面积S(单位：cm2）与漏斗的深h(单位： cm）有怎样的函数关系？1.(1)S=360 （2)如果漏斗口的面积不超过50cm2，那么漏斗的深h至 (第1题) 少为多少？(2)7.2cm 2.为推广新能源汽车，某销售商推出免息分期付款的购车促销活动.客户 交付首付款后，在36个月内结清余款即可.小张在活动期间购买了价格 为18万元的汽车，首付款6万元.他计划用x个月结清余款，平均每月 还款y万元.2.(1)y=12(0<x≤36，x为正整最). 18-6=12(万元)） (1)y与x有怎样的函数关系？(2)0.6万元. (2)如果小张打算20个月结清余款，那么他平均每月应还款多少万元？ (3)如果小张打算每月还款不超过5000元，那么他至少要多少个月才能 结清余款？(3)24个月. 大于或等于 例3在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力 s/m F的方向上发生位移s(单位：m),则力F所做的功W 50-1(10,50) (单位：J)满足W=Fs,当W为定值时，s与F之间的 函数关系如图273-2所示。中如场表盘表纸过点 010 (1)当力F为10N时，求F所做的功W; FN 图27.3-2 (2)写出s关于F的函数解析式； (3)在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m,求力的 范围 解：(1)由图27.3-2可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生 第二十七章反比例函数 的位移s为50m,此时F所做的功W=Fs=10×50=500（J). (2)当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系.由(1)可知 其解析式为 500 F (3)将s=100代入，=500 ,可得F=5(N. 因为s随着F的增大而减小，所以要使物体在力的作用下的位移小于100m, 力F要大于5N 例4一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v(单 v/(km:h-) 位：km/h)与行驶全程所用时间t(单位：h)的函数关系 一→注意：实际问题中自 120-- 如图27.3-3所示，其中60≤v≤120.变量的取值范围 60----- (1)写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； 012345ti (2)若客车上午8时从甲地出发，需在当天10时40 图27.3-3 分至11时之间到达乙地，求客车平均速度v的范围。 解：（1)甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关 系.由图27.3-3可知，当t=2时，v=120,于是有 240 ① 当v=60时，由①得t=4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小， 所以2≤t≤4. (2)客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所 用时间t=2子h,代入①，可得v=90(km/h;若当天11时到达乙地，则行驶 全程所用时间t=3h,代入①，可得v=80(km/h) 因为平均速度y随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度 v的范围是80≤v≤90. 80 教材笔记数学九年级上册BJ 练习 以度 1.近视眼镜镜片的度数y(单位：度)是关于镜片焦 距x(单位：m)的反比例函数，其图象如图所示 400 (0.25,400) (1)求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的 函数解析式；1.(1)y=100(x>0) 00.25 x/m (2)若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距.(2)0.2m (第1题) 2.收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电 阻来调节.某用电器内置可变电阻R的范围为110~2202，电压U为 220V.已知功率P-,回答下列问题：2.(1）P=20_48400 R (110≤ R (1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？R≤220). : (2)这个用电器的功率P的范围是多少？（2)220≤P≤440 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型.面对不同的实际问 题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用 函数解决问题 Q探究 某物理实验小组研究气体的压强p(单位：kPa)与体积V(单位：mL) 的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据（表27.3-1）. 