27.2 反比例函数的图象和性质-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

27.2 反比例函数的图象和性质 新知解读 与研究一次函数、二次函数的图象和性质类似，在建立反比例函数的概念后， 我们类比上述函数图象和性质的研究方法，研究反比例函数的图象和性质， g思考 回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程，如何研究反比例函 数的图象和性质？ 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利 用图象，结合函数的解析式研究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考 它的图象形状，运用数形结合的方法研究其性质 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y=《(k为常数，k≠0) 中的k分情况讨论，即分k>0,k<0两种情况 先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始. ®探究 对于反比例函数y=3与y=6,结合它们的解析式，分析自变量的取值 范围，以及y随x的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形 状吗？你能画出它们图象的示意图吗？ 用描点法画出反比例函数y=3与y=6的图象，看看它们是吞与你画出 的示意图大致相同. 下面用描点法画函数y=3与y=6的图象。 70 教材笔记数学九年级上册RJ 表中x的取值是自变量取值范围的一部分，省略号不能省略《 (1)列表.个写出几组x与y的对应值（填空)： -6 -5 .4 -3 -2 2 4 5 6 3 3 3 y= 3 4 5 6 3 -3 2 5 2 (2)描点.以表中各组对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点. (3)连线.用平滑的曲线顺次连接描出的点， 就得到函数y=3与y-6 的图象（图27.2-1). 不能用折线 反比例函数的图象无限接近坐 标轴，但不与坐标轴相交 6 6 y= 6 0 因为x≠0， 4 所以函数图象由 2 2 两支曲线组成. 6-4-20 -6 4-20L 2 4 6 x 在画示意图时， 你注意到这一点 了吗？ 注意：因为0,0 所以反比例函数的图 图27.2-1 象不经过原点，且与 x轴、y轴都没有交点 思考 观察反比例函数y=3与y=6的图象，回答下列问题： (1)每个函数的图象分别位于哪些 象限？ 5 (2)在每一个象限内，随着x的增 3 2 大，y如何变化？你能由它们的解析式 说明理由吗？ 6-5-4-3-2-1,0123456 利用信息技术工具，画反比例函数 2 -3 k-12 y-上k>0)的k取不同值时的图象（图 27.2-2),考虑问题（1)(2)，你能得出 图27.2-2 同样的结论吗？(>0)越大，图象离坐标轴越远 第二十七章反比例函数 71 一般地，当k>0时，对于反比例函数y=,结合函数图象与解析式，可以 发现： (1)函数图象的两支分别位于第一、第三象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而减小 接下来，我们研究k<0时反比例函数的图象和性质. Q探究 回顾上述过程，我们从特殊到一般、数形结合地研究了反比例函数 y=(k>0)的图象和性质，你能用类似的方法研究反比例函数y=上(k<0)的 图象和性质吗？ 一般地，当k<0时，对于反比例函数y=冬.结0) 合函数图象（图27.2-3)与解析式，可以发现： (1)函数图象的两支分别位于第二、第四象限； (2)在每一个象限内，y随x的增大而增大 拓展：反比例函数的图象既是中心对称图形（下一章会 学到)又是轴对称图形，对称中心（下一章会学到)是 图27.2-3 原点O,对称轴是y=x和y=-x 息归纳 反比例函数y=套的图象特征和性质如下： (1)反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线. (2)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限 内，y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y 随x的增大而增大. 注意：(1)在描述反比例函数的增减性时，必须指明是“在每一个象限内” (2)反比例函数图象的位置和函数的增减性由飞的符号决定；反之，由双曲线 的位置或函数的增减性可确定飞的符号 72 教材笔记数学九年级上册BJ 练习 1.如图所示的图象对应的函数解析式为(C). (A)y=5x (B)y=2x+3 (C)y=4 (D)y=-2 : 3 -4-3-2-101234x 2 +4 (第1题) （第2题) 2.反比例函数y=的图象如图所示，则k≤ 0;在每个象限内，y随x X 的增大而 增大· 由双曲线所在象限判断的正负 例11 已知反比例函数的图象经过点A(-2,4) (1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2)点8L-8别，c分-3兮引D2)是香在这个函数的图象上？ 解：(1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或 者位于第二、第四象限.