26.2 二次函数的图象和性质-【教材笔记】2026-2027学年九年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

26.2 二次函数的图象和性质 新知解读 与学习一次函数一样，在学习了二次函数的概念之后，我们来研究它的图象 和性质.先从简单的二次函数y=ax2开始，逐步深人到一般的二次函数.在这 个过程中，数形结合，即解析式与图象结合是重要的研究方法， 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 先来研究最简单的二次函数y=x2,画出它的图象 对于y=x2，自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： y=x2 9 根据表中x,y的值在平面直角坐标系中描点(x,y)(图26.2-1)，再用平滑 〉一般地，选点越多，图象越精确 曲线顺次连接各点，就得到y=x2的图象（图26.2-2). 还记得如何用描 点法画一个函数的图 象吗？ -30 3 图26.2-1 图26.2-2 列表、描点、连线 可以看出，二次函数y=x2的图象是一条曲线， 它的形状类似投篮或掷铅球时球在空中经过的路线， 只是这条曲线开口向上.实际上，二次函数的图象 都是类似的曲线，它们的开口或者向上或者向下. 我们把二次函数y=ax2+bx+c的图象叫作抛物线 y=ax2+bx+c. 第二十六章 二次函数 35 由图26.2-2还可以看出，y轴是抛物线y=x2的 对称轴，抛物线y=x2与其对称轴的交点(0,0)叫 在抛物线y=x2上任取 作抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最低点. 一，点(m,m2),因为该点关 实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的 于y轴的对称，点(-m,m2) 也在抛物线y=x2上，所以 交点叫作抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最 抛物线y=x2关于y轴对称. 高点 从二次函数y=x2的图象可以看出：在对称轴的 左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物 线从左到右上升.也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随 x的增大而增大。 例1 在同-平面直角坐标系中，画出函数)2，y=2×的图象。 解：分别列表，再画出它们的图象（图262-3). -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 1 y=-x2 2 4.5 2 0.5 0.5 2 4.5 、 2 -1.5 -0.5 0 0.5 1.5 2 2 y=2x2 8 4.5 2 0.5 00.5 4.5 -2 2 4 共同点：开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点； 图26.2-3 管思考 不同点：开口大小不同，a越大，抛物线的开口越小， (1)函数y=,y=2r2的图象与函数 y 3 y=x2的图象（图26.2-3中的虚线图形)相 1=15x2 8 比，有什么共同点和不同点？ y=ax 6 (2)利用信息技术工具画二次函数 y=ar2(a>0)的图象，改变a的值，函数 y=ax2的图象也发生了改变（图26.2-4).随 a=0.4 着a的变化，二次函数y=ax2的图象有什么 -2 2 变化？ 图26.2-4 36 教材笔记数学九年级上册BJ 一般地，当a>0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原 点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小. 进一步，从二次函数y=ax2(a>0)的图象可以看出：当x<0时，y随x的 增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大。 ®探究 回顾上面研究二次函数y=ax2（a>0)的图象和性质的过程，你能用类似 的方法研究二次函数y=ax2(a<0)的图象和性质吗？ 类似于对函数y=ax2(a>0)的研究，可以在 同一平面直角坐标系中画出函数y=子，y=弓式， y=-2x2的图象（图26.2-5），观察这些抛物线有什 么共同点和不同点.也可以利用信息技术工具画二 次函数y=ax2(a<0)的图象，改变a的值，观察随 着a的变化，二次函数y=ax2的图象的变化 一般地，当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下， 对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高 图26.2-5 点，a越小，抛物线的开口越小.当x<0时，y随x 的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小 盈归纳 》a的正负决定抛物线的开口方向和函鬟的最值； a的大小决定抛物线的开口大小 一般地，抛物线y=ax2的对称轴是y轴，顶点是原点.当a>0时，抛 物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下， 顶点是抛物线的最高点.la越大，抛物线的开口越小. 从二次函数y=ax2的图象可以看出：如果a>0,那么当x<0时，y随x 的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0,那么当x<0时， y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小. 练习 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： : (1)y=3x2; (2)y=-3x2. 1.略 第二十六章 二次函数 37 2.