26.3 二次函数与一元二次方程-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

26.3 二次函数与一元二次方程 新知解读 以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方 程的联系.类似地，可以从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一 元二次方程的联系， 曾思考 如图26.3-1，下列二次函数的图象与x轴 有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？ y=x2-x+1 y=x2-8x+16 y=x24x-2 当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ (1)y=x2+x-2; (2)y=x2-8x+16; 63 (3)y=x2-x+1. 图26.3-1 由此，你能说说方程 x2+x-2=0,x2-8x+16=0,x2-x+1=0 的根的情况吗？ 通过图26.3-1中的函数图象可以看出： (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标分别是-2,1. 当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此可知，方 o 反过来，由一元 程x2+x-2=0有两个不相等的实数根-2,1. 二次方程的根的情 (2)抛物线y=x2-8x+16与x轴只有一个公共点， 况，也可以确定相应 二次函数的图象与x 这个点的横坐标是4.当x=4时，函数值是0.由此可 轴的公共点的情况. 知，方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根4. 若一元二次方程有两个不相等的实数根， (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没 则相应二次函数的图象与x轴有两个公共 有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0 点；若一元二次方程有两个相等的实数根 则相应二次函数的图象与x轴有一个公共 没有实数根。 点；若一元二次方程没有实数根，则相应 二次函数的图象与x轴没有公共点 48教材笔记数学九年级上册RJ 急归纳 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是xo, 那么当x=时，函数值是0，因此x=是一元二次方程ax2+bx+c=0的一 个根. (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种： 没有公共点，有一个公共点，有两个公共点，分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个 不相等的实数根. 根据二次函数与一元二次方程的联系，可以将二次函数问题转化为相应的一 元二次方程问题.下面来看一个实际问题， 例1如图26.3-2，以40m/s的速度将 小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞 行路线将是一条抛物线.小球的飞行高度h(单 图26.3-2 位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m?如果能，需要多长时间？ 分析：问题“小球的飞行高度能否达到20m”即“二次函数h=20t-5t2的函 数值能否取20”，由二次函数与一元二次方程的关系，可转化为讨论一元二次方 程20=20t-5t2的根的问题. 解：当h=20时，由函数关系h=20t-5t2,列得方程 只有当该方程有实数 根时，小球的飞行高 20=20t-5t, 即 度能达到20m t2-4t+4=0. 解方程，得 t=t2=2. 这说明，当自变量t=2时，二次函数h=20t-5t2的函数值为20，即当小球 飞行2s时，它的飞行高度为20m. 第二十六章二次函数 49 练习 关于例1，回答下列问题： (1)小球的飞行高度能否达到15m?如果能，需要多长时间？ (1)能.由题意，可得15=20t-51,即2-4t+3=0,解得t=1,t2=3 因此，当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m. (2)小球的飞行高度能否达到20.5？如果能，需要多长时间？ （2)不能.由题意，可得20.5=20t-52,即2-4t+4.1=0, 因为4=(-4)2-4×4.1<0，所以方程无实数根 因此，小球的飞行高度达不到20.5m (3)小球从飞出到落地，需要多长时间？ (3)小球飞出时和落地时的高度都为0m,由题意，可得0=20t-5t,即f-4t0, 解得t=0,2=4。 因此，当小球飞行0s和4s时，它的飞行高度为0m这表明小球从飞出到落地 要用4s. 根据二次函数与一元二次方程的联系，也可以将一元二次方程问题转化为相 应的二次函数问题.不妨来看下面的问题， 例2 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值（结果保留小数点 后一位) 解：画出函数y=x2-2x-2的图象（图26.3-3），它与x轴的公共点的横坐 标大约是（-0.7,2.7). 0 由于画图或观察 y=x2-2x-2 可能存在误差，所以 45 由函数图象求得的相 应方程的根，一般是 近似的。 图26.3-3 所以方程x2-2x-2=0的实数根为 ≈-0.7,2≈2.7. 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根 观察函数y=x2-2x-2的图象，可以发现：点(2，-2)在x轴的下方，即 50 教材笔记数学九年级上册RJ 当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时 的函数值大于0.因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线 y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2,3之间的 某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2,3之间有根 抛物线没有间断点，因而抛物线从x轴下方通向x轴上方时一定经过x轴 )可以将根所在的苑围缩小到原来的一半 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围.例如，取2,3的平 均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函 数值异号，所以这个根在2.5,3之间.再取2.5,3的平均数2.75，用计算器算 得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以 这个根在2.5,2.75之间 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625,2.75之间，在2.6875， 2.75之间…可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越 接近根的值，因而可以作为根的近似值.例如，当要求根的近似值与根的准确值 的差的绝对值小于0.1时，由于12.6875-2.751=0.0625<0.1，我们可以将2.687 5作为根的近似值. 你能用这种方法得出方程x2-2x-2=0的另一个根的近似值吗（要求根的近 似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程。 练习， 利用函数图象求下列方程根的近似值（结果保留小数点后一位)： （1)x2-3x+1=0; （1）x1≈2.6，x2≈0.4 (2)-x2-x+1=0. （2)x1≈0.6，x2≈-1.6. 习题26.3 复习巩固 1.已知函数y=x2-x-2. (1)画出这个函数的图象；1.(1)略. 第二十六章二次函数 51 （2)观察图象，当x取哪些值时，函数值为0？(2)2或-1. 2.利用函数图象求下列方程的根的近似值（结果保留小数点后一位）： (1)x2-6x+7=0; (2)-x2+3x+1=0 2.（1)x1≈4.4，x2≈1.6. (2)x1≈3.3，x2≈-0.3. 综合运用 ● 3.下列函数的图象与x轴是否有公共点？如果有公共点，写出公共点的坐标， （1)y=3x2-6x+9;3.(1)汝有. (2)y=2x2-4x-6. （2)有，(3,0， (-1,0) 4.一辆汽车在一段时间内加速行驶，测得行驶路程1（单位：m)关于行驶时间t (单位：s)的函数解析式是1=9+子，经过10s汽车行驶了多远？行驶180m 需要多长时间？4.把=10我入1=94子，得19x10+】×102=140, 因此，经过10s汽车行驶了140m 当180时，由函数关系19+2，列得方程180=9件子，即 2+181-360=0,解得t=12,t2=-30(舍去) 因此，汽车行驶180m需要12s 拓广探索 5.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：5.图象如图所示 (1)方程x2-2x-3=0的根是多少？ 个yy=x2-2x-3 (1）x1=3,x2=-1 (2)x取什么值时，函数值大于0？ (2)当x<-1或x>3时，函最值大于0. (3)x取什么值时，函数值小于0？ (3)当-1<x<3时，函最值小于0. 6.如果a>0,下列情形时，抛物线y=ax2+bx+c的顶 (第5题)》 点在什么位置？ (1)方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根； (2)方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根； (3)方程ax2+bx+c=0无实数根 如果a<0呢？ 6.如果>0，(1)顶点在x轴下方.（2)顶点在x轴上.（3）顶点在x轴上方. 如果a<0,(1)顶点在x轴上方.（2)顶点在x轴上.（3)顶点在x轴下方 52教材笔记数学九年级上册RJ