表27.3-1 序号 1 2 3 4 5 6 体积mL 20 18 16 14 12 10 压强p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强卫与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立 函数模型，并估计当压强为132kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点 后两位) 分析：由表27.3-1可知，压强p是体积V的函数.由于没有现成的函数模 型，所以需要选择合适的函数类型， 第二十七章反比例函数 81 (1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（图27.3-4（1))， 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点.可以发现， 图27.3-4（2)中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述 气体的压强p与体积V之间的关系 )P与V可能成反比例关系 p/kPa p/kPa 200 200 180 180 160 160 140 140 120 120 1005 100 0101214161820V/mL 001214161820md (1) (2) 图27.3-4 (2)建立模型. 设函数解析式为p=V>0,根据表273-1中的数据，分 别求出k的值，列出表27.3-2. 表27.3-2 20 18 16 14 12 10 100 112 123 145 163 201 2000 2016 1968 2030 1956 2010 〉 由于实验裁据存在误差，直接用单组裁据得到的k 计算所有k值的平均值， 得 的值会有波动，取平均值可以减小误差 k=2(2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 6 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 1997 p= ① (3)检验模型.将已知数据代入①，或画出函数①的图象，可以发现，这个 函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的 关系 (4)求解问题.将p=132代入①，得 132=1997 82 教材笔记数学九年级上册RJ 解得 v=1997≈15.13(mL). 132 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL. 练习 回顾“探究”，回答以下问题： )表273-1中的有些数对只能近似满足函教解析式刀197D>0,肠 图27.3-4（1)中的，点并没有完全落在函数①的图象上，这种建立函数 模型的方式与你以往所学有什么不同？(1)略 (2)结合“探究”和问题（1)所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函 数模型解决实际问题的一般步骤， (2)①收集数据；②直规分析；③建立模型；④检验模型；⑤应用模型 习题27.3d 复习巩固 1.举出一个生活中应用反比例函数的例子.1.略 2.某农业大学计划修建一块面积为2×10°m的矩形试验田. (1)试验田的一边长y(单位：m)关于它的邻边长x（单位：m)的函数解析 武是什么？2.(1)y=2x10(0). (2)2000m和1000m (2)如果试验田的相邻两边长的比为2：1，那么试验田的两邻边长分别为多少？ 3.学校食堂一次性购买了3000kg大米 (1)这些大米能够使用的天数m与食堂平均每天的用米量n(单位：kg)有怎 样的函数关系？3.(1)m=3000 (n>0）. (2)如果食堂平均每天使用大米200~250kg,那么至少多少天后，食堂需再 购买大米？(2)12天 4.在对地面的压力一定的情况下，地面所受的压强p(单位：Pa)是受力面积S (单位：m2)的反比例函数，请填下表： p/Pa 1200 1000 600 500 400 300 200 150 120 100 S/m2 0.5 0.6 1 1.2 1.5 2 3 4 5 6 第二十七章反比例函数 83 5.已知甲、乙两地相距s(单位：km),汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车 行驶全程所用时间t(单位：h)关于行驶速度v(单位：km/h)的函数图象 是(C).提示：S一定时，t=三(v>0) t/h 蛛th h t/h v/(km:h-) v/(km.h-) 0 v/(km-h-) v/(km-h-) (A) (B) (C) (D) (第5题) 综合运用 6.