因为点A(-2,4)在第二象限，所以这个函数的图象位于 第二、第四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大 (2)设这个反比例函数的解析式为y=.因为点A(-2,4)在其图象上，所 以点A的坐标满足y=冬，即 点拨：如果任意一点的坐标 4s 满足反比例函数的解析式， -2 那么这个点就在其图象上， 解得 否则，就不在其图象上， k=-8 因此，这个反比例函数的解析式为y=8 因为点B,C的坐标都满足 第二十七章反比例函数 73 y=-8点D的坐标不满足y=-8,所以点B,C在函数y=-8的图象上，点D 不在这个函数的图象上， 例2图27.2-4中的曲线是反比例函数y=m-5的图 象的一支.根据图象，回答下列问题： (1)图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是 什么？ 0 图27.2-4 (2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x,y)和点 B(x2,y2).如果：>2，那么y和y2有怎样的大小关系？ 解：（1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第 三象限， 拓展：比较反比例函数的函 数值时，若对应的点在同一 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以分支上，可以利用函数的增 减性，通过比较其横坐标的 m-5>0. 大小来判断函数值的大小； 解得 若对应的点不在同一分支上 则依据其函数值（即某点的 m>5. 纵坐标)与0的大小进行比较 (2)因为m-5>0,所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减 小.因此当西>时，片<.1.(1)由题意可得，这个函最的解折式为y=2,这 练习 个函装的图象位于第第三象限，在每一个象限内 y随x的增大而增大】 1.已知一个反比例函数的图象经过，点A(2,6): （1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何 : 变化？ (2)点B和点C在函装y=12的图 （2)点Ba4,c-2-4 D(2,-6)象上，因为它们的坐标都满是函 数解析式；点D不在这个函数的 是否在这个函数的图象上？为什么？ 图象上，因为它的坐标不满足函 数解析式 2.反比例函数y=m+2的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪 ->k<0,即m+2<0 个象限？常数m的取值范围是什么？2.第四象限，m<-2 3.已知点A(,片)，B(x2,y2)在反比例函数y=二的图象上.如果x<x, 》说明A,B两点在同一象限内 且，五同号，那么，2有怎样的大小关系？为什么？3片>2因为反比 例函数y=的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小 教材笔记数学九年级上册RJ 习题27.2d 复习巩固 33<0,图象位于第二、第四象限 1.函数y=-3的图象大致是(A). (A) (B) (C) D (第1题) 2.填空题， (1)反比例函数y=的图象如图(1)所示，则k>0,在每一个象限内， y随x的增大而减小； (2)反比例函数y=的图象如图(2)所示，则k<0,在每一个象限内， y随x的增大而增大； (3)若点(1,3)在反比例函数y=《的图象上，则k=3,在每一个象限 内，y随x的增大而减小 把，我y兰中，得3 (2) 20 (第2题) y=20(x>0) 3.李明需要制作一个底面积为20cm的长方体无盖纸盒，底面矩形的一边长y(单 位：cm)与其邻边长x(单位：cm)之间的关系可以用图象大致表示为(C). y/cm y/cm y/cm y/cm x/cm x/cm x/cm x/cm (A) (B) (C) (D) (第3题)实斥问题要考虑自变量的取值 第二十七章反比例函数 75 综合运用 4.已知点(-2，-4)在反比例函数y=的图象上：》函表解析式为y=8 (1)当y<4时，求x的取值范围；4.(1)x<0或x>2. (2)已知点A(-3,),B(-5,y2),C(4,y3)在这个反比例函数的图象上，比较 ,y2,3的大小，并用反比例函数的性质说明理由.(2)y,<y<,理由略 5.正比例函数y=-x的图象与反比例函数y=《的图象有一个交点的纵坐标是2. 交点的坐标既满足正比例函数的解 析式，又满足反比例函裁的解析式 (1)当x=-3时，求反比例函数y=飞的值： 解折式为y=-4< 4 5.(1)y= 3 (2)当-3<x<-1时，求反比例函数y=的取值范围.(2)4 <y4. 拓广探索 6.在同一平面直角坐标系中，函数y=与y=k(k≠0)的图象大致是(C). (A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(2)(4) (D)(3)(4) 1 2） 3 (4 (第6题) 提示：当k>0时，y=的图象经过第一、第三象限，y=的图象位子第一、第三象限： 当k<0时，y=的图象经过第二、第四象限，y=二的图象位于第二、第四象限 7.已知反比例函数y=a- 2的图象的一支位于第一象限.k>0,即a-√2>0 (1)图象的另一支位于哪个象限？常数a的取值范围是什么？ 7.(1)第三象限，a>√2 (2)在该函数图象上任取点A(,)和点B(x2,y2).如果片>y2,那么，与 2有怎样的大小关系？ (2)若点A,B在同一象限，则x<x2;若点A,B在不同象限，则x>x2 76教材笔记数学九年级上册RJ