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶，点，以及随着x的增大，y的变 化情况：抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，当x<0时， y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大 (1)y=4x2; (2)y=-4x2;(3)y=x2; (4)y=- 4 抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，当x<0时， y随x的增大而增大；当x>0,y髓x的增大而减小 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 >二次函表的顶点式 在研究了y=ax2的图象和性质之后，我们进一步探讨当b,c不全为0时， 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.如何研究呢？能否将y=ax2+bx+c转化 为类似y=ax2的简单形式？ 會思考 回想一下，上一章是如何通过配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的？ 由此，你得到了什么启发？ 通过配方，可以将“ax2+bx+c”转化为“a(x- 用a,b,c表 h)2+k”的形式，即将二次函数y=ax2+bx+c转化为 示，这里的h和k分 y=a(x-h)2+k的形式.当分别讨论h,k的取值时，就 别是什么？， 可以建立起y=ax2+bx+c与y=ax2的联系了. 先来讨论当h=0,k≠0时，二次函数y=ax2+k的图象和性质. Q探究 h、 ,k 4ac-b2 2a A (1)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=2+2,y= x-2的 图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=x+2,y=x-2与抛物线y=}x有什么关系？ 先列表： x -4 -3 -2 -1 0 2 3 y= … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 y= - 6 2.5 0 -1.5 -2 -1.5 0 2.5 6 38 教材笔记数学九年级上册BJ 然后描点画图，就得到y+2 = 2+ 10 1x2-2的图象（图26.2-6， y= 8 可以看出，抛物线y=2+2的 6 Lx2-2 2 开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0， 2):抛物线y--2的开口向上，对 -4 2 称轴是y轴，顶点是(0，-2). 可以发现，把抛物线y=x2(图 图26.2-6 262-6)中的虚线图形)向上平移2个单位长度，就得到抛物线y-+2:把 抛物线y向下平移2个单位长度，就得到抛物线y=×-2。 也可以利用倍息技术工具面函数y=a2+k的图象（不妨令a分别为和 改变长的值，可以发现，随若表的变化，二次函数y=2+k的图象在的 上或向下平移，即把抛物线y=ax2向上(k>0)或向下(k<0)平移1k|个单位 长度，就得到抛物线y=ax2+k(图26.2-7).>简记为“上加下减常鬟项” x2+1 2+3 1x2+k 4 =1.5 5 V-- x21 6-1 x2-3-4 2 2 图26.2-7 第二十六章二次函数 39 思考 你能归纳出二次函数y=ax2+k的图象特征和性质吗？与同学交流一下 练习 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x2, y=x2+1, y=x2-1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点， 以及随着x的增大，y的变化情况. 三条抛物线的位置关系：把抛物线yx向上平移1个单位长度，就得到抛物线 : )y=x+1.把抛物线y=x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=x2-1.其余略. 再来讨论当h≠0，k=0时，二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 ®探究 (1)在同一平面直角坐标系中，画出二次函数y=-x+1, 1 y=一 (x-1)2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. (2)抛物线y=-x+0识，y=-x-P与揽物线y=2有什么关系？ 先分别列表： -4 -3 -2 0 1 2 1 y=- (x+1)2 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … -2 -1 0 2 3 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 图得到yx+,y三-的图矣度 可以看出，抛物线y=-(x+12的开口向下，对称轴是经过点(-1,0)且 >这条直线上的点的横坐标都是-1 与x轴垂直的直线，把它记作x=1,顶点是(-1,0)；抛物线y=-（x-1的 40教材笔记数学九年级上册RJ 开口向下，对称轴是x=1,顶点是（1,0). 可以发现，把抛物线y=-2(图26,2-8 中的虚线图形)向左平移1个单位长度，就 得到抛物线y=x+1以：把抛物线y= 向右平移1个单位长度，就得到抛物线 x-以 x+1)2 (x-12 也可以利用信息技术工具画函数y= a(x-h)2的图象，改变h的值，可以发现，随 图26.2-8 着h的变化，二次函数y=a(x-h)2的图象向 左或向右平移，即把抛物线y=ax2向左(h<0)或向右(h>0)平移h个单位长度， 就可以得到抛物线y=a(x-h)(图26.2-9).>简记为“左加右减自变量” y=a(x-h)2 y=ax y=ax2 y=a(x-h)2 4 a=0.5 4 a=0.5 -2 2 h=3 -4 -20 246x 4 -20 24 68元 图26.2-9 會思考 你能归纳出二次函数y=a(x-)的图象特征和性质吗？与同学交流一下 练习 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 1 y=5x2,y=号(x+2)2, y=2x-22 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶，点， 以及随着x的增大，y的变化情况.