27.1 反比例函数的概念-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

第二十七章 反比例函数 现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函数 模型可以用于刻画不同的变化规律.例如，同一条铁路线上，由于不同车次列车 的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢.由s=t可知，在路程s 一定的前提下，平均速度y与运行时间t成反比例.从函数角度看，平均速度y 随运行时间：的变化而变化的规律，可表示为v=。,这类函数就是本章要研究的 反比例函数， 反比例是两个量的乘积为常戴的一种关系，即yk(常戴)； 正比例是两个量的商为常数的一种关系 与研究一次函数、二次函数类似，我们先从现实世界中具有反比例关系的具 体变化实例出发，抽象得出反比例函数的概念，然后研究反比例函数的图象和性 质，并运用反比例函数解决一些实际问题.在经历建立模型、求解模型、验证反 思的学习过程中，你将再次体会建立函数模型解决问题的思想与方法 27.1反比例函数的概忌 新知解读 与研究一次函数、二次函数类似，我们仍然从现实世界中具有某种变化规律 的具体实例出发，用函数的眼光分析问题中变量之间的对应关系，抽象出它们的 共同特征，获得反比例函数的概念， 9思考 在下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什 么共同特点？ 函数的一种表示方式 (1)京沪高铁全程为1318km,某次列车的平均速度v(单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间t(单位：h)的变化而变化； (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪相邻两边 的一边长y(单位：m)随另一边长x(单位：m)的变化而变化； (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量 Q(单位：GB)随使用完流量的总时间t(单位：天)的变化而变化. 在问题(1)中，有两个变量t与v,当一个量t变化时，另一个量v随着t 的变化而变化，而且对于t的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应.问 题（2)(3)也一样.所以这些变量之间具有函数关系，它们的解析式分别为 v-1318,y-100, t, =5.若一个函表可以转化为=在数 t y=k(k为常数，0)的形式， 上述解析式都具有y=的形式，其中k是非零则该函数是反比例函最， 常数. 反比例函数定义的一部分， o 不能遗漏 在y=中，当x=0 一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫 x 时，分式无意义 作反比例函数(inverse proportional function),其中x x 是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数， 拓展：如果=k(k是常数，0)，那么x与y这两个量成反比例关系 函最中的两个量成反比例关系不一定是反比例函戴，但反比例函数中的两个变量一定成 反比例关系，和二表示y与成反比例关系，但y不是关于x的反比例函藏 第二十七章反比例函数 67 例如，在上面的问题(1)中，当路程一定时，v=1318表示速度y是时间： 的反比例函数. 例已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x=4时，求y的值. 分析：因为y是x的反比例函数，所以设y=.把x=2,y=6代入上式， 就可求出常数k的值. 解：(1)设y=《.因为当x=2时，y=6,所以 6、← 用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤如下 （1）设：根据题意，设反比例函数的解 解得 折式为y=(K≠0). k=12. 因此 k (2)代：把x,y的一对对应值代入y= 12 得到一个关于k的方程 (3)解：解方程，求出的值 (2)把x=4代人y= (4)代：将k的值代入所设的函数解析 ,得 式中，即可得到所求反比例函数的解析式 12 y= =3 4 练习 1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： （1)一个游泳池的容积为2000m3,游泳池注满水所用时间t(单位：h) 随注水速度v(单位：m2/h)的变化而变化；1.(1)t=2000 (（2)学校准备将1000m2实践田平均划分给一些班级，每班分得的实践田 面积y(单位：m2)随班级个数x的变化而变化；(2)y=1000 (3)在某次物理实验中，电路中的电压U为3V,则该电路中的电流I(单 位：A)随电阻R(单位：2)的变化而变化.(3)1=3 2.已知y是x的反比例函数，当x=-2时，y=4.求这个函数的解析式和自 8 变量的取值范围.2y=-。,x≠0. 当题目中已经明确“y是x的反比例函製”或“y与x成反比例关系”时，可 直接设函装的解折式为y=《 68 教材笔记数学九年级上册BJ 习题27.1d 复习巩固 容积=底面积×高 1.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系，并指出它们各是什么函数： （1)圆柱形蓄水池的容积是常数V(单位：m3),其底面积S(单位：m2)与高h (单位：m)之间的关系；1.(1)S=,反比例函最 (2)王芳要把一篇包含32000字的调查报告录入电脑，完成录入所用时间t(单 位：min)与录人平均速度v(单位：字min)之间的关系； (2)1=32000,反比例函数 (3)列车从相距2240km的甲地行驶到乙地，平均速度v(单位：km/h)与全 程行驶时间t(单位：h)之间的关系；之路程=速度×时间 (3)v=2240 反比例函数 (4)列车以300km/h的平均速度从甲地行驶到乙地，行驶路程s(单位：km) 与行驶时间t(单位：h)之间的关系 (4)s=300t,正比例函数. 综合运用 2.已知反比例函数y=k(k>0),当自变量x扩大到原来的a倍(a≥2，且a为 正整数)时，对应的函数值y将如何变化？请说明理由. 2.缩小到原来的二 ，理由略 拓广探索 3.已知y与x2成反比例，且当x=3时，y=4. (1)写出y关于x的函数解析式；心注意y不是x的反比例画裁 3.1)y=6.凝示：德-车代入3,4，即可东出k的值 (2)当x=1.5时，求y的值； (2)16 (3)当y=6时，求x的值. (3)x=±6. 第二十七章反比例函数 69