密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的容积V p/(kg'm 3) 6 (单位：m3)变化时，气体的密度p(单位：kg/m3)随 之变化.已知密度p与容积V是反比例函数关系，它 2 A(5,1.98) 的图象如图所示. 6(1)p=99 1 o1234567Vm3 (1)写出密度p关于容积V的函数解析式； (第6题) (2)当V=9m3时，求二氧化碳的密度p.(2)1.1kgm 7.某棉花种植大户准备用4台同型号的大型棉花采摘机采摘600hm棉花 (1)采摘完该农场棉花所需时间y(单位：天)与每台棉花采摘机的工作效率x (单位：hm2/天)有怎样的函数关系？7.(1)y= 600150 4x (2)4台棉花采摘机全部投入工作，每天最多共可采摘60hm2棉花，预计棉花 采摘最快可在几天内完成？(2)10天. 8.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位： IA A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如 图所示。8(11：冷 4- (1)写出电流I关于电阻R的函数解析式， R/2 (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过 (第8题) 10A,那么用电器可变电阻应控制在什么范围？(2)R≥3.6， 84 教材笔记数学九年级上册RJ 拓广探索 9.生活中有各式各样的电子屏幕.在相同分辨率下，屏幕尺寸不同，屏幕的像素 密度也会不同.下表记录了当分辨率为1920×1080时，某些电子屏幕的尺寸x (单位：英寸)与像素密度y(单位：PPI)的相关数据 屏幕尺寸x/英寸 5 7 15 24 27 屏幕像素密度yPPI 440 314 147 92 81 (1)试确定屏幕像素密度y关于屏幕尺寸x的函数解析式： (2)某电子屏幕的分辨率为1920×1080，屏幕像素密度约为40PPI,则该屏幕 尺寸为多少（结果取整数）？ 9(1)y=2200 (2)55英寸.提示：各组数据乘积接近2200，说明y与x成 反比例关系，设y=《 取平均值得k≈2200 ★阅读与思考头 生活中的反比例函数 如果细心观察，你会发现，日常生活中的两个量之间，有许多具有反比 例变化规律 你一定熟悉这种现象：生活中常用的刀具，使用一段时间后就会变钝， 用起来很费劲.如果把刀刃磨薄，刀具就会锋利起来，你知道这是为什么吗？ 解释这种现象需要考虑压强与受力面积之间的关系.压强不仅与压力的 大小有关，还与受力面积的大小有关.压强就是单位面积上受到的压力，压 强的计算公式为 其中p为压强，F为压力，S为受力面积从上式可以看出， 当压力F一定时，压强p是受力面积S的反比例函数.使 用刀具时，刀刃磨得越薄，即刀刃与物体的接触面积越小， 压强就越大，刀具就会越锋利. 如图1，你能解释为什么要在挖掘机的轮子上安装又 图1 宽又长的履带吗？你能说明大型载重卡车装有许多车轮的 原因吗？ 再如，在不考虑其他因素的情况下，一辆匀速行驶的汽车空载时行驶得 很快，满载时速度明显减小了，这是为什么呢？ 这里涉及汽车的行驶速度与汽车所受阻力之间的反比例关系，设汽车的 功率为P,行驶速度为V,所受阻力为F,三者之间满足关系 第二十七章反比例函数 85 V=- 从上面的式子可以看出，当汽车的功率P一定时，行驶速度ν是阻力F的 反比例函数.也就是说，汽车负载越大，阻力就越大，行驶速度就会越小 你还能再举出一些生活中应用反比例函数的例子吗？ 数学活动 活动1 用矩形“画”双曲线 下表是10个面积相等的矩形的两邻边长，请补全表格 一边长/cm 2 3 4 6 7 8 10 0 5 10 5 10 邻边长/cm 设∠A为这10个矩形的公共角，画出这10个矩形，然后取∠A的10 个对角的顶，点，并把这10个点用平滑的曲线连接起来 这条曲线是反比例函数图象的一支吗？为什么？ 这条曲线是反比例函装=10的图象的一支，因为在平面直角坐标系中 以矩形的两邻边长为坐标的点都满足y=10 活动2用简易密度计测量密度 如图1，物理兴趣小组的同学们做了一个圆柱形简易密度 计，其质量为7.2g,底面积为1cm2,能悬浮在液体中.经过 实验，小组同学记录了当简易密度计悬浮在不同液体中时，其 图1 浸入液体的深度，得到如下数据： >浮力=重力，即pg/排=mg 液体 汽油 煤油 植物油 水 饱和盐水 蜂蜜 p/(g·cm-3) 0.70 0.80 0.90 1.00 1.15 1.40 h/cm 10.29 9 8 7.2 6.26 5.14 (1)简易密度计浸入液体的深度h(单位：cm)与液体的密度p(单 位：g/c3)之间是否具有函数关系？如果有，请你选择合适的函数模型 描述这种关系.(1)h=7.2 (2)当简易密度计悬浮在牛奶中时，它浸入牛奶的深度为6.99cm,则 牛奶的密度为多少（结果保留小数点后两位）？ 2103g0m,提示：把h=699我入h72中，求p的值 0 86 教材笔记数学九年级上册RJ