三条抛物线的位置关系：把抛物线y=x向 左平移2个单位长度，就得到抛物线y=（x-2把抛物y=x2向右平著2个单 位长度，就得到抛物线y=（x-22.其余略 第二十六章 二次函数 最后来讨论当h≠0，k≠0时，二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质. Q探究 (1)画出二次函数y=-(x+1-1的图象，并指出它的开口方向、对称 轴和顶点. (2)抛物线y=-（x+12-1与抛物线y=-,2有什么关系？ 如图26.2-10，抛物线y=-（x+1-1的开口向下，对称轴是x=-1,顶点 是(-1，-1). 4衣 x+12-1 (x+12-1 2 图26.2-10 图26.2-11 如图26.2-11，把抛物线y=-1x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个 2 单位长度， 就得到抛物线y=-（x+1》-1. 急归纳 一 般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2形状相同，位置不同.把 抛物线y=ax2向上（或向下）向左（或向右）平移，可以得到抛物线 y=a(x-h)2+k.平移的方向、距离要根据h,k的值来决定. 抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点： (1)当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下. (2)对称轴是x=h. (3)顶点是(h,k). 从二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以看出：如果a>0,那么当x<h时， 42 教材笔记数学九年级上册RJ y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，当x=h时，y取最小值， 最小值为k;如果a<0,那么当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随 x的增大而减小，当x=h时，y取最大值，最大值为k. 我们来看一个与章前图有关的问题， 例2要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6m处达到最 高，高度为3m,水柱落地处离池中心3.6m,水管的长应为多少？ 解：如图26.2-12，以水管与地面交点为m个 (1.6,3) 原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水 管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。 2 点(1.6,3)是图中这段抛物线的顶点，因 此可设这段抛物线对应的函数解析式为 y=a(x-1.6)2+3(0≤x≤3.6). 1 233.64x/m 由这段抛物线经过点（3.6,0)，可得 图26.2-12 0=a(3.6-1.6)2+3. 已知顶点坐标，宜设顶点式 求解函戴解析式 解得 3 a=- 4 因此 y=-3（x-1.6}2+30≤x≤3.60. 4 当x=0时，y=1.08,也就是说，水管的长应为1.08m. 练习 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶，点，以及随着x的增大，y的变 化情况：1.略 : (1)y=2(x+3)2+5; (2)y=-3(x-1)2-2; （3)y=4(x-3)2+7; (4)y=-5(x+2)2-6. 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： （1y-+2-2:22（2p=-+2-家d 2.（1)当 有最小值-2 第二十六章二次函数 43 26.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 从简单的二次函数y=ax2开始，我们逐步深入，研究了二次函数y= a(x-h)+k的图象和性质.我们还知道，通过配方，可以将二次函数y= ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k,这样，就可以利用y=a(x-h)2+k的图象和 性质来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 先来看一个具体的例子 ?思考 对于二次函数y=】x-6x+21,如何画出它的图象并讨论它的性质？ 对二次函数y=2-6x+21配方，可得y=（(x-6}+3.根据前面的学习， 可以先画出二次函数y=)x的图象，然后把这个图象 还有其他平移方 法吗？ 向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，就 得到二次函数y=)2-6x+21的图象.有其他平移方法，可把二次面数)的图来先 向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度： 如果直接画二次函数y=x2-6x+21的图象，可按如下步骤进行. 由配方的结果可知，抛物线y=二x2-6x+21的顶点是(6,3)，对称轴是x=6. 先利用图象的对称性列表： x … 6 y= (x-6)2+3 7.5 3.5 3.5 7.5 然后描点画图，得到y=2-6x+21的图象（图26.213) 从二次函数y=二x2-6x+21的图象可以看出：在 10 y= 2 2-6x+21 对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右 侧，抛物线从左到右上升.也就是说，当x<6时，y随 x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；当 (6,3) x=6时，y取最小值，最小值是3. 5 10x Q探究 图26.2-13 你能用上面的方法研究二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗？ 44 教材笔记数学九年级上册BJ 一般地，我们可以类似地研究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数y=ax2+bx+c化成 6 2 4ac-b2 y=ax+ 顶点坐标公式 2a 4a 因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=- b b 4ac-b2 顶点是 2a 2a 4a 如图26.2-14，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以看出： 如果a>0,那么当x<- 时，y随x的增大而减小，当x> b 时，y随x 2a 2a 的增大而增大； 如果a<0,那么当x<-b时，y随x的增大而增大，当x> 2a b时，y随x 2 的增大而减小】 因此，当a>0(或a<0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低点（或最 高点).也就是说，当x=-b时，二次函数y=m2+bx+c有最小值（或最大值） 2a 4ac-b2 抛物线顶点坐标的两种求法：(1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶 点坐标；(2)利用配方法将函裁化为顶点式，进而求出抛物线的顶点坐标. 4a y=ax2+bx+c (a>0) b y=ax2+bx+c (a<0) 2a b 2a (1) (2) 图26.2-14 练习 1.（1)开口向下，对称轴是x=2,顶点是（2,9)，其余略 1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的 (2)开口向上，对称轴是x=3,顶点是（3，-10)，其余略 变化情况，再描点画图： (1y=-3+12-3:保物之（2y=4-24+26 上，对称轴 (3y=2x+8x-6:-2,14(4y=-2x-1 是=2，顶点 其余略 是（2，-3)， 2.求下列函数的最大值或最小值：(2)当=2时，y有最大值0. 其余略 （1)y=3x2+2x; (2)y=-2x2+8x-8」 2(1)当}时，y有最小值-写 3 第二十六章 二次函数 45 习题26.2d 复习巩固 1.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象，并写出其开口方向、对 称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1少=5名是（2少=绍质原费热 ”y轴，顶点是原点，其余略 2.分别在同一平面直角坐标系中，画出下列各组二次函数的图象，并写出其对称 轴和顶点： 1y=-3 2+3,y=-x2-2 (2y=x-3识，y=x+明： 4 4 2.图象略.(1)对称轴都是y轴，顶点 分别是（0,3)，（0，-2) (2)对称轴分别是x=3,=-1,顶点分 别是(3,0)，(-1,0). 312 112 (3)y=2(x+2-5,y=2x-2+1 (3)对称轴分别是= 22预点分别是(-弓5)，（月，1） 3 3.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化 情况，再描点画图：3略.提示：可用顶点坐标公式直接求顶点 (1)y=x2+2x-5; (2)y=-2x2+6x+3; 1 （3)y=2x2+4x-5; (4)y=-x2+2x-3. 4.求下列二次函数的最大值或最小值： (1)y=5x2+3x+2; (2)y=-x2+6x-3; 4(1)当=3时，有最小值 (2)当=3时，y有最大值6. 10 5 20 (3y=2-3x (4y=寻x-2x+5 (3)当-3时，y有最大值2. (4)当=4时，y有最小值1 5.已知抛物线y=-】xr2+br+c的顶点为 ,》,求6c的值.5b,=4 综合运用 6.填空： 函数值y加5 （1)在平面直角坐标系中，把抛物线y=-3(x-2)2-5先向上平移5个单位长度， 再向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y=-3x2； >自变量x加2 46 教材笔记数学九年级上册RJ 》为了计算方便，可光将一般式化为顶点式 (2)在平面直角坐标系中，把抛物线y=2x2+4x+3先向下平移1个单位长度， 再向右平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式为y=2x 7.如图，一名足球运动员在点A处踢出任意球，球的飞行路线是一条抛物线.当 球飞行到最高点时，恰好击中2.44m高的球门横梁上的点B.设位于点B正 下方的地面上的点为C,且AC=24.4m.求球的竖直高度y(单位：m)关于 它距离点A的水平距离x(单位：m)的函数解析式 >抛物线的顶点是 (24.4,2.44),宜 设顶点式求其对 应的函数解析式 24.4m (第7题) 7y= x-24.42+2.44 244 拓广探索 8.抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，-22)，(0，-8)，(2,8)三点，求它的开口方向、对 称轴和顶点.8.抛物线开口向下，对称轴是=3，顶点是(3,10) 9.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2). 在x轴上任取一点M,并按以下步骤作图： 4 ①连接AM,作线段AM的垂直平分线I,过点M 20,.2》 M 作x轴的垂线12，记4,2的交点为P; -5-4-3-2-1012345x ②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得 3 到相应的点P，再用平滑的曲线连接这些点，记 -4 -5 为曲线1. 9.（1)PA=PM.提示：点P在线段AM的垂直平 (第9题) 解答如下问题：分线上： (1)对于曲线1上任意一点P,线段PA与PM有什么关系？ (2)设点P的坐标是(x,y),根据(1)的结论求x,y满足的关系式.你能由 此确定曲线1是哪种曲线吗？（提示：根据勾股定理，用含x,y的式子表 示线段PA的长.) (2)如图，过点A作ANIPM于点N,连接AP 1是线段AM的垂直平分线，点P在I上，∴.PA=PM白y.PMx轴， AN=x,PN=|y-2.在Rt△APN中，AW2+PW2=AP2,∴.x2+6-2}y2, 即归+1，曲线1是抛物线 第二十六章 二